O círculo trigonométrico é uma circunferência de raio 1, desenhada à volta do ponto (0, 0). Parece mais uma tabela para decorar, mas na verdade é uma única ideia. Quando percebes essa ideia, consegues reconstruir qualquer valor do círculo em poucos segundos, sem decorar uma longa lista de números.
O que é o círculo trigonométrico?
O círculo trigonométrico é uma circunferência com raio exatamente igual a 1 e centro na origem (0, 0). Cada ângulo, medido no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio a partir do semieixo positivo dos x, corresponde a um ponto da circunferência. Esse ponto tem sempre as coordenadas (cos θ, sen θ). Ou seja, a coordenada x é o cosseno do ângulo e a coordenada y é o seno.
Exemplo
Pega num ângulo de 30°. Traça uma linha a partir do centro, a 30° acima do eixo dos x, até tocar na circunferência. O ponto onde chega é (√3/2, 1/2), que é aproximadamente (0,866; 0,5). Isso diz-te duas coisas ao mesmo tempo. O cosseno de 30° é √3/2 e o seno de 30° é 1/2.
Todos os pontos da circunferência também cumprem a equação x² + y² = 1. Confirma com o ponto dos 30°. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Esta equação é o teorema de Pitágoras disfarçado, porque o raio é o lado maior de um triângulo retângulo com lados x e y.
Porque é que o cosseno é a coordenada x e o seno é a coordenada y?
Muitos alunos conhecem as razões seno, cosseno e tangente, mas não percebem onde entra o círculo. Desenha um triângulo retângulo dentro do círculo, com o raio como lado maior (a hipotenusa). O lado de baixo fica sobre o eixo dos x e o lado vertical sobe até ao ponto da circunferência.
O cosseno é o cateto adjacente a dividir pela hipotenusa. No círculo trigonométrico a hipotenusa é 1, por isso o cosseno é simplesmente o comprimento do lado de baixo, que é a coordenada x. Da mesma forma, o seno é o cateto oposto a dividir por 1, que é a altura, ou seja, a coordenada y. O círculo limita-se a eliminar a divisão.
Porque é que o círculo trigonométrico usa radianos?
O círculo trigonométrico usa radianos porque, com raio 1, o ângulo em radianos é exatamente o comprimento do arco que percorres na circunferência. Uma volta completa tem 360° e o perímetro completo da circunferência é 2π. Por isso, 360° são 2π radianos e 180° são π radianos.
Exemplo
Para passar de graus para radianos, multiplica por π e divide por 180. Para 60°, isso dá 60 × π / 180 = π/3. Para voltar atrás, multiplica por 180 e divide por π. Assim, π/4 radianos são 180 / 4 = 45°.
Ângulos como π/8 confundem muitas vezes os alunos, porque não aparecem na tabela habitual. O truque é pensar em frações de meia volta. π é meia volta, π/4 é um quarto dessa meia volta (45°) e π/8 é metade de π/4, ou seja, 22,5°. Fica a meio caminho entre 0 e o ponto dos 45°.
Os radianos também contam mais tarde. Em cálculo, as regras do seno e do cosseno só funcionam de forma tão simples quando os ângulos estão em radianos. É por isso que os professores passam para radianos assim que aparece o círculo trigonométrico.
Como recordar o círculo trigonométrico sem o decorar?
Só precisas dos valores de 0°, 30°, 45°, 60° e 90°. Tudo o resto no círculo é uma imagem espelhada destes cinco. Abaixo tens três formas de os reconstruir, e nenhuma depende de uma frase numa língua específica. Escolhe a que te parecer mais natural.
Reconstrói-o a partir de dois triângulos
Corta um quadrado pela diagonal e obténs um triângulo retângulo com dois ângulos de 45°, por isso os dois catetos são iguais. Faz com que o lado maior meça 1, como o raio. Os dois catetos têm então de cumprir x² + y² = 1, e com x = y isso quer dizer que cada um mede √2/2. Assim, o ponto dos 45° é (√2/2, √2/2).
Agora desenha um triângulo equilátero com lados de 2 e corta-o ao meio. Obténs um triângulo com ângulos de 30°, 60° e 90°, com lados 1, √3 e 2. Divide todos os lados por 2 para que o lado maior passe a ser 1. Os lados são agora 1/2, √3/2 e 1, o que te dá os pontos dos 30° e dos 60°.
Usa o padrão das raízes quadradas
Escreve os números 0, 1, 2, 3, 4 por baixo dos ângulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Calcula a raiz quadrada de cada número e divide por 2. Essa linha dá-te o seno de cada ângulo. Lê a mesma linha de trás para a frente para obteres o cosseno.
- Seno de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- Cosseno dos mesmos ângulos: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
Conta-o na mão
Levanta a mão esquerda, com a palma virada para ti. O polegar representa 90°, o indicador 60°, o dedo médio 45°, o anelar 30° e o mindinho 0°. Para encontrares os valores de um ângulo, baixa o dedo correspondente.
Conta os dedos do lado do mindinho em relação ao dedo baixado, calcula a raiz quadrada desse número e divide por 2. Isso dá o seno. Os dedos do lado do polegar dão o cosseno da mesma forma.
Para 30°, baixa o anelar. Há um dedo (o mindinho) do lado do mindinho, por isso o seno é √1/2 = 1/2. Há três dedos do lado do polegar, por isso o cosseno é √3/2.
Cada método dá os mesmos cinco pontos. Algumas rondas no jogo de trigonometria mostram depressa se consegues lembrar-te dos valores do seno e do cosseno com um pouco de pressão de tempo. Um treino curto e frequente como este fixa os valores muito melhor do que uma sessão longa.
É preciso decorar o círculo trigonométrico inteiro?
Não. Precisas do primeiro quadrante (de 0° a 90°) e de uma forma segura de o refletir. Os alunos que decoram a tabela completa para um teste muitas vezes esquecem-na poucas semanas depois. Os alunos que percebem os triângulos e as reflexões conseguem reconstruí-la em qualquer momento, e é isso que temas posteriores, como o cálculo, realmente pedem.
Como mudam os sinais em cada quadrante?
O círculo tem quatro quadrantes. Em cada um, os valores absolutos das coordenadas coincidem com os de um ângulo do primeiro quadrante, e só os sinais mudam. No primeiro quadrante, x e y são ambos positivos. No segundo, x é negativo. No terceiro, ambos são negativos. No quarto, y é negativo.
Exemplo
Encontra o ponto dos 150°. Fica no segundo quadrante, a 30° dos 180°. Por isso é a imagem espelhada do ponto dos 30° em relação ao eixo dos y. O ponto dos 30° é (√3/2, 1/2). Ao espelhá-lo, a coordenada x passa a ser negativa, por isso o ponto dos 150° é (−√3/2, 1/2).
- Primeiro quadrante (de 0° a 90°): x é positivo, y é positivo
- Segundo quadrante (de 90° a 180°): x é negativo, y é positivo
- Terceiro quadrante (de 180° a 270°): x é negativo, y é negativo
- Quarto quadrante (de 270° a 360°): x é positivo, y é negativo
Uma verificação rápida é imaginar o ponto num gráfico normal. À esquerda do eixo dos y quer dizer que x é negativo, e abaixo do eixo dos x quer dizer que y é negativo. Não precisas de decorar esta lista se conseguires imaginar onde fica o ponto.
O que é a tangente no círculo trigonométrico?
A tangente de um ângulo é a coordenada y a dividir pela coordenada x, por isso tg θ = sen θ / cos θ. Para 60°, isso dá (√3/2) ÷ (1/2) = √3, aproximadamente 1,732. Em 90° e 270° a coordenada x é 0, e não se pode dividir por 0, por isso a tangente não está definida nesses ângulos.
Para que serve o círculo trigonométrico?
O círculo trigonométrico é a razão pela qual o seno e o cosseno funcionam para qualquer ângulo, e não só para os ângulos dentro de um triângulo retângulo. Isso faz dele a base de tudo o que se repete ou roda. As ondas sonoras, as ondas de luz, a corrente alternada, o movimento de um pêndulo e os ponteiros de um relógio são todos descritos com seno e cosseno.
Exemplo
Imagina um ponto a andar à volta da circunferência a uma velocidade constante. A sua altura sobe até 1, desce até −1 e volta outra vez, numa onda suave. Representa essa altura em função do tempo e obténs o gráfico da função seno. Os engenheiros usam exatamente esta ideia para descrever vibrações, e quem cria jogos e animações usa-a para rodar objetos no ecrã.
Um quadrante e dois triângulos dão-te o círculo inteiro
Aqui estão os ângulos principais com as suas coordenadas. Usa a lista como referência, mas tenta reconstruir cada linha com os triângulos ou com o truque da mão antes de olhares.
- 0° (0): (1, 0), tg θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tg θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tg θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tg θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tg θ = não definida
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tg θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tg θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tg θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tg θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tg θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tg θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tg θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tg θ = não definida
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tg θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tg θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tg θ = −√3/3
Se uma linha te parecer difícil, volta ao primeiro quadrante, encontra o ângulo correspondente e decide os sinais a partir do quadrante. Esse único hábito substitui a lista inteira.
Treina estes a seguir