Ordem das operações: PEMDAS, BODMAS e a regra por trás delas

Como usar a ordem das operações passo a passo?

Com a ordem das operações (PEMDAS, em inglês), você resolve um cálculo em quatro etapas. Primeiro, o que está dentro dos parênteses, depois as potências, em seguida multiplicações e divisões da esquerda para a direita e, por último, adições e subtrações, também da esquerda para a direita. Reescreva a linha inteira depois de cada etapa, assim fica fácil achar qualquer erro depois.

Exemplo

Calcule 3 + 4 × (6 − 2)² ÷ 8.

1. Parênteses: 6 − 2 = 4, e fica 3 + 4 × 4² ÷ 8
2. Potências: 4² = 16, e fica 3 + 4 × 16 ÷ 8
3. Multiplicação e divisão, da esquerda para a direita: 4 × 16 = 64, depois 64 ÷ 8 = 8, e fica 3 + 8
4. Adição e subtração: 3 + 8 = 11

Copiar a linha de novo parece demorado. Mesmo assim, é a melhor proteção contra erros. Um deslize comum é somar o 3 e o 4 logo no começo. Isso dá 7, e a resposta final sai errada.

Na PEMDAS a multiplicação vem antes da divisão?

Não. Multiplicação e divisão estão no mesmo nível, assim como adição e subtração. Dentro de cada dupla, você simplesmente vai da esquerda para a direita. A PEMDAS coloca o M antes do D só porque uma palavra precisa pôr as letras em alguma ordem. Tratar as letras como uma classificação rígida é um dos erros mais frequentes na ordem das operações.

Exemplo

Calcule 24 ÷ 4 × 2.

1. Vindo da esquerda, a divisão aparece primeiro: 24 ÷ 4 = 6
2. Depois, a multiplicação: 6 × 2 = 12

Se você multiplicar primeiro, chega a 24 ÷ 8 = 3, o que está errado. Com adição e subtração acontece a mesma coisa. Em 10 − 4 + 3, da esquerda para a direita dá 6 + 3 = 9. Somando primeiro, dá 10 − 7 = 3, também errado.

O livro didático gratuito OpenStax Prealgebra 2e diz isso com todas as letras. Multiplicação e divisão são feitas em ordem, da esquerda para a direita, porque têm a mesma prioridade. Muitos adultos não se lembram desse detalhe da escola, e ele está por trás de muitas discussões sobre desafios de matemática na internet.

Qual é a diferença entre PEMDAS, BODMAS e BIDMAS?

Nas regras não há diferença nenhuma, só nas palavras. PEMDAS começa com P de parentheses (parênteses), enquanto BODMAS e BIDMAS começam com B de brackets, que também quer dizer parênteses. E (exponents), O (orders) e I (indices) significam a mesma coisa: potências e raízes. Todas as versões colocam multiplicação e divisão em um nível, e adição e subtração no seguinte.

Exemplo

Calcule 2 + 3 × 4² pensando em cada versão.

1. Primeiro as potências: 4² = 16
2. Depois a multiplicação: 3 × 16 = 48
3. Depois a adição: 2 + 48 = 50

A BODMAS escreve o D antes do M, e a PEMDAS escreve o M antes do D. As duas dão 50 aqui, e dão a mesma resposta em qualquer cálculo. Se a ordem das letras continuar confundindo, pode ajudar escrever a regra como quatro níveis em vez de seis letras: parênteses, potências, multiplicar ou dividir, somar ou subtrair.

Por que precisamos de uma ordem das operações?

Sem uma ordem combinada, uma linha como 2 + 3 × 4 poderia significar duas coisas diferentes. Somando primeiro, dá 20. Multiplicando primeiro, dá 14. A convenção diz que a multiplicação vem antes, então a resposta é 14. O objetivo da regra é simplesmente que todo mundo que lê o mesmo cálculo chegue ao mesmo resultado.

Exemplo

Uma amiga compra 3 cadernos a 4 moedas cada e uma caneta por 2 moedas. O total é 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 moedas. Somar primeiro daria 5 × 4 = 20, como se ela tivesse comprado a caneta quatro vezes.

A convenção é bem mais antiga que as siglas. Segundo o MacTutor, o arquivo de história da matemática da Universidade de St Andrews, fazer a multiplicação antes da adição e da subtração já era a regra nos primeiros livros de álgebra simbólica, no século XVI. A mesma página cita um historiador que, no fim da década de 1920, escreveu que ainda não havia acordo sobre se ÷ ou × deveria vir primeiro.

Qual é a resposta de 8 ÷ 2(2 + 2)?

Se você segue a ordem das operações como ela é ensinada, 8 ÷ 2(2 + 2) dá 16. Os parênteses vêm primeiro e dão 4. O 2 escrito colado aos parênteses indica multiplicação, e divisão e multiplicação vão da esquerda para a direita, então 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16. Em alguns livros a divisão aparece com dois-pontos (8 : 2), mas a regra é a mesma.

Exemplo

Veja as duas leituras lado a lado.

1. Da esquerda para a direita: 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16
2. Com 2(2 + 2) como um bloco só: 8 ÷ (2 × 4) = 8 ÷ 8 = 1

O problema de verdade é como o cálculo está escrito. Uma nota no site do departamento de matemática de Berkeley observa que não existe uma convenção padrão para expressões assim, porque escrever um número colado aos parênteses sugere que os dois andam juntos. Os matemáticos evitam a discussão inteira com parênteses extras: (8 ÷ 2)(2 + 2) ou 8 ÷ (2(2 + 2)).

O traço de fração agrupa do mesmo jeito. Se 6 + 4 está escrito em cima do traço de fração e 2 embaixo, você soma primeiro, então a resposta é 10 ÷ 2 = 5.

Quais são os erros mais comuns na ordem das operações?

A maioria dos erros vem de ler a sigla como seis passos separados, numa ordem fixa. Isso leva a multiplicar antes de dividir ou a somar antes de subtrair. Outros deslizes são esquecer que o traço de fração agrupa o que está em cima e embaixo dele, e elevar um número negativo ao quadrado sem os parênteses. Reescrever a linha depois de cada passo pega a maior parte deles.

Os deslizes que sempre voltam

• Multiplicar antes de dividir. Em 24 ÷ 4 × 2, vá da esquerda para a direita: 6 × 2 = 12.
• Somar antes de subtrair. Em 10 − 4 + 3, vá da esquerda para a direita: 6 + 3 = 9.
• Elevar um número negativo ao quadrado. −3² significa −(3²) = −9, mas (−3)² = 9. São os parênteses que decidem se o sinal de menos é elevado ao quadrado.
• Começar pelos colchetes de fora. Em 2 × [5 + (3 − 1)²], comece por dentro: 3 − 1 = 2, depois 2² = 4, depois 5 + 4 = 9 e, por fim, 2 × 9 = 18.
• Ignorar o traço de fração. Resolva primeiro a parte de cima e a de baixo separadamente, e só então divida.

Como praticar a ordem das operações?

Cálculos curtos e frequentes são o melhor jeito de praticar essa regra. No jogo de ordem das operações, cada ataque é uma expressão numérica como (5 + 3) × 7. Você resolve os parênteses, multiplica e digita 56 para acertar o ataque.

As potências travam muita gente, principalmente com números negativos. Se é aí que você empaca, experimente antes o jogo de potências. Depois disso, cálculos mais longos com potências ficam mais fáceis de resolver.

O nome da regra depende de onde você aprende. Nos Estados Unidos é PEMDAS, e no Reino Unido é BODMAS ou BIDMAS. Outras línguas usam suas próprias frases curtas, mas a regra por trás é a mesma em todo lugar. No Brasil, a escola fala em ordem das operações, ou ordem de resolução das expressões numéricas.

Uma regra em comum para todo mundo chegar à mesma resposta

A ordem das operações é um combinado, não uma lei da natureza, e só funciona porque todo mundo usa a mesma. Primeiro os parênteses, depois as potências, em seguida multiplicação e divisão da esquerda para a direita, e por fim adição e subtração da esquerda para a direita. Quando um cálculo ainda puder ser lido de dois jeitos, coloque parênteses e a discussão acaba.