Единичной окружностью называют окружность радиусом 1 с центром в точке (0, 0). Кажется, что это ещё одна схема, которую нужно выучить наизусть, но на самом деле за ней стоит одна-единственная идея. Когда вы её увидите, вы сможете за несколько секунд восстановить любое значение на окружности, не заучивая длинный список чисел.
Что такое единичная окружность?
Единичная окружность имеет радиус ровно 1, а её центр находится в начале координат (0, 0). Любой угол, отложенный против часовой стрелки от положительного направления оси x, попадает в одну точку окружности. У этой точки всегда координаты (cos θ, sin θ). Значит, координата x равна косинусу угла, а координата y равна его синусу.
Пример
Возьмите угол 30°. Проведите из центра луч под углом 30° к оси x, пока он не пересечёт окружность. Точка пересечения имеет координаты (√3/2, 1/2), то есть примерно (0,866; 0,5). Она сразу сообщает две вещи. Косинус 30° равен √3/2, а синус 30° равен 1/2.
Каждая точка окружности также удовлетворяет уравнению x² + y² = 1. Проверьте это на точке для 30°. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Это уравнение не что иное, как теорема Пифагора в другом виде, ведь радиус служит самой длинной стороной прямоугольного треугольника со сторонами x и y.
Почему косинус равен координате x, а синус координате y?
Многие ученики знают, как синус, косинус и тангенс определяются через стороны треугольника, но не понимают, при чём здесь окружность. Нарисуйте внутри окружности прямоугольный треугольник, у которого самой длинной стороной (гипотенузой) служит радиус. Нижняя сторона лежит на оси x, а вертикальная сторона поднимается до точки на окружности.
Косинус равен прилежащему катету, делённому на гипотенузу. На единичной окружности гипотенуза равна 1, поэтому косинус равен просто длине нижней стороны, то есть координате x. Точно так же синус равен противолежащему катету, делённому на 1, то есть высоте, или координате y. Окружность просто избавляет от деления.
Почему на единичной окружности используют радианы?
На единичной окружности используют радианы, потому что при радиусе 1 угол в радианах в точности равен длине дуги, которую вы проходите по окружности. Полный оборот составляет 360°, а длина всей окружности равна 2π. Значит, 360° равны 2π радиан, а 180° равны π радиан.
Пример
Чтобы перевести градусы в радианы, умножьте на π и разделите на 180. Для 60° получается 60 · π / 180 = π/3. Чтобы перевести обратно, умножьте на 180 и разделите на π. Значит, π/4 радиан равно 180 / 4 = 45°.
Углы вроде π/8 часто сбивают учеников с толку, потому что их нет на стандартной схеме. Секрет в том, чтобы думать о долях пол-оборота. π составляет пол-оборота, π/4 составляет четверть этого пол-оборота (45°), а π/8 составляет половину от π/4, то есть 22,5°. Эту точку нужно отметить посередине между 0 и точкой для 45°.
Радианы важны и дальше. В математическом анализе правила для синуса и косинуса выглядят так просто, только когда углы измеряются в радианах. Поэтому учителя переходят на радианы, как только появляется единичная окружность.
Как запомнить единичную окружность без зубрёжки?
Вам нужны значения только для 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. Всё остальное на окружности является зеркальным отражением этих пяти углов. Ниже описаны три способа их восстановить, и ни один из них не зависит от фразы на каком-то одном языке. Выберите тот, который покажется вам самым естественным.
Восстановите её по двум треугольникам
Разрежьте квадрат по диагонали, и получится прямоугольный треугольник с двумя углами по 45°, поэтому два его катета равны. Пусть гипотенуза равна 1, как радиус. Тогда два катета должны удовлетворять уравнению x² + y² = 1, а при x = y каждый из них равен √2/2. Значит, точка для 45° имеет координаты (√2/2, √2/2).
Теперь нарисуйте равносторонний треугольник со стороной 2 и разрежьте его пополам. Получится треугольник с углами 30°, 60° и 90° и сторонами 1, √3 и 2. Разделите каждую сторону на 2, чтобы самая длинная сторона стала равна 1. Теперь стороны равны 1/2, √3/2 и 1, и это даёт точки для 30° и 60°.
Используйте закономерность с корнями
Напишите числа 0, 1, 2, 3, 4 под углами 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Извлеките квадратный корень из каждого числа и разделите на 2. Эта строка даёт синус каждого угла. Прочитайте ту же строку в обратном порядке, и получится косинус.
- Синус для 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- Косинус для тех же углов: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
Посчитайте на пальцах
Поднимите левую руку ладонью к себе. Большой палец обозначает 90°, указательный 60°, средний 45°, безымянный 30°, а мизинец 0°. Чтобы найти значения для угла, загните его палец.
Посчитайте пальцы, которые остались со стороны мизинца от загнутого, извлеките квадратный корень из этого числа и разделите на 2. Получится синус. Пальцы со стороны большого пальца так же дают косинус.
Для 30° загните безымянный палец. Со стороны мизинца от него один палец (сам мизинец), поэтому синус равен √1/2 = 1/2. Со стороны большого пальца три пальца, поэтому косинус равен √3/2.
Каждый способ даёт те же пять точек. Несколько раундов в игре по тригонометрии быстро покажут, можете ли вы вспомнить значения синуса и косинуса, когда время немного поджимает. Такие короткие и частые тренировки закрепляют значения гораздо лучше, чем одно долгое занятие.
Нужно ли учить наизусть всю единичную окружность?
Нет. Вам нужна первая четверть (от 0° до 90°) и надёжный способ её отразить. Те, кто заучивает всю схему к контрольной, часто забывают её через несколько недель. Те, кто понимает треугольники и отражения, могут восстановить её в любой момент, и именно это потом требуется в таких темах, как математический анализ.
Как меняются знаки в каждой четверти?
У окружности четыре четверти. В каждой из них величины координат совпадают с координатами какого-то угла из первой четверти, а меняются только знаки. В первой четверти x и y оба положительны. Во второй x отрицателен. В третьей оба отрицательны. В четвёртой отрицателен y.
Пример
Найдите точку для 150°. Она лежит во второй четверти, на 30° не доходя до 180°. Значит, это зеркальное отражение точки для 30° относительно оси y. Точка для 30° имеет координаты (√3/2, 1/2). При отражении координата x становится отрицательной, поэтому точка для 150° имеет координаты (−√3/2, 1/2).
- Первая четверть (от 0° до 90°): x положителен, y положителен
- Вторая четверть (от 90° до 180°): x отрицателен, y положителен
- Третья четверть (от 180° до 270°): x отрицателен, y отрицателен
- Четвёртая четверть (от 270° до 360°): x положителен, y отрицателен
Для быстрой проверки представьте точку на обычном графике. Если точка левее оси y, то x отрицателен, а если она ниже оси x, то y отрицателен. Этот список не нужно учить, если вы можете представить, где лежит точка.
Что такое тангенс на единичной окружности?
Тангенс угла равен координате y, делённой на координату x, то есть tg θ = sin θ / cos θ. Для 60° это (√3/2) : (1/2) = √3, примерно 1,732. При 90° и 270° координата x равна 0, а делить на 0 нельзя, поэтому для этих углов тангенс не определён.
Для чего нужна единичная окружность?
Благодаря единичной окружности синус и косинус работают для любого угла, а не только для углов внутри прямоугольного треугольника. Поэтому она лежит в основе всего, что повторяется или вращается. Звуковые волны, световые волны, переменный ток, движение маятника и стрелки часов описываются с помощью синуса и косинуса.
Пример
Представьте точку, которая движется по окружности с постоянной скоростью. Её высота поднимается до 1, опускается до −1 и снова возвращается, образуя плавную волну. Если построить график этой высоты в зависимости от времени, получится график синуса. Инженеры используют именно эту идею для описания колебаний, а разработчики игр и анимации с её помощью поворачивают объекты на экране.
Одна четверть и два треугольника дают всю окружность
Вот основные углы и их координаты. Используйте список как справку, но сначала попробуйте восстановить каждую строку с помощью треугольников или приёма с рукой.
- 0° (0): (1, 0), tg θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tg θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tg θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tg θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tg θ не определён
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tg θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tg θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tg θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tg θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tg θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tg θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tg θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tg θ не определён
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tg θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tg θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tg θ = −√3/3
Если какая-то строка даётся трудно, вернитесь к первой четверти, найдите соответствующий угол и определите знаки по четверти. Одна эта привычка заменяет весь список.
Потренируй дальше это