끝이 있는 소수와 끝없이 반복되는 소수는 모두 분수로 나타낼 수 있어요. 대부분의 수는 짧은 세 단계로 소수를 분수로 바꿀 수 있고, 0.333… 같은 순환소수에는 요령이 하나 더 필요해요. 아래에서 두 방법과 외워 둘 만한 소수 목록, 그리고 가장 자주 하는 실수를 알아봐요.
소수를 분수로 어떻게 바꾸나요?
소수를 분수로 바꾸려면, 소수점 아래 숫자들을 분자로 쓰고 소수점 아래 자릿수에 따라 분모를 10, 100, 1,000으로 해요. 소수점 아래 한 자리면 분모가 10, 두 자리면 100, 세 자리면 1,000이에요. 그다음 분자와 분모를 같은 수로 나누어 분수를 약분해요.
예시
0.75를 분수로 바꿔 볼까요?
- 소수점 아래 자릿수를 세요. 0.75는 두 자리이므로 분모는 100이에요.
- 그 위에 숫자를 써요. 0.75 = 75/100이에요.
- 약분해요. 75와 100은 모두 25로 나눌 수 있으니까 3/4이 돼요.
그래서 0.75 = 3/4이에요. 빠르게 확인하려면 종이나 계산기로 3을 4로 나눠 보세요. 다시 0.75가 나와요.
2.5를 분수로 나타내면 무엇인가요?
2.5는 소수점 아래 한 자리이므로 25/10, 즉 분모가 10인 분수가 돼요. 두 수 모두 5로 나눌 수 있으니까 5/2가 돼요. 자연수 부분을 따로 둘 수도 있어요. 2는 그대로 두고, 0.5를 분수로 쓰면 5/10이고, 약분하면 1/2이에요. 그래서 2.5 = 5/2 = 2 1/2이에요.
0.125를 분수로 나타내면 무엇인가요?
0.125는 소수점 아래 세 자리이므로 125/1,000, 즉 분모가 1,000인 분수가 돼요. 두 수 모두 125로 나눌 수 있으니까 1/8이 돼요. 이건 기억해 둘 만해요. 8분의 1은 요리법, 치수, 학교 문제에서 자주 나오거든요.
대분수로 써야 하나요, 가분수로 써야 하나요?
둘 다 맞아요. 1.25는 5/4(분자가 분모보다 큰 가분수)로 쓸 수도 있고, 1 1/4(자연수 부분과 분수로 이루어진 대분수)로 쓸 수도 있어요. 지역에 따라 한 가지 형태를 더 선호하는 선생님도 있으니, 문제에서 무엇을 요구하는지 확인하세요. 바꿀 때는 5/4가 4분의 1 네 개(1)에 4분의 1이 하나 더 있다는 뜻이라고 생각하면 돼요.
분수는 어떻게 약분하나요?
분수를 약분하려면 분자와 분모를 둘 다 나눌 수 있는 가장 큰 수, 즉 최대공약수로 나눠요. 최대공약수가 바로 보이지 않으면 2, 5, 10 같은 작은 수로 더 이상 둘 다 나눠지지 않을 때까지 계속 나눠요. 둘을 모두 나누는 수가 1밖에 없으면 더 이상 약분할 수 없는 기약분수예요.
예시
0.36을 바꿔 볼까요? 소수점 아래 두 자리이므로 36/100에서 시작해요. 두 수 모두 4로 나눌 수 있으니까 9/25가 돼요. 이제 9와 25의 공약수는 1뿐이므로 9/25가 기약분수예요.
더 작은 단계로 나눠서 할 수도 있어요. 36/100을 2로 나누면 18/50, 다시 2로 나누면 9/25예요. 결국 같은 곳에 도착해요. 최대공약수를 빠르게 찾는 것은 그 자체로 하나의 기술인데, 최대공약수 게임은 이것을 빠른 도전으로 바꿔 줘요. 긴 분수 문제를 풀기 전에 하는 몸풀기로 좋아요.
어떤 소수를 외워 두면 좋을까요?
몇 가지 소수는 계속해서 나오는데, 그에 맞는 분수를 알아 두면 시간이 절약돼요. 2분의 1, 4분의 1, 5분의 1, 8분의 1, 그리고 3분의 1의 순환소수가 여기에 들어가요. 이것들을 외워 두면 아무것도 적지 않고도 머릿속으로 소수를 바꿀 수 있는 경우가 많아요.
- 0.1 = 1/10
- 0.2 = 1/5
- 0.25 = 1/4
- 0.4 = 2/5
- 0.5 = 1/2
- 0.6 = 3/5
- 0.75 = 3/4
- 0.8 = 4/5
- 0.125 = 1/8
- 0.375 = 3/8
- 0.625 = 5/8
- 0.875 = 7/8
- 0.333… = 1/3
- 0.666… = 2/3
- 0.1666… = 1/6
- 0.111… = 1/9
예시
0.625는 얼마일까요? 0.125 = 1/8이라는 걸 알고 있다면, 0.625는 그 다섯 배이므로 5/8, 즉 8분의 5예요. 이렇게 아는 사실로 새로운 사실을 만들 수 있어요. 두 형태를 오가는 일은 자주 할수록 훨씬 빨라지고, 소수 게임이나 분수 게임을 짧게 몇 판 하면 재미있게 속도를 높일 수 있어요. 하루 몇 분만으로도 위 목록이 익숙하게 느껴져요.
순환소수는 어떻게 분수로 바꾸나요?
소수점 바로 뒤부터 같은 숫자가 반복되는 소수라면, 반복되는 부분을 분자로 쓰고 그 자릿수만큼 9를 늘어놓은 수를 분모로 써요. 반복되는 숫자가 한 개면 분모는 9, 두 개면 99, 세 개면 999예요. 그다음 약분해요. 그래서 0.777… = 7/9이고, 0.272727… = 27/99인데, 약분하면 3/11이에요.
예시
0.454545…를 분수로 바꿔 볼까요? 반복되는 부분은 45이고 두 자리이므로 분모는 99예요. 그러면 45/99가 돼요. 두 수 모두 9로 나눌 수 있으니까 답은 5/11, 즉 11분의 5예요. 5를 11로 나눠서 확인할 수 있는데, 다시 0.454545…가 나와요.
반복이 더 늦게 시작되는 0.1666… 같은 경우에는, 9를 쓰는 규칙에 한 단계가 더 필요해요. 언제나 통하는 방법은 간단한 대수를 이용하는 거예요.
- 그 수를 x라고 해요. 즉 x = 0.1666…이에요.
- 10을 곱해서 반복되지 않는 숫자를 소수점 앞으로 옮겨요. 10x = 1.666…
- 100을 곱해서 반복되는 부분 한 번까지 앞으로 옮겨요. 100x = 16.666…
- 세 번째 줄에서 두 번째 줄을 빼요. 반복되는 부분이 사라져요. 90x = 15.
- 나눠요. x = 15/90이고, 약분하면 1/6이에요.
0.333은 1/3과 같나요?
아니요. 숫자가 정확히 세 개인 0.333은 333/1,000이고, 1/3보다 아주 조금 작아요. 3이 끝없이 이어지는 0.333…만 정확히 1/3이에요. 순환소수를 쓸 때는 점 세 개를 찍거나 반복되는 숫자 위에 선을 그어서 반복된다는 것을 나타내세요. 그렇지 않으면 다른 수가 돼요.
0.999…는 왜 1과 같나요?
이 사실에 놀라는 사람이 많아요. 1/3 = 0.333…에서 시작해 봐요. 양변에 3을 곱해요. 왼쪽은 3/3, 즉 1이 돼요. 오른쪽은 0.999…가 돼요. 그래서 0.999… = 1이에요. 9를 쓰는 규칙도 같은 결과를 줘요. 0.999… = 9/9 = 1이기 때문이에요. 이것은 1 바로 아래의 수가 아니라, 1을 다르게 쓴 것이에요.
소수를 분수로 바꿀 때 흔히 하는 실수는 무엇인가요?
가장 흔한 실수는 분모의 0 개수를 잘못 쓰는 것, 약분을 잊는 것, 자연수 부분을 빠뜨리는 것, 중간에 끊은 소수를 반복되는 소수처럼 다루는 것이에요. 분자를 분모로 나눠서 답을 확인하면 어느 것이든 쉽게 잡아낼 수 있어요.
예시
한 학생이 0.05를 분수로 바꾸면서 5/10, 즉 10분의 5라고 써요. 그건 0.5이고, 열 배나 커요. 0.05는 소수점 아래 두 자리이므로 분모가 100이어야 해요. 올바른 답은 5/100이고, 약분하면 1/20이에요.
주의할 점은 다음과 같아요.
- 10의 거듭제곱을 잘못 고르기. 0을 포함해서 소수점 뒤의 숫자를 모두 세세요. 0.05는 한 자리가 아니라 두 자리예요.
- 약분하지 않기. 75/100도 맞지만 아직 끝난 답이 아니에요. 기대하는 답은 3/4이에요.
- 자연수 빠뜨리기. 3.2는 3 2/10이고, 약분하면 3 1/5, 즉 16/5이에요. 그냥 2/10, 즉 10분의 2가 아니에요.
- 순환소수를 중간에 끊기. 0.66은 66/100 = 33/50이지만, 0.666…은 정확히 2/3, 즉 3분의 2예요.
어떤 분수가 순환소수가 되나요?
기약분수에서 분모의 소인수가 2와 5뿐이면 끝이 있는 소수가 돼요. 분모에 3, 7, 11 같은 다른 소인수가 하나라도 있으면 소수가 끝없이 반복돼요. 나눗셈을 하기 전에 어떤 결과가 나올지 빠르게 알 수 있는 방법이에요.
예시
3/8을 볼까요? 분모 8은 2 × 2 × 2이므로 소수가 끝나요. 3/8 = 0.375예요. 이번에는 1/6을 볼까요? 분모 6은 2 × 3이고, 3이 있으니 소수가 반복돼요. 1/6 = 0.1666…이에요. 같은 방식으로 1/7 = 0.142857142857…이고, 여섯 개의 숫자가 끝없이 반복돼요. 7이 2와 5가 아닌 다른 소인수이기 때문이에요.
이 규칙은 위의 두 방법으로 모든 경우를 다룰 수 있는 이유도 설명해 줘요. 끝이 있는 소수는 분모에 2와 5만 있는 분수에서 나오고, 반복되는 소수는 나머지 모든 분수에서 나와요. 어느 쪽이든, 끝이 있거나 반복되는 소수는 모습을 바꾼 분수예요.