O 1 é um número primo? O que são números primos e como os identificar depressa

O que é um número primo?

O 1 é um número primo? Não. Um número primo é um número natural com exatamente dois divisores diferentes: o 1 e o próprio número. Por exemplo, o 7 é primo porque só o 1 e o 7 o dividem sem deixar resto. O número 1 tem apenas um divisor, por isso não cumpre esta regra. Também não é composto, o que coloca o 1 num grupo à parte.

O 1 é um número primo?

Não, o 1 não é um número primo. Um número primo tem de ter exatamente dois divisores diferentes, e o 1 tem apenas um. Também não é composto, porque os números compostos têm mais de dois divisores. Por isso, os matemáticos consideram que o 1 não é primo nem composto. O menor número primo é o 2, com os divisores 1 e 2.

Exemplo

Aqui tens os divisores dos números de 1 a 6.

• 1 tem um divisor (1), por isso não é primo nem composto.
• 2 tem dois divisores (1 e 2), por isso é primo.
• 3 tem dois divisores (1 e 3), por isso é primo.
• 4 tem três divisores (1, 2 e 4), por isso é composto.
• 5 tem dois divisores (1 e 5), por isso é primo.
• 6 tem quatro divisores (1, 2, 3 e 6), por isso é composto.

Só o 1 tem um único divisor. Todos os números primos têm exatamente dois, e todos os números compostos têm três ou mais.

Ver com pontos

Experimenta com pontos numa folha ou com objetos pequenos, como botões. Seis pontos podem formar um retângulo de 2 filas de 3, por isso o 6 é composto. Sete pontos só formam uma única fila de 7, por mais que tentes, por isso o 7 é primo. Com um só ponto, não há nada para arrumar, o que mostra de outra forma que o 1 se comporta de maneira diferente.

Porque é que tanta gente pensa que o 1 é primo

Muitos de nós aprendemos que um número primo é um número "divisível apenas por 1 e por si próprio". Segundo esta definição, o 1 parece encaixar. O problema é que aqui o 1 e "si próprio" são o mesmo número, o que dá um divisor, e não dois. É por isso que as definições cuidadosas falam em exatamente dois divisores diferentes, ou em "um número natural maior do que 1" que é divisível apenas por 1 e por si próprio.

Também podes ler na internet que o 1 "já foi primo". A história verdadeira é mais complicada. Os matemáticos da Grécia Antiga nem sequer consideravam o 1 um número, e os matemáticos que vieram depois não estavam de acordo. Como a Scientific American explica na sua história da questão, o matemático britânico G. H. Hardy ainda incluía o 1 entre os números primos nas primeiras edições do seu manual e mudou isso em 1938. Hoje, os matemáticos estão de acordo: o 1 não é primo.

Até adultos que estudaram matemática durante anos hesitam por vezes neste ponto. Se o teu filho disse que o 1 é primo e a resposta foi dada como errada, o raciocínio dele não era disparatado. À regra de que se lembrava faltava apenas um pequeno pormenor.

O 2 é um número primo?

Sim. O número 2 é o menor número primo e o único que é par. Todos os outros números pares podem ser divididos por 2, o que lhes dá pelo menos três divisores (1, 2 e o próprio número). Assim, depois do 2, todos os números primos são ímpares, embora muitos números ímpares sejam compostos.

O 0 é um número primo?

Não. O zero não é primo nem composto. Todos os números naturais, exceto o 0, dividem o 0 sem deixar resto, por isso o 0 tem muito mais do que dois divisores. Primo e composto só se usam para números naturais maiores do que 1, o que deixa o 0 e o 1 de fora destes dois grupos.

Como saber depressa se um número é primo?

Divide o número apenas pelos números primos pequenos, a começar por 2, 3, 5 e 7. Podes parar assim que o número primo que estás a testar, multiplicado por si próprio, for maior do que o teu número. Se nenhum desses números primos o dividir sem deixar resto, o número é primo. Para qualquer número abaixo de 100, basta testar 2, 3, 5 e 7.

Exemplo

O 91 é primo?

1. É ímpar, por isso o 2 não o divide.
2. A soma dos seus algarismos é 9 + 1 = 10. Não é múltiplo de 3, por isso o 3 não o divide.
3. Não acaba em 0 nem em 5, por isso o 5 não o divide.
4. Experimenta o 7. Como 7 × 13 = 91, o número 91 não é primo.

O 97 é primo? É ímpar, a soma dos seus algarismos é 16 e não acaba em 0 nem em 5. A divisão dá 97 ÷ 7 = 13 com resto 6. O número primo seguinte é o 11, e 11 × 11 = 121 já é maior do que 97. Podes parar aí, por isso o 97 é primo.

Porque é que podes parar cedo

Os divisores aparecem aos pares. Para o 36, os pares são 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 e 6 × 6. Em cada par, um dos divisores é 6 ou menos, porque 6 × 6 = 36. Por isso, se não encontrares nenhum divisor até esse ponto, também não há nenhum para lá dele.

Os filtros rápidos

• Se um número acaba em 0, 2, 4, 6 ou 8, é divisível por 2. Só o próprio 2 é primo.
• Se a soma dos algarismos é múltiplo de 3, o número é divisível por 3. Só o próprio 3 é primo.
• Se um número acaba em 0 ou 5, é divisível por 5. Só o próprio 5 é primo.
• Para o 7, basta fazer a divisão.

A rapidez vem de ver muitos números. Quando os filtros te forem familiares, umas quantas rondas a identificar números primos contra o relógio no Math Max transformam-nos num hábito, porque cada resposta certa é um ataque ao outro lutador. O jogo é gratuito e corre no browser, por isso não é preciso instalar nada.

Que números parecem primos mas não são?

Os números armadilha clássicos são o 51, o 57 e o 91. São ímpares, não acabam em 5 e parecem mesmo primos. Mas 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 e 91 = 7 × 13. A maior parte dos números armadilha é apanhada pelo critério de divisibilidade por 3 ou por uma divisão rápida por 7.

Exemplo

• 39 = 3 × 13. A soma dos algarismos é 12, um múltiplo de 3.
• 51 = 3 × 17. A soma dos algarismos é 6, um múltiplo de 3.
• 57 = 3 × 19. A soma dos algarismos é 12, um múltiplo de 3.
• 87 = 3 × 29. A soma dos algarismos é 15, um múltiplo de 3.
• 91 = 7 × 13. A divisão por 7 apanha-o.
• 119 = 7 × 17. A divisão por 7 apanha-o.
• 133 = 7 × 19. A divisão por 7 apanha-o.

Até os especialistas se enganam

O número 57 é chamado, a brincar, o primo de Grothendieck, por causa de uma história segundo a qual o famoso matemático Alexander Grothendieck o terá usado uma vez como exemplo de número primo.

Quando o blogue de matemática The Aperiodical analisou os resultados de um jogo online chamado "Is this prime?", o 51 foi confundido com um número primo ainda mais vezes do que o 57. Muitos jogadores também disseram que o 39 era primo. O número primo mais vezes tomado por composto foi o 59, por isso os erros acontecem nos dois sentidos.

Dois atalhos falsos explicam a maior parte destes deslizes. Um é "os números ímpares são primos", o que o 9, o 15 e o 21 desmentem. O outro é "os números que acabam em 1, 3, 7 ou 9 são primos", mas esses finais só excluem o 2 e o 5 como divisores.

Números primos até 100

Na dúvida, confirma na lista. Há 25 números primos abaixo de 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

A lista nunca acaba, porque o matemático grego da Antiguidade Euclides provou que existem infinitos números primos.

Dois divisores diferentes: a regra é só esta

Um número primo tem de ter exatamente dois divisores diferentes, e o 1 tem apenas um, por isso o 1 não é primo. A mesma regra explica porque é que o 2 é primo e porque é que o 0 não é. Para verificar um número depressa, testa os números primos pequenos, para na raiz quadrada e tem cuidado com armadilhas como o 51 e o 91.