Является ли 1 простым числом? Что такое простые числа и как быстро их распознать

Что такое простое число?

Является ли 1 простым числом? Нет. Простым называют натуральное число, у которого ровно два разных делителя: 1 и само это число. Например, 7 простое, потому что без остатка его делят только 1 и 7. У числа 1 всего один делитель, поэтому оно не подходит под это правило. Составным оно тоже не является, так что 1 стоит в отдельной группе.

Является ли 1 простым числом?

Нет, 1 не является простым числом. У простого числа должно быть ровно два разных делителя, а у 1 он только один. Составным оно тоже не является, потому что у составных чисел больше двух делителей. Поэтому математики считают 1 ни простым, ни составным. Самое маленькое простое число равно 2, его делители 1 и 2.

Пример

Вот делители чисел от 1 до 6.

• У 1 один делитель (1), поэтому оно ни простое, ни составное.
• У 2 два делителя (1 и 2), поэтому оно простое.
• У 3 два делителя (1 и 3), поэтому оно простое.
• У 4 три делителя (1, 2 и 4), поэтому оно составное.
• У 5 два делителя (1 и 5), поэтому оно простое.
• У 6 четыре делителя (1, 2, 3 и 6), поэтому оно составное.

Только у 1 всего один делитель. У каждого простого числа их ровно два, а у каждого составного три или больше.

Посмотрим на точках

Попробуй сделать это с точками на бумаге или с мелкими предметами, например с пуговицами. Шесть точек можно выложить прямоугольником: 2 ряда по 3, значит, 6 составное. Семь точек, как ни старайся, выстраиваются только в один ряд из 7, значит, 7 простое. С одной точкой вообще нечего выкладывать, и это ещё один способ увидеть, что 1 ведёт себя по-особому.

Почему так многие думают, что 1 простое число

Многие из нас учили, что простое число «делится только на 1 и на само себя». По такой формулировке 1 вроде бы подходит. Подвох в том, что здесь 1 и «само себя» совпадают. Это одно и то же число, поэтому делитель получается один, а не два. Вот почему точные определения говорят о ровно двух разных делителях или о «натуральном числе больше 1», которое делится только на 1 и на само себя.

В интернете можно прочитать и то, что 1 «раньше было простым». Настоящая история запутаннее. Древнегреческие математики вообще не считали 1 числом, а более поздние математики спорили об этом. Как рассказывает Scientific American в статье об истории этого вопроса, британский математик Г. Х. Харди ещё в ранних изданиях своего учебника относил 1 к простым числам и изменил это в 1938 году. Сегодня математики сходятся в том, что 1 не является простым числом.

Взрослые, которые годами изучали математику, тоже иногда здесь сомневаются. Если твой ребёнок назвал 1 простым числом и ответ засчитали как ошибку, его рассуждение вовсе не было глупым. В правиле, которое он запомнил, просто не хватало одной маленькой детали.

Является ли 2 простым числом?

Да. Число 2 является самым маленьким простым числом и единственным чётным среди них. Любое другое чётное число делится на 2, поэтому у него как минимум три делителя (1, 2 и само число). Значит, после 2 все простые числа нечётные, хотя и среди нечётных чисел много составных.

Является ли 0 простым числом?

Нет. Ноль не является ни простым, ни составным. Любое целое число, кроме 0, делит 0 без остатка, поэтому у 0 гораздо больше двух делителей. Понятия «простое» и «составное» используют только для натуральных чисел больше 1, поэтому и 0, и 1 остаются за пределами этих двух групп.

Как быстро проверить, простое ли число?

Дели число только на маленькие простые числа, начиная с 2, 3, 5 и 7. Можно остановиться, как только проверяемое простое число, умноженное само на себя, окажется больше твоего числа. Если ни одно из этих простых чисел не делит его без остатка, число простое. Для любого числа меньше 100 достаточно проверить 2, 3, 5 и 7.

Пример

Является ли 91 простым числом?

1. Оно нечётное, поэтому на 2 не делится.
2. Сумма его цифр: 9 + 1 = 10. Это не кратно 3, поэтому на 3 оно не делится.
3. Оно не оканчивается на 0 или 5, поэтому на 5 не делится.
4. Проверь 7. Так как 7 × 13 = 91, число 91 не простое.

Является ли 97 простым числом? Оно нечётное, сумма его цифр равна 16, и оно не оканчивается на 0 или 5. Деление даёт 97 ÷ 7 = 13, остаток 6. Следующее простое число равно 11, а 11 × 11 = 121 уже больше 97. Здесь можно остановиться, значит, 97 простое.

Почему можно остановиться раньше

Делители идут парами. Для 36 пары такие: 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 и 6 × 6. В каждой паре один делитель не больше 6, потому что 6 × 6 = 36. Так что если до этого места делителя нет, то дальше его тоже нет.

Быстрые фильтры

• Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, оно делится на 2. Простое среди них только само 2.
• Если сумма цифр кратна 3, число делится на 3. Простое среди них только само 3.
• Если число оканчивается на 0 или 5, оно делится на 5. Простое среди них только само 5.
• Для 7 просто раздели.

Скорость приходит, когда видишь много чисел. Когда фильтры станут знакомыми, несколько раундов поиска простых чисел на время в Math Max доведут их до автоматизма, потому что каждый правильный ответ становится атакой на другого бойца. Игра бесплатная и работает в браузере, так что ничего устанавливать не нужно.

Какие числа выглядят простыми, но не являются ими?

Классические числа-ловушки: 51, 57 и 91. Они нечётные, не оканчиваются на 5 и кажутся простыми. Но 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19, а 91 = 7 × 13. Большинство чисел-ловушек выдаёт признак делимости на 3 по сумме цифр или быстрое деление на 7.

Пример

• 39 = 3 × 13. Сумма цифр равна 12, а это кратно 3.
• 51 = 3 × 17. Сумма цифр равна 6, а это кратно 3.
• 57 = 3 × 19. Сумма цифр равна 12, а это кратно 3.
• 87 = 3 × 29. Сумма цифр равна 15, а это кратно 3.
• 91 = 7 × 13. Его выдаёт деление на 7.
• 119 = 7 × 17. Его выдаёт деление на 7.
• 133 = 7 × 19. Его выдаёт деление на 7.

Ошибаются даже эксперты

Число 57 в шутку называют «простым числом Гротендика». Это прозвище пошло от истории о том, что знаменитый математик Александр Гротендик однажды привёл его как пример простого числа.

Когда математический блог The Aperiodical проанализировал результаты онлайн-игры «Is this prime?», оказалось, что 51 принимали за простое число даже чаще, чем 57. Многие игроки также называли простым 39. Простым числом, которое чаще всего ошибочно называли составным, оказалось 59, так что ошибки случаются в обе стороны.

Большинство таких промахов вызывают два ложных правила. Первое: «нечётные числа простые», его опровергают 9, 15 и 21. Второе: «числа, оканчивающиеся на 1, 3, 7 или 9, простые», но такие окончания исключают как делители только 2 и 5.

Простые числа до 100

Если сомневаешься, сверься со списком. Простых чисел меньше 100 всего 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 и 97.

Этот список никогда не заканчивается, потому что древнегреческий математик Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много.

Два разных делителя: вот и всё правило

У простого числа должно быть ровно два разных делителя, а у 1 он только один, поэтому 1 не является простым числом. Это же правило объясняет, почему 2 простое, а 0 нет. Чтобы быстро проверить число, проверяй маленькие простые числа, останавливайся на квадратном корне и остерегайся ловушек вроде 51 и 91.