Os números inteiros na reta numérica
Na reta numérica, os números inteiros são os pontos, todos à mesma distância, onde se chega ao contar para a frente ou para trás a partir do 0. Números como 1/2, 3,5 ou √2 ficam nos espaços entre eles, por isso não são inteiros. Veja aqui como os distinguir, porque é que o zero também conta e como funcionam realmente as regras dos sinais.
Como saber se um número é inteiro?
Um número é inteiro se o conseguir escrever sem fração nem parte decimal. Pode ser positivo, negativo ou zero. O manual OpenStax Prealgebra 2e (em inglês) resume-o de forma simples, os inteiros são os números que usamos para contar, os seus simétricos e o zero. Assim, 7, −7 e 0 são inteiros, mas 7,5 não é.
Exemplo
Experimente estes testes rápidos.
- −12 é inteiro, porque é o simétrico de 12, um número que usamos para contar.
- 0 é inteiro.
- 3,5 não é inteiro, porque tem parte decimal.
- 1/2 não é inteiro.
- 8/2 é inteiro, porque 8/2 = 4.
- √9 é inteiro, porque √9 = 3.
- √2 não é inteiro, porque vale cerca de 1,41.
Os últimos casos mostram um hábito útil. Primeiro calcule o valor e só depois decida. Um número pode parecer uma fração ou uma raiz e, mesmo assim, ser inteiro.
O 0 é um número inteiro?
Sim, o 0 é um número inteiro. Fica no meio da reta numérica, entre os inteiros negativos e os positivos. O zero não é positivo nem negativo, como o OpenStax afirma diretamente. No entanto, é par, porque 0 = 2 × 0, ou seja, dividido por 2 não deixa resto.
Os números negativos são inteiros?
Os números negativos só são inteiros quando não têm fração nem parte decimal. −5 e −100 são inteiros. −2,5 e −3/4 são negativos, mas não são inteiros. O mesmo teste serve para qualquer número, seja qual for o sinal.
Qual é a diferença entre números inteiros e números naturais?
Em Portugal, os números naturais são normalmente 1, 2, 3 e assim por diante, os números que usamos para contar, sem negativos. Quando se junta o 0, fala-se em ℕ₀. Os números inteiros incluem todos esses, o 0 e ainda os negativos, −1, −2, −3 e assim por diante. Por isso, −4 é um número inteiro, mas não é natural. Há livros, sobretudo estrangeiros, que incluem o 0 nos naturais, por isso convém confirmar a definição usada no manual do seu filho.
Exemplo
Veja como os principais conjuntos encaixam uns dentro dos outros.
- Números naturais: 1, 2, 3, 4, …
- Números naturais com o zero (ℕ₀): 0, 1, 2, 3, 4, …
- Números inteiros: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Números racionais: todos os números que se podem escrever como fração de inteiros, como 1/2, −3/4 e 7 (que é 7/1)
Os matemáticos representam o conjunto dos números inteiros por ℤ. A letra vem da palavra alemã Zahlen, que significa «números». Os naturais representam-se por ℕ. Como viu, até nos naturais há uma pequena divergência, porque alguns livros começam no 0 e outros no 1.
Onde aparecem os números inteiros no dia a dia?
Os números inteiros aparecem sempre que contamos para cima e para baixo a partir de um ponto zero. Temperaturas abaixo de zero, pisos abaixo do rés-do-chão, profundidades abaixo do nível do mar e a diferença de golos de uma equipa de futebol são inteiros que podem ser negativos. Em todos estes casos, o 0 é um ponto de referência, não «nada».
Exemplo
De manhã estão −4 °C e, até à hora de almoço, a temperatura sobe 7 graus. Comece em −4 e conte 7 passos para cima na reta numérica, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. À hora de almoço estão 3 °C, por isso −4 + 7 = 3.
No elevador, o rés-do-chão costuma ser o 0, o parque de estacionamento pode ficar no piso −2 e o quinto andar é o 5. Ir do −2 ao 5 significa percorrer 7 pisos, porque 5 − (−2) = 7.
Como se somam e subtraem números inteiros?
Para somar inteiros, imagine uma reta numérica. Somar um número positivo leva-o para a direita, e somar um número negativo leva-o para a esquerda. Subtrair é o contrário de somar, por isso subtrair um número negativo leva-o para a direita. É por isso que tirar um negativo dá um resultado maior.
Exemplo
Calcule −3 + 5. Comece em −3 e dê 5 passos para a direita. Passa por −2, −1, 0 e 1 e para no 2. Assim, −3 + 5 = 2.
Mais alguns para experimentar.
- −6 + 2 = −4, porque 2 passos para a direita a partir de −6 levam a −4.
- −2 − 5 = −7, porque 5 passos para a esquerda a partir de −2 levam a −7.
- 4 − (−3) = 7, porque subtrair −3 é o mesmo que somar 3.
Porque é que subtrair um negativo aumenta o resultado?
Subtrair significa perguntar «qual é a diferença?». A diferença entre 4 e −3 na reta numérica é de 7 passos, por isso 4 − (−3) = 7. O OpenStax escreve a regra geral como a − (−b) = a + b. Muitas crianças ficam presas em −5 + 4 porque veem um sinal de mais e esperam um número maior. Começando em −5 e andando 4 para a direita, vê-se que o resultado é −1.
Porque é que menos por menos dá mais?
Quando se multiplicam dois inteiros, o resultado é positivo se os sinais forem iguais e negativo se forem diferentes. Um negativo vezes um negativo dá positivo por causa de um padrão. Cada vez que o primeiro número diminui 1, o resultado muda na mesma quantidade, e esse padrão só continua se o resultado passar a ser positivo.
Exemplo
Veja o que acontece a 3 × (−2) quando o primeiro número diminui 1 de cada vez.
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
Cada resultado é mais 2 do que o anterior. Para o padrão continuar depois do zero, (−1) × (−2) tem de ser 2. Outra forma de o imaginar é que multiplicar por −1 nos faz dar meia-volta na reta numérica. Damos meia-volta duas vezes e ficamos de novo virados para o mesmo lado.
A divisão de inteiros segue a mesma regra dos sinais?
Sim. (−12) : 3 = −4 e (−12) : (−3) = 4, com a mesma regra dos sinais iguais e diferentes. Há, no entanto, uma diferença. Somar, subtrair ou multiplicar dois inteiros dá sempre um inteiro, mas dividir nem sempre. 8 : 2 = 4 é inteiro, enquanto 7 : 2 = 3,5 não é.
Como ganhar rapidez com os números inteiros?
A rapidez com os inteiros vem de fazer muitos cálculos curtos até a reta numérica ficar na cabeça. No jogo dos números negativos, cada ataque é um cálculo rápido com números negativos, por isso as crianças praticam as regras dos sinais enquanto se esforçam por ganhar o combate.
Na ronda acima, subtrair −17 é o mesmo que somar 17, por isso −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
A distância de um número ao zero chama-se valor absoluto, por isso o valor absoluto de −5 é 5. É a ideia seguinte que a maioria dos alunos encontra depois dos inteiros, e o jogo do valor absoluto transforma-a numa série de rondas rápidas.
Os números inteiros são aqueles a que se chega contando para a frente ou para trás
Cada número inteiro é um passo a que se chega contando a partir do 0, para a direita nos positivos e para a esquerda nos negativos. O zero fica ao meio e também faz parte do grupo. Se a criança conseguir imaginar essa reta numérica, as regras para somar, subtrair e multiplicar deixam de ser regras para decorar e começam a fazer sentido.
Treina estes a seguir