Stigningstall og konstantledd i y = ax + b forklart trinn for trinn

Hvorfor y = ax + b er så nyttig

Når en likning står på denne formen, kan du lese av stigningstallet og startpunktet direkte og skissere linjen på få sekunder. Under finner du hvordan du leser den, hvordan du finner den fra to punkter eller fra en annen form, og hvilke feil som lurer flest.

Hvordan finner man likningen y = ax + b?

For å finne likningen trenger du to ting, stigningstallet a og konstantleddet b. Stigningstallet finner du fra to punkter med a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Sett så inn ett punkt og stigningstallet i y = ax + b, og løs for b. Skriv resultatet med dine tall i stedet for a og b.

Eksempel

Finn linjen gjennom punktene (1, 5) og (3, 9).

1. Stigningstall: a = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Bruk punktet (1, 5): 5 = 2 · 1 + b, altså b = 3
3. Likning: y = 2x + 3
4. Kontroller med det andre punktet (3, 9): 2 · 3 + 3 = 9. Det stemmer.

Den siste kontrollen tar ti sekunder og fanger de fleste feil, så det lønner seg å gjøre den til en vane.

Hva om stigningstallet er en brøk?

Brøker er helt vanlige her, og en brøk betyr ikke at du har regnet feil. Ta punktene (4, 0) og (−2, 4). Stigningstallet er (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Da gir 0 = −2/3 · 4 + b at b = 8/3, altså y = −2/3x + 8/3. Kontroll med (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Behold stigningstallet som brøk i stedet for et avrundet desimaltall, for brøken er eksakt, og kontrollen går helt opp. Hvis det er brøkene som bremser deg, gjør noen runder med brøkspillet det mye raskere å utvide og forkorte brøker.

I runden over er 7/10 = 70/100, fordi både teller og nevner ganges med 10.

Hva betyr a og b i y = ax + b?

I y = ax + b er a stigningstallet og b konstantleddet. Stigningstallet forteller hvor mye y endrer seg når x øker med 1. Konstantleddet er verdien av y når x = 0, altså punktet (0, b) der linjen skjærer y-aksen.

Eksempel

I y = 3x − 2 er stigningstallet 3 og konstantleddet −2. Linjen skjærer y-aksen i (0, −2), og for hvert steg på 1 mot høyre går den 3 opp. I y = −2x + 4 er stigningstallet −2, så linjen går 2 ned for hvert steg mot høyre, og den skjærer y-aksen i (0, 4).

Læreboka OpenStax College Algebra 2e (på engelsk) beskriver stigningen som "rise over run", altså hvor mye linjen stiger delt på hvor langt du går bortover, og skjæringspunktet med y-aksen som punktet der inputverdien er null. Et positivt stigningstall gir en linje som stiger fra venstre mot høyre, et negativt gir en som synker, og jo større tallet er (uten fortegn), jo brattere er linjen.

Et eksempel fra hverdagen

Et stearinlys er 20 cm høyt og brenner ned 2 cm hver time. Høyden etter t timer er h = −2t + 20. Tallet 20 er startverdien (b), og −2 er endringen hver time (a). Etter 3 timer er det 14 cm høyt, og etter 10 timer er det borte. Mange elever synes det er lettere å tenke på b som startverdien og a som endringen per steg.

Hvordan tegner man en linje ut fra y = ax + b?

For å tegne y = ax + b starter du i konstantleddet, punktet (0, b) på y-aksen. Derfra bruker du stigningstallet. Gå 1 mot høyre og a opp (eller ned hvis a er negativ) for å finne et punkt til. Trekk en rett linje gjennom begge punktene og forleng den.

Eksempel

Tegn y = 2x + 1.

1. Merk av punktet (0, 1) på y-aksen.
2. Stigningstallet 2 betyr 2/1, så gå 1 mot høyre og 2 opp. Da havner du i (1, 3).
3. Trekk linjen gjennom (0, 1) og (1, 3).

Med et stigningstall som −2/3 går du 3 mot høyre og 2 ned. Når du bruker nevneren som steget bortover, holder du deg på rutenettpunktene, og linjen blir lettere å tegne nøyaktig.

Hvordan skriver man om Ax + By = C til y = ax + b?

For å skrive om en likning som Ax + By = C til formen y = ax + b løser du den med hensyn på y. Flytt x-leddet over på den andre siden, og del så hvert ledd på tallet foran y. Tallet foran x er nå stigningstallet, og tallet som står alene, er konstantleddet.

Eksempel

Skriv om 2x + 3y = 6.

1. Trekk fra 2x på begge sider: 3y = −2x + 6
2. Del hvert ledd på 3: y = −2/3x + 2

Stigningstallet er −2/3 og konstantleddet er 2. En vanlig feil er å lese av stigningstallet som 2 rett fra 2x + 3y = 6. Tallene betyr først stigningstall og konstantledd når y står alene på den ene siden.

Ettpunktsformelen eller y = ax + b?

Ettpunktsformelen, y − y₁ = a(x − x₁), er praktisk når du kjenner et punkt og stigningstallet, fordi du kan skrive den opp med en gang. For punktet (1, 5) og stigningstallet 2 får du y − 5 = 2(x − 1). Løs opp parentesen og forenkle, y = 2x − 2 + 5, og du er tilbake ved y = 2x + 3. Begge formene beskriver den samme linjen.

Hvilke linjer kan ikke skrives som y = ax + b?

Loddrette linjer kan ikke skrives som y = ax + b. Alle punktene på en loddrett linje har samme x, så steget bortover er 0, og stigningstallet ville kreve divisjon med null. Derfor er stigningstallet til en loddrett linje ikke definert. En loddrett linje gjennom x = 3 skrives rett og slett som x = 3.

Eksempel

Punktene (3, 1) og (3, 6) ligger på en loddrett linje. Stigningstallet ville vært (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, og det har ikke noe svar. Linjen er altså x = 3. En loddrett linje skjærer heller aldri y-aksen, med mindre den er selve y-aksen, så den har ikke noe konstantledd å sette inn for b.

Vannrette linjer går helt fint. Punktene (−1, 4) og (5, 4) gir et stigningstall på 0 : 6 = 0, så linjen er y = 0x + 4, altså bare y = 4.

Hva er de vanligste feilene med y = ax + b?

De fleste feilene med y = ax + b er små slurvefeil, ikke misforståelser. Man bytter om koordinatene i et punkt, trekker fra i ulik rekkefølge over og under brøkstreken i formelen for stigningstallet, eller leser av a og b før y står alene. Kontrollerer du den ferdige likningen med et av de opprinnelige punktene, fanger du nesten alle.

Raske løsninger på hver slurvefeil

Her er feilene som dukker opp igjen og igjen, med en rask løsning på hver.

• Å blande x og y i et punkt. (5, 7) betyr x = 5 og y = 7. Si "først bortover, så opp" mens du leser.
• Å endre rekkefølgen i subtraksjonen. Regner du 9 − 5 over brøkstreken, regn 3 − 1 under, med samme punkt først begge gangene.
• Å bytte om a og b. I y = 4 + 3x er stigningstallet fortsatt 3, fordi a er tallet foran x, uansett hvor det står.
• Å miste et minustegn. I y = −x + 2 er stigningstallet −1, ikke 1.
• Å tro at en brøk må være feil. Stigningstall som 3/4 eller −2/3 er like gyldige som 2.

Øv på y = ax + b til det går helt automatisk

Du blir rask til å lese linjer ved å se mange av dem. I spillet om lineære funksjoner er hvert angrep et spørsmål om en linje, så du får mye øving i å finne stigningstall og konstantledd uten at det føles som lekser.

Å løse for b er dessuten bare en liten likning i ett steg. Hvis det er der du stopper opp, er likningsspillet en fin oppvarming.

Bokstavene varierer fra land til land. I Norge skriver vi y = ax + b (eller f(x) = ax + b), akkurat som i Danmark, Frankrike og Polen. Engelskspråklige land skriver y = mx + b, i Sverige skriver de y = kx + m, i Russland y = kx + b og i Italia y = mx + q. Uansett bokstaver er tallet foran x alltid stigningstallet, og tallet som står alene, viser hvor linjen skjærer y-aksen.

To tall beskriver enhver linje som ikke er loddrett

Enhver linje som ikke er loddrett, kan skrives som y = ax + b, så to tall er nok til å beskrive den fullstendig. Stigningstallet sier hvor bratt den er og hvilken vei den går, og konstantleddet sier hvor den starter. Finn de to tallene, kontroller likningen med et punkt, og resten følger.