Ogni numero decimale che finisce, e ogni numero decimale che si ripete all'infinito, si può scrivere come frazione. Per trasformare un numero decimale in frazione bastano tre brevi passaggi per la maggior parte dei numeri, più un trucco in più per i numeri decimali periodici come 0,333…. Qui sotto trovi entrambi i metodi, un elenco dei decimali che vale la pena sapere a memoria e gli errori che mettono in difficoltà più spesso.
Come si trasforma un numero decimale in frazione?
Per trasformare un numero decimale in frazione, scrivi le cifre dopo la virgola sopra 10, 100 o 1000, a seconda di quante cifre decimali ci sono. Una cifra decimale va sopra 10, due sopra 100, tre sopra 1000. Poi semplifica la frazione dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero.
Esempio
Trasforma 0,75 in frazione.
- Conta le cifre decimali. 0,75 ne ha due, quindi il denominatore è 100.
- Scrivi le cifre sopra di esso. 0,75 = 75/100.
- Semplifica. Sia 75 sia 100 si possono dividere per 25, e ottieni 3/4.
Quindi 0,75 = 3/4. Un modo veloce per controllare è dividere 3 per 4 su carta o con la calcolatrice. Ottieni di nuovo 0,75.
Quanto fa 2,5 come frazione?
2,5 ha una cifra decimale, quindi diventa 25/10. Entrambi i numeri sono divisibili per 5, e ottieni 5/2. Puoi anche tenere separata la parte intera. Il 2 resta com'è e 0,5 diventa 5/10, che si semplifica in 1/2. Quindi 2,5 = 5/2 = 2 1/2.
Quanto fa 0,125 come frazione?
0,125 ha tre cifre decimali, quindi diventa 125/1000. Entrambi i numeri sono divisibili per 125, e ottieni 1/8. Vale la pena ricordarlo, perché gli ottavi compaiono spesso nelle ricette, nelle misure e negli esercizi di scuola.
Il risultato deve essere un numero misto o una frazione impropria?
Sono corretti entrambi. 1,25 si può scrivere come 5/4 (una frazione impropria, con il numeratore maggiore del denominatore) oppure come 1 1/4 (un numero misto, con una parte intera e una frazione). In alcuni posti gli insegnanti preferiscono una delle due forme, quindi controlla che cosa chiede l'esercizio. Per passare da una all'altra, 5/4 significa quattro quarti (un intero) più un altro quarto.
Come si semplifica la frazione?
Per semplificare una frazione, dividi numeratore e denominatore per il numero più grande che li divide entrambi, chiamato massimo comune divisore. Se non lo vedi subito, dividi più volte per numeri piccoli come 2, 5 o 10 finché nessun altro numero li divide entrambi. Una frazione è ridotta ai minimi termini quando l'unico numero che li divide entrambi è 1.
Esempio
Trasforma 0,36. Ha due cifre decimali, quindi parte come 36/100. Entrambi i numeri sono divisibili per 4, e ottieni 9/25. Ora 9 e 25 non hanno divisori comuni tranne 1, quindi 9/25 è la forma più semplice.
Puoi anche procedere a passi più piccoli. 36/100 diviso 2 fa 18/50, diviso ancora 2 fa 9/25. Arrivi allo stesso punto. Trovare velocemente il massimo comune divisore è un'abilità a sé, e il gioco del MCD la trasforma in una sfida veloce. È un buon riscaldamento prima di esercizi più lunghi sulle frazioni.
Quali numeri decimali vale la pena sapere a memoria?
Un piccolo gruppo di numeri decimali compare di continuo, e conoscere le loro frazioni fa risparmiare tempo. Tra questi ci sono metà, quarti, quinti e ottavi, più i decimali periodici dei terzi. Se li sai a memoria, spesso puoi trasformare un numero decimale a mente senza scrivere niente.
- 0,1 = 1/10
- 0,2 = 1/5
- 0,25 = 1/4
- 0,4 = 2/5
- 0,5 = 1/2
- 0,6 = 3/5
- 0,75 = 3/4
- 0,8 = 4/5
- 0,125 = 1/8
- 0,375 = 3/8
- 0,625 = 5/8
- 0,875 = 7/8
- 0,333… = 1/3
- 0,666… = 2/3
- 0,1666… = 1/6
- 0,111… = 1/9
Esempio
Quanto fa 0,625? Se sai che 0,125 = 1/8, allora 0,625 è cinque volte tanto, quindi fa 5/8. Risultati noti come questo ti permettono di costruirne di nuovi. Passare da una forma all'altra diventa molto più veloce con l'uso regolare, e qualche breve partita al gioco dei numeri decimali o al gioco delle frazioni è un modo giocoso per acquistare questa velocità. Anche pochi minuti al giorno rendono familiare l'elenco qui sopra.
Come si trasforma un numero decimale periodico in frazione?
Per un numero decimale in cui le stesse cifre si ripetono subito dopo la virgola, scrivi la parte che si ripete sopra lo stesso numero di nove. Una cifra che si ripete va sopra 9, due sopra 99, tre sopra 999. Poi semplifica. Quindi 0,777… = 7/9, e 0,272727… = 27/99, che si semplifica in 3/11.
Esempio
Trasforma 0,454545… in frazione. La parte che si ripete è 45, che ha due cifre, quindi va sopra 99. Ottieni 45/99. Entrambi i numeri sono divisibili per 9, quindi il risultato è 5/11. Puoi verificarlo dividendo 5 per 11, che dà di nuovo 0,454545….
Quando la ripetizione comincia più tardi, come in 0,1666…, la regola dei nove richiede un passaggio in più. Un metodo che funziona sempre usa un po' di algebra:
- Chiama il numero x. Quindi x = 0,1666…
- Moltiplica per 10 per spostare la cifra che non si ripete davanti alla virgola. 10x = 1,666…
- Moltiplica per 100 per spostare anche una ripetizione completa. 100x = 16,666…
- Sottrai la seconda riga dalla terza. Le parti che si ripetono si annullano. 90x = 15.
- Dividi. x = 15/90, che si semplifica in 1/6.
0,333 è uguale a 1/3?
No. 0,333 con esattamente tre cifre è 333/1000, che è un pochino meno di 1/3. Solo 0,333…, in cui i 3 continuano all'infinito, è esattamente 1/3. Quando scrivi un numero decimale periodico, mostra che si ripete con tre puntini o con una linea sopra le cifre che si ripetono. Altrimenti è un numero diverso.
Perché 0,999… è uguale a 1?
Questo sorprende molte persone. Parti da 1/3 = 0,333…. Moltiplica entrambi i membri per 3. A sinistra ottieni 3/3, cioè 1. A destra ottieni 0,999…. Quindi 0,999… = 1. Anche la regola dei nove è d'accordo, perché 0,999… = 9/9 = 1. Non è un numero appena sotto 1, è un altro modo di scrivere 1.
Quali errori si fanno quando si trasformano i numeri decimali in frazioni?
Gli errori più comuni sono usare il numero sbagliato di zeri al denominatore, dimenticare di semplificare, perdere la parte intera e trattare un numero decimale troncato come se fosse periodico. Ognuno è facile da individuare se controlli il risultato dividendo il numeratore per il denominatore.
Esempio
Uno studente trasforma 0,05 e scrive 5/10. Ma quello è 0,5, dieci volte troppo grande. 0,05 ha due cifre decimali, quindi va sopra 100. Il risultato corretto è 5/100, che si semplifica in 1/20.
Fai attenzione a questi errori:
- La potenza di 10 sbagliata. Conta ogni cifra dopo la virgola, zeri compresi. 0,05 ha due cifre decimali, non una.
- Non semplificare. 75/100 è corretto ma non è finito. Il risultato atteso è 3/4.
- Perdere la parte intera. 3,2 è 3 2/10, che si semplifica in 3 1/5, cioè 16/5. Non è 2/10.
- Troncare un numero decimale periodico. 0,66 è 66/100 = 33/50, mentre 0,666… è 2/3.
Quali frazioni diventano numeri decimali periodici?
Una frazione ridotta ai minimi termini dà un numero decimale che finisce se il denominatore non ha fattori primi diversi da 2 e 5. Se il denominatore ha qualsiasi altro fattore primo, come 3, 7 o 11, il numero decimale si ripete all'infinito. È un modo veloce per sapere cosa aspettarsi prima di fare la divisione.
Esempio
Guarda 3/8. Il denominatore 8 è 2 × 2 × 2, quindi il numero decimale finisce. 3/8 = 0,375. Ora guarda 1/6. Il denominatore 6 è 2 × 3, e il 3 significa che il numero decimale è periodico. 1/6 = 0,1666…. Allo stesso modo, 1/7 = 0,142857142857…, con le sei cifre che si ripetono all'infinito, perché 7 è un numero primo diverso da 2 e da 5.
Questa regola spiega anche perché i due metodi visti sopra coprono tutti i casi. I numeri decimali che finiscono vengono da frazioni con solo 2 e 5 al denominatore, e quelli periodici vengono da tutte le altre. In ogni caso, un numero decimale che finisce o che si ripete è una frazione travestita.