De formule y = ax + b van een lijn stap voor stap uitgelegd

Waarom de formule y = ax + b zo handig is

Staat een vergelijking in deze vorm, dan lees je de richtingscoëfficiënt en het startpunt er zo uit af en schets je de lijn in een paar seconden. Hieronder lees je hoe je de formule leest, hoe je hem opstelt uit twee punten of uit een andere vorm, en welke fouten de meeste mensen maken.

Hoe stel je de formule y = ax + b op?

Om de formule op te stellen heb je twee dingen nodig, de richtingscoëfficiënt a en het startgetal b. De richtingscoëfficiënt bereken je uit twee punten met a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Vul daarna één punt en de richtingscoëfficiënt in y = ax + b in en los b op. Schrijf het resultaat op met jouw getallen in plaats van a en b.

Voorbeeld

Stel de formule op van de lijn door de punten (1, 5) en (3, 9).

1. Richtingscoëfficiënt: a = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Gebruik het punt (1, 5): 5 = 2 × 1 + b, dus b = 3
3. Formule: y = 2x + 3
4. Controleer met het andere punt (3, 9): 2 × 3 + 3 = 9. Klopt.

Die laatste controle kost tien seconden en vangt de meeste fouten af, dus het loont om er een gewoonte van te maken.

En als de richtingscoëfficiënt een breuk is?

Breuken zijn hier heel normaal, en een breuk betekent niet dat je iets fout hebt gedaan. Neem de punten (4, 0) en (−2, 4). De richtingscoëfficiënt is (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Dan geeft 0 = −2/3 × 4 + b dat b = 8/3, dus y = −2/3x + 8/3. Controle met (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Laat de richtingscoëfficiënt als breuk staan in plaats van als afgerond kommagetal, want de breuk is exact en de controle komt precies uit. Zijn breuken juist het onderdeel waar je op vastloopt, dan maken een paar rondjes van het breukenspel gelijkwaardige breuken en vereenvoudigen een stuk sneller.

In de ronde hierboven is 7/10 = 70/100, omdat teller en noemer allebei met 10 worden vermenigvuldigd.

Wat betekenen a en b in y = ax + b?

In y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en b het startgetal. De richtingscoëfficiënt vertelt hoeveel y verandert als x 1 groter wordt, oftewel hoeveel je omhoog gaat per stap naar rechts. Het startgetal is de waarde van y als x = 0, dus het punt (0, b) waar de lijn de y-as snijdt.

Voorbeeld

Bij y = 3x − 2 is de richtingscoëfficiënt 3 en het startgetal −2. De lijn snijdt de y-as in (0, −2), en bij elke stap van 1 naar rechts gaat hij 3 omhoog. Bij y = −2x + 4 is de richtingscoëfficiënt −2, dus de lijn gaat 2 omlaag bij elke stap naar rechts, en hij snijdt de y-as in (0, 4).

Het leerboek OpenStax College Algebra 2e (Engelstalig) beschrijft de helling als "rise over run", de stijging gedeeld door de stap opzij, en het snijpunt met de y-as als het punt waar de invoerwaarde nul is. Een lijn met een positieve richtingscoëfficiënt loopt van links naar rechts omhoog, met een negatieve loopt hij omlaag, en hoe groter het getal (zonder op het teken te letten), hoe steiler de lijn.

Een voorbeeld uit het dagelijks leven

Een kaars is 20 cm hoog en brandt elk uur 2 cm op. De hoogte na t uur is h = −2t + 20. De 20 is waar hij begint (b), en −2 is de verandering per uur (a). Na 3 uur is hij 14 cm hoog, en na 10 uur is hij op. Veel leerlingen vinden het makkelijker om b te zien als beginwaarde en a als verandering per stap.

Hoe teken je een lijn met de formule y = ax + b?

Om y = ax + b te tekenen, begin je bij het startgetal, het punt (0, b) op de y-as. Gebruik vanaf daar de richtingscoëfficiënt. Ga 1 naar rechts en a omhoog (of omlaag als a negatief is) om een tweede punt te vinden. Trek een rechte lijn door beide punten en verleng hem.

Voorbeeld

Teken y = 2x + 1.

1. Zet het startpunt (0, 1) op de y-as.
2. De richtingscoëfficiënt 2 betekent 2/1, dus ga 1 naar rechts en 2 omhoog. Dan kom je uit op (1, 3).
3. Trek de lijn door (0, 1) en (1, 3).

Bij een richtingscoëfficiënt als −2/3 ga je 3 naar rechts en 2 omlaag. Als je de noemer als stap opzij neemt, blijf je op de roosterpunten, en dan teken je de lijn veel nauwkeuriger.

Hoe herschrijf je Ax + By = C naar y = ax + b?

Om een vergelijking als Ax + By = C in de vorm y = ax + b te zetten, maak je y vrij. Breng de term met x naar de andere kant en deel daarna elke term door het getal voor y. Het getal voor x is nu de richtingscoëfficiënt, en het losse getal is het startgetal.

Voorbeeld

Herschrijf 2x + 3y = 6.

1. Trek aan beide kanten 2x af: 3y = −2x + 6
2. Deel elke term door 3: y = −2/3x + 2

De richtingscoëfficiënt is −2/3 en het startgetal is 2. Een veelgemaakte fout is de richtingscoëfficiënt meteen als 2 aflezen uit 2x + 3y = 6. De getallen betekenen pas richtingscoëfficiënt en startgetal als y alleen aan één kant staat.

Een punt en de richtingscoëfficiënt of y = ax + b?

De vorm y − y₁ = a(x − x₁) is handig als je een punt en de richtingscoëfficiënt kent, want je kunt hem meteen opschrijven. Voor het punt (1, 5) en richtingscoëfficiënt 2 krijg je y − 5 = 2(x − 1). Haakjes wegwerken en vereenvoudigen, y = 2x − 2 + 5, en je bent terug bij y = 2x + 3. Beide vormen beschrijven dezelfde lijn.

Welke lijnen kun je niet schrijven als y = ax + b?

Verticale lijnen kun je niet schrijven als y = ax + b. Elk punt op een verticale lijn heeft dezelfde x, dus de stap opzij is 0 en voor de richtingscoëfficiënt zou je door nul moeten delen. Daarom heeft een verticale lijn geen richtingscoëfficiënt. Een verticale lijn door x = 3 schrijf je gewoon als x = 3.

Voorbeeld

De punten (3, 1) en (3, 6) liggen op een verticale lijn. De richtingscoëfficiënt zou (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0 zijn, en dat heeft geen uitkomst. De lijn is dus x = 3. Een verticale lijn snijdt de y-as ook nooit, behalve als hij de y-as zelf is, dus er is geen startgetal om voor b in te vullen.

Horizontale lijnen zijn geen probleem. De punten (−1, 4) en (5, 4) geven een richtingscoëfficiënt van 0 : 6 = 0, dus de lijn is y = 0x + 4, oftewel gewoon y = 4.

Wat zijn de meest gemaakte fouten met y = ax + b?

De meeste fouten met y = ax + b zijn kleine slordigheden, geen misverstanden. Mensen verwisselen de coördinaten van een punt, trekken boven en onder in de formule voor de richtingscoëfficiënt in een andere volgorde af, of lezen a en b af voordat y vrijgemaakt is. Als je de uiteindelijke formule controleert met een van de oorspronkelijke punten, vang je ze bijna allemaal af.

Snelle oplossingen voor elke slordigheid

Dit zijn de fouten die steeds terugkomen, met voor elk een snelle oplossing.

• x en y in een punt verwisselen. (5, 7) betekent x = 5 en y = 7. Zeg "eerst opzij, dan omhoog" terwijl je het leest.
• De volgorde van aftrekken veranderen. Doe je boven 9 − 5, doe dan onder 3 − 1, beide keren met hetzelfde punt eerst.
• a en b verwisselen. In y = 4 + 3x is de richtingscoëfficiënt nog steeds 3, want a is het getal dat bij x hoort, waar het ook staat.
• Een minteken vergeten. In y = −x + 2 is de richtingscoëfficiënt −1, niet 1.
• Denken dat een breuk wel fout moet zijn. Richtingscoëfficiënten als 3/4 of −2/3 zijn net zo goed als 2.

Oefenen met y = ax + b tot het vanzelf gaat

Lijnen snel leren lezen doe je door er veel te zien. In het spel over lineaire functies is elke aanval een vraag over een lijn, zodat je veel oefent met richtingscoëfficiënten en startgetallen zonder dat het als huiswerk voelt.

Het oplossen van b is bovendien gewoon een kleine vergelijking van één stap. Loop je juist daar vast, dan is het vergelijkingenspel een goede opwarmer.

De letters zelf verschillen per land. In Nederland en Vlaanderen schrijf je y = ax + b, net als in Frankrijk en Polen. Engelstalige landen schrijven y = mx + b, in Rusland is het y = kx + b en in Italië y = mx + q. Welke letters je ook gebruikt, het getal voor x is altijd de richtingscoëfficiënt en het losse getal geeft aan waar de lijn de y-as snijdt.

Twee getallen beschrijven elke lijn die niet verticaal is

Elke lijn die niet verticaal is, kun je schrijven als y = ax + b, dus twee getallen zijn genoeg om hem volledig te beschrijven. De richtingscoëfficiënt zegt hoe steil hij is en welke kant hij op gaat, en het startgetal zegt waar hij begint. Zoek die twee getallen, controleer je formule met een punt, en de rest volgt vanzelf.