Phi, il numero con una grande fama
I matematici lo scrivono con la lettera greca φ (phi), e ha la fama di nascondersi nei girasoli, negli edifici famosi e nei volti belli. Una parte di questa fama è meritata, ma molta no. Prima vediamo la matematica, poi la versione onesta di dove compare davvero.
Come si calcola la sezione aurea?
La sezione aurea si calcola con la formula φ = (1 + √5) : 2. La radice quadrata di 5 vale circa 2,236; aggiungi 1, dividi per 2 e ottieni circa 1,618. I decimali non finiscono mai e non si ripetono, perché φ è un numero irrazionale. Per quasi tutti gli usi di tutti i giorni, 1,618 è più che sufficiente.
Esempio
Fai il calcolo con la calcolatrice in tre passaggi.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Quindi φ ≈ 1,618. Se ti serve più precisione, φ = 1,6180339887 con dieci cifre decimali.
Da dove viene questa formula?
Prendi un segmento e dividilo in una parte lunga a e una parte corta b. La divisione è aurea quando l'intero segmento sta alla parte lunga come la parte lunga sta alla parte corta. In simboli, (a + b) : a = a : b. Quel valore comune è φ.
Ora poni la parte corta uguale a 1, così la parte lunga vale φ. La regola diventa (φ + 1) : φ = φ. Moltiplica entrambi i membri per φ e ottieni φ² = φ + 1, cioè φ² − φ − 1 = 0. È un'equazione di secondo grado, e la sua soluzione positiva è (1 + √5) : 2. L'Enciclopedia Britannica descrive lo stesso passaggio fino a x² − x − 1 = 0.
Perché 1,618, 0,618 e 2,618 si somigliano così tanto?
Dato che φ² = φ + 1, elevare φ al quadrato significa semplicemente aggiungere 1. Quindi φ² ≈ 2,618. Se dividi la stessa equazione per φ ottieni φ = 1 + 1 : φ, il che significa che 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Ecco perché tre numeri diversi hanno gli stessi decimali.
Perché la sezione aurea è così speciale?
La sezione aurea è speciale perché è l'unico numero positivo il cui quadrato è uguale al numero stesso più uno, e il cui reciproco è uguale al numero stesso meno uno. Inoltre collega la geometria al contare. Lo stesso valore compare quando dividi un segmento in modo equilibrato, quando disegni un pentagono regolare e quando dividi numeri di Fibonacci consecutivi.
Esempio
In un pentagono regolare di lato 1, ogni diagonale (il segmento che unisce un vertice a un vertice non adiacente) misura esattamente φ, circa 1,618. Per questo la stella a cinque punte disegnata dentro un pentagono è piena di rapporti aurei. Ogni punta della stella è tagliata dalle altre linee secondo la sezione aurea.
L'idea è molto antica. La Britannica la fa risalire a Euclide, che negli Elementi parlava di divisione in «media ed estrema ragione».
La sezione aurea è uguale a pi greco?
No. Pi greco (π ≈ 3,14) è il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro, mentre la sezione aurea (φ ≈ 1,618) nasce dalla divisione di un segmento. Sono entrambi numeri irrazionali con infiniti decimali, ed è probabilmente per questo che vengono confusi. Hanno valori diversi e nascono da figure diverse.
Sezione aurea e successione di Fibonacci sono la stessa cosa?
La sezione aurea e la successione di Fibonacci non sono la stessa cosa, ma sono strettamente legate. La successione di Fibonacci è un elenco di numeri naturali in cui ogni numero è la somma dei due precedenti. Se dividi ogni numero di Fibonacci per quello precedente, i risultati si avvicinano sempre di più alla sezione aurea.
Esempio
Prendi numeri consecutivi della successione di Fibonacci e dividili.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
I risultati saltano sopra e sotto 1,618 e si stabilizzano in fretta. Con 144 : 89 il risultato coincide già con φ fino alla terza cifra decimale. È una bella attività da fare con la calcolatrice insieme ai bambini, perché vedono comparire una regolarità partendo da semplici divisioni.
Trovare la regola dietro un elenco di numeri è un'abilità che va ben oltre Fibonacci. Nel gioco delle successioni numeriche, ogni attacco è una successione con un numero mancante, e devi scoprire la regola prima del tuo avversario.
Nel round dell'immagine, ogni numero è 5 in più del precedente, quindi il numero mancante è 24.
Come si disegna un rettangolo aureo?
In un rettangolo aureo il lato lungo è circa 1,618 volte il lato corto. Per disegnarne uno, moltiplica il lato corto per 1,618, oppure dividi il lato lungo per 1,618 per trovare il lato corto. Puoi anche costruirlo in modo esatto con il compasso, partendo da un quadrato, senza misurare nessun decimale.
Esempio
Se il lato corto misura 10 cm, il lato lungo misura 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm. Se una pagina è larga 1000 pixel e vuoi una divisione aurea, dividi per φ. Ottieni una colonna principale di circa 618 pixel e una colonna laterale di circa 382 pixel.
Per disegnarlo con il compasso, segui questi passaggi.
- Disegna un quadrato di lato 1 (per esempio 1 decimetro).
- Segna il punto medio del lato in basso.
- Punta il compasso su quel punto medio e aprilo fino al vertice in alto dal lato opposto. Quella distanza è √5 : 2, circa 1,118.
- Ruota il compasso fino al prolungamento del lato in basso. La nuova lunghezza è 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Completa il rettangolo. I suoi lati misurano 1 e φ.
Se togli il quadrato da un rettangolo aureo, il pezzo che resta è un altro rettangolo aureo. Ripeti il procedimento, disegna un quarto di circonferenza in ogni quadrato e ottieni la spirale che compare spesso nelle immagini della sezione aurea. Questo tipo di geometria fa parte anche del gioco di geometria, dove figure, angoli e aree diventano sfide veloci.
Dove si trova la sezione aurea in natura?
L'esempio più chiaro in natura è il modo in cui molte piante dispongono foglie e semi. Ogni nuovo seme nel capolino di un girasole cresce ruotato più o meno dello stesso angolo rispetto al precedente, circa 137,5°. Questo angolo aureo impacchetta i semi in modo fitto e senza vuoti, e produce spirali il cui numero è spesso un numero di Fibonacci.
Esempio
L'angolo aureo deriva direttamente da φ. Dividi un giro completo per φ² e ottieni 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Un altro modo di vederlo è che la rotazione divide la circonferenza in due archi, di circa 222,5° e 137,5°, secondo la sezione aurea.
Una rassegna del 2022 di ricercatori dell'Università di Nottingham, The Golden Ratio in Nature, raccoglie esempi a scale molto diverse e descrive la «tendenza a comparire in molti campi scientifici e artistici diversi» di questo rapporto. Tendenza è la parola giusta. Molte piante seguono altri schemi, quindi non è una legge di natura.
La conchiglia del nautilus è una spirale aurea?
Di solito no. Il nautilus cresce secondo una spirale logaritmica, che mantiene la stessa forma man mano che si ingrandisce, ed è bella di per sé. Le misure delle conchiglie reali tendono a dare un rapporto di crescita diverso da φ. Una spirale aurea disegnata sopra la foto di un nautilus è una bella immagine, non una misura.
La sezione aurea è davvero nell'arte, negli edifici e nei volti?
Quasi mai. Le affermazioni secondo cui il Partenone, dipinti famosi o i volti attraenti seguono la sezione aurea non reggono quando si misura con attenzione. In un articolo del 2022 su The Conversation, il matematico Thomas Britz della UNSW spiega che φ si trova molto raramente nell'arte e nell'architettura della Grecia antica.
Esempio
L'affermazione più diffusa sul Partenone è che la sua facciata stia dentro un rettangolo aureo. Britz scrive che calcoli accurati dimostrano che è falso. Lo stesso vale per i «test di bellezza della sezione aurea» che danno un punteggio alle celebrità. La maschera facciale su cui si basano è stata smentita, e non esiste un unico numero che stabilisca se un volto è bello.
Uno dei motivi per cui il mito sopravvive è che si scelgono solo i dati che fanno comodo. Quasi ogni edificio o volto ha qualche coppia di lunghezze il cui rapporto è vicino a 1,6, soprattutto se puoi scegliere dove misurare. Rapporti come 3 : 2 = 1,5 o 16 : 9 ≈ 1,78 sono altrettanto piacevoli e molto più comuni negli schermi e nelle foto. Una verifica onesta controlla molti oggetti e conta sia i casi che non tornano sia quelli che tornano.
Artisti e designer usano la sezione aurea di proposito?
Alcuni sì. A volte i designer usano 1,618 come punto di partenza per impaginazioni, cornici o dimensioni dei caratteri, perché dà una divisione né troppo uniforme né troppo sbilanciata. È una scelta di design, non la prova che il rapporto sia nascosto in tutto ciò che è bello. Funziona come qualsiasi altra proporzione armoniosa.
La sezione aurea è vera matematica, non una regola di bellezza
La sezione aurea è un numero preciso, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, con proprietà che fanno sorridere i matematici. Elevarla al quadrato aggiunge 1, dividere 1 per essa toglie 1, e i numeri di Fibonacci si avvicinano a lei. Dà forma alle spirali di semi di molte piante, mentre la maggior parte delle storie su volti ed edifici famosi sono misure prese per far tornare i conti.
Un buon modo per esplorarla con un bambino è farlo con le mani. Dividete i numeri di Fibonacci con la calcolatrice, disegnate un rettangolo aureo con il compasso o contate le spirali di una pigna. Ogni attività mostra una regolarità vera, e nessuna ha bisogno di miti per essere interessante.
Allena questi adesso