기울기와 한 점이 주어진 직선의 방정식, y = mx + b 대신 언제 쓸까

기울기와 한 점이 주어진 직선의 방정식은 어떻게 쓸까?

기울기를 m 자리에, 알고 있는 점의 좌표를 x₁과 y₁ 자리에 넣습니다. x와 y는 문자 그대로 둡니다. 이 둘은 직선 위의 다른 모든 점을 나타냅니다. 직선 위의 한 점과 기울기를 알 때는 이렇게 기울기와 한 점이 주어진 직선의 방정식을 씁니다.

예제

점 (2, 3)을 지나고 기울기가 2인 직선의 방정식을 구해 봅시다.

1. 점에서 x₁ = 2, y₁ = 3입니다.
2. 기울기에서 m = 2입니다.
3. 대입하면 y − 3 = 2(x − 2)입니다.

이것으로 끝이고, 더 정리할 것도 없습니다. 확실히 하고 싶다면 다른 점으로 확인해 보세요. (2, 3)에서 오른쪽으로 한 칸, 위로 두 칸 가면 (3, 5)에 도착합니다. 이 값을 넣으면 좌변은 5 − 3 = 2, 우변은 2(3 − 2) = 2입니다. 서로 같습니다.

(2, 3)이 방정식 안에 그대로 들어 있다는 점을 눈여겨보세요. 그래프를 그릴 때는 먼저 이 점에 연필을 올려놓고, 거기서부터 그려 나가면 됩니다.

두 점이 주어지면 어떻게 구할까?

먼저 m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)로 기울기를 구합니다. 그다음 두 점 중 아무 점이나 골라 그 기울기와 함께 y − y₁ = m(x − x₁)에 넣습니다. 어느 점을 골라도 상관없습니다. 식의 모양은 달라도, 정리하면 둘 다 같은 직선을 나타냅니다.

예제

두 점 (1, −2), (4, 7)을 지나는 직선을 구해 봅시다.

1. 기울기: m = (7 − (−2)) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3
2. (1, −2)를 쓰면: y − (−2) = 3(x − 1), 즉 y + 2 = 3(x − 1)
3. (4, 7)을 쓰면: y − 7 = 3(x − 4)

어느 쪽을 전개해도 y = 3x − 5가 나옵니다. 숙제를 답지와 맞춰 보기 전에 알아 두면 좋습니다. 학생은 (4, 7)을, 답지는 (1, −2)를 썼다면 두 방정식이 서로 달라 보이지만, 어느 쪽도 틀리지 않았습니다.

점의 좌표가 음수이면 왜 부호가 바뀔까?

공식은 점의 좌표를 뺍니다. 좌표가 음수이면 음수를 빼게 되고, 그러면 더하기가 됩니다. 그래서 점 (−4, −1)에서는 y + 1과 x + 4가 나옵니다. 정리하기 전에 괄호를 빠짐없이 써 두는 것이 부호 실수를 막는 가장 간단한 방법입니다.

예제

점 (−4, −1)을 지나고 기울기가 1/2인 직선을 구해 봅시다.

1. 괄호를 써서: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. 정리하면: y + 1 = 1/2(x + 4)

거꾸로도 됩니다. y + 5 = −2(x − 6)이 주어지면, 직선 위의 점은 (6, 5)가 아니라 (6, −5)입니다. 방정식 안에 보이는 부호와 좌표의 부호는 언제나 반대입니다.

기울기와 y절편 꼴 y = mx + b로 어떻게 바꿀까?

괄호를 풀고, 좌변의 수를 우변으로 이항해서 y만 남깁니다. 그러면 기울기와 y절편으로 나타낸 꼴 y = mx + b가 됩니다. 바꾸는 동안 기울기는 변하지 않고, 마지막에 홀로 남은 수가 y절편, 즉 직선이 y축과 만나는 곳입니다.

예제

y − 3 = 2(x − 2)를 바꿔 봅시다.

1. 괄호 풀기: y − 3 = 2x − 4
2. 양변에 3 더하기: y = 2x − 1

기울기는 여전히 2이고, 직선은 y축과 (0, −1)에서 만납니다. 위의 그래프에서도 이 점을 볼 수 있습니다. 반대로 바꾸는 것도 금방입니다. y = −3x + 5에서 x = 1을 넣으면 y = 2입니다. 점 (1, 2)와 기울기 −3으로 y − 2 = −3(x − 1)을 얻습니다.

어떤 꼴을 써야 할까?

이미 알고 있는 정보에 맞는 꼴을 쓰세요.

• 기울기와 한 점이 주어진 꼴은 한 점과 기울기, 또는 두 점을 알 때.
• 기울기와 y절편 꼴은 기울기와 y절편을 바로 읽거나 그래프를 그리고 싶을 때.
• 일반형 Ax + By = C는 직선이 두 축과 만나는 점이 필요할 때.

많은 선생님이 최종 답을 y = mx + b 꼴로 쓰기를 원합니다. 기울기와 한 점으로 시작해서 마지막에 바꾸어도 전혀 문제없습니다.

이 직선의 방정식은 어디서 나왔을까?

기울기 공식을 변형한 것입니다. 직선 위에 고정된 점 (x₁, y₁)과 같은 직선 위의 다른 점 (x, y)를 잡습니다. 두 점 사이의 기울기는 m = (y − y₁) ÷ (x − x₁)입니다. 양변에 (x − x₁)을 곱하면 y − y₁ = m(x − x₁)이 됩니다.

예제

계속해서 점 (2, 3)을 지나고 기울기가 2인 직선으로 점 (5, 9)를 확인해 봅시다. (2, 3)에서 (5, 9)까지의 기울기는 (9 − 3) ÷ (5 − 2) = 6 ÷ 3 = 2입니다. 기울기가 같으니 (5, 9)는 이 직선 위에 있습니다. 방정식이 말하는 것도 바로 이것입니다. 9 − 3 = 2(5 − 2).

무료 교과서 OpenStax Elementary Algebra 2e도 같은 방법으로 공식을 이끌어 냅니다. 그다음 두 점을 지나는 직선과 평행선, 수직선에 이 공식을 쓰는데, 다음 절이 바로 그 내용입니다.

평행선과 수직선에는 어떻게 쓸까?

평행한 직선은 원래 직선과 기울기가 같습니다. 수직인 직선의 기울기는 원래 기울기의 역수에 부호를 바꾼 값입니다. 분수를 뒤집고 부호를 바꾸면 됩니다. 기울기 2는 −1/2이 되고, 기울기 −3/4는 4/3이 됩니다. 새 기울기를 구했으면 주어진 점과 함께 방정식에 넣습니다.

예제

점 (2, 3)을 지나고 y = 2x − 1에 수직인 직선을 구해 봅시다.

1. 원래 기울기는 2, 즉 2/1입니다.
2. 뒤집고 부호를 바꾸면 −1/2입니다.
3. 기울기와 한 점 꼴: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. 기울기와 y절편 꼴: y = −1/2x + 4

x = 2로 빠르게 확인해 봅시다. −1/2 × 2 + 4 = 3으로, 점의 y좌표와 같습니다. 점 (6, 0)을 지나는 평행선이라면 기울기 2를 그대로 씁니다. y − 0 = 2(x − 6), 즉 y = 2x − 12입니다.

모든 직선을 이 꼴로 쓸 수 있을까?

거의 모든 직선이 됩니다. 예외는 x축에 수직인 직선입니다. 모든 점의 x좌표가 같아서 x의 증가량이 0이고, 기울기를 구하려면 0으로 나눠야 합니다. 그래서 점 (3, 1)을 지나는 이런 직선은 x = 3으로 씁니다. 수평인 직선은 전혀 문제없습니다. 기울기가 그냥 0이기 때문입니다.

예제

점 (1, 4)를 지나는 수평선을 봅시다. 기울기와 한 점 꼴로 쓰면 y − 4 = 0(x − 1)입니다. 0에 무엇을 곱해도 0이므로 식은 y − 4 = 0, 즉 y = 4가 됩니다.

어떻게 연습하면 좋을까?

직선 문제를 빨리 풀려면 많이 접해 봐야 합니다. 일차함수 게임에서는 직선 문제로 싸웁니다. 예를 들어 (−2, 2)에서 (0, −6)까지의 기울기를 묻는 라운드에서 정답을 맞히면 공격이 들어갑니다. 답은 (−6 − 2) ÷ (0 − (−2)) = −8 ÷ 2 = −4입니다.

꼴을 바꾸는 단계는 매번 작은 방정식입니다. 거기서 속도가 느려진다면 방정식 게임을 몇 판 해 보세요. 공식을 변형할 때마다 같은 방법을 쓰게 됩니다.

기울기를 나타내는 문자도 나라마다 다릅니다. 우리나라 중학교에서는 y = ax + b처럼 a를 쓰고, 고등학교에서는 m을 많이 씁니다. k를 쓰는 나라도 있습니다. 어떤 문자든 괄호 앞의 수가 기울기이고, 괄호 안의 수는 직선 위의 한 점에서 온 것입니다.

한 점과 기울기로 직선이 정해진다

한 점과 기울기만 있으면 직선은 하나로 정해지고, 이 방정식은 그것을 그대로 적은 것입니다. 꼼꼼하게 대입하고, 부호가 정리될 때까지 괄호를 남겨 두고, 다른 점으로 결과를 확인하세요. 그다음 y = mx + b로 바꾸는 데는 짧은 두 단계면 충분합니다.