Persamaan garis lurus y = mx + c dan cara menentukan gradien

Mengapa bentuk y = mx + c sangat berguna

Begitu persamaan ditulis dalam bentuk ini, kamu bisa langsung membaca gradien dan titik awalnya, lalu menggambar garisnya dalam hitungan detik. Di bawah ini kamu akan belajar cara membacanya, cara menyusunnya dari dua titik atau dari bentuk lain, serta kesalahan yang paling sering terjadi.

Bagaimana cara menentukan persamaan garis y = mx + c?

Untuk menentukan persamaan garis bentuk y = mx + c, kamu perlu dua hal, yaitu gradien m dan titik potong sumbu y, c. Cari gradien dari dua titik dengan m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Lalu substitusikan satu titik dan gradien ke y = mx + c, kemudian cari c. Tulis hasilnya dengan angka-angkamu sebagai pengganti m dan c.

Contoh

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1, 5) dan (3, 9).

1. Gradien: m = (9 − 5) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2
2. Gunakan titik (1, 5): 5 = 2 × 1 + c, jadi c = 3
3. Persamaan: y = 2x + 3
4. Cek dengan titik lainnya (3, 9): 2 × 3 + 3 = 9. Cocok.

Pengecekan terakhir ini hanya butuh sepuluh detik dan bisa menangkap sebagian besar kesalahan, jadi sebaiknya dijadikan kebiasaan.

Bagaimana kalau gradiennya pecahan?

Pecahan sangat wajar di sini, dan hasil pecahan bukan berarti kamu salah. Ambil titik (4, 0) dan (−2, 4). Gradiennya (4 − 0) : (−2 − 4) = 4 : (−6) = −2/3. Kemudian dari 0 = −2/3 × 4 + c didapat c = 8/3, jadi y = −2/3x + 8/3. Cek dengan (−2, 4): 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Biarkan gradien dalam bentuk pecahan, bukan desimal yang dibulatkan, karena pecahan itu tepat dan pengecekannya akan pas sempurna. Kalau pecahan yang membuatmu lambat, beberapa ronde game pecahan akan membuat mencari pecahan senilai dan menyederhanakan pecahan jauh lebih cepat.

Pada ronde di atas, 7/10 = 70/100, karena pembilang dan penyebutnya sama-sama dikalikan 10.

Apa arti m dan c pada y = mx + c?

Pada y = mx + c, m adalah gradien dan c adalah titik potong dengan sumbu y. Gradien menunjukkan seberapa besar y berubah ketika x bertambah 1, sering disebut perubahan tegak dibagi perubahan mendatar. Nilai c adalah nilai y ketika x = 0, yaitu titik (0, c) tempat garis memotong sumbu y.

Contoh

Pada y = 3x − 2, gradiennya 3 dan titik potong sumbu y-nya −2. Garis memotong sumbu y di (0, −2), dan setiap langkah 1 ke kanan membawanya naik 3. Pada y = −2x + 4, gradiennya −2, jadi garis turun 2 setiap satu langkah ke kanan, dan memotong sumbu y di (0, 4).

Buku OpenStax College Algebra 2e (berbahasa Inggris) menjelaskan gradien sebagai "rise over run", yaitu perubahan tegak dibagi perubahan mendatar, dan titik potong sumbu y sebagai titik saat nilai inputnya nol. Gradien positif naik dari kiri ke kanan, gradien negatif turun, dan makin besar angkanya (tanpa melihat tanda), makin curam garisnya.

Cara membayangkan m dan c dalam kehidupan sehari-hari

Sebuah lilin tingginya 20 cm dan memendek 2 cm setiap jam. Tingginya setelah t jam adalah h = −2t + 20. Angka 20 adalah tinggi awalnya (c), dan −2 adalah perubahannya setiap jam (m). Setelah 3 jam tingginya 14 cm, dan setelah 10 jam lilinnya habis. Banyak siswa merasa lebih mudah memikirkan c sebagai nilai awal dan m sebagai perubahan setiap langkah.

Bagaimana cara menggambar grafik garis y = mx + c?

Untuk menggambar y = mx + c, mulailah dari titik potong sumbu y, yaitu (0, c). Dari situ, gunakan gradien sebagai perubahan tegak dibagi perubahan mendatar. Geser ke kanan sejauh perubahan mendatar dan naik sejauh perubahan tegak (atau turun jika gradiennya negatif) untuk mendapat titik kedua. Tarik garis lurus melalui kedua titik dan perpanjang.

Contoh

Gambarlah grafik y = 2x + 1.

1. Tandai titik potong sumbu y, (0, 1).
2. Gradien 2 berarti 2/1, jadi geser 1 ke kanan dan naik 2. Kamu sampai di (1, 3).
3. Tarik garis melalui (0, 1) dan (1, 3).

Untuk gradien seperti −2/3, geser 3 ke kanan dan turun 2. Dengan memakai penyebut sebagai langkah mendatar, kamu selalu mendarat di titik kisi, sehingga garis lebih mudah digambar dengan tepat.

Bagaimana mengubah persamaan Ax + By = C ke bentuk y = mx + c?

Untuk mengubah persamaan seperti Ax + By = C ke bentuk y = mx + c, nyatakan persamaan itu dalam y. Pindahkan suku x ke ruas lain, lalu bagi setiap suku dengan koefisien y. Sekarang koefisien x adalah gradien, dan angka yang berdiri sendiri adalah titik potong sumbu y.

Contoh

Ubah 2x + 3y = 6.

1. Kurangi kedua ruas dengan 2x: 3y = −2x + 6
2. Bagi setiap suku dengan 3: y = −2/3x + 2

Gradiennya −2/3 dan titik potong sumbu y-nya 2. Kesalahan yang sering terjadi adalah langsung membaca gradien 2 dari 2x + 3y = 6. Angka-angka itu baru berarti gradien dan titik potong setelah y sendirian di satu ruas.

Persamaan garis melalui satu titik dengan gradien m atau y = mx + c?

Persamaan garis melalui satu titik dengan gradien m, y − y₁ = m(x − x₁), praktis dipakai kalau kamu tahu satu titik dan gradiennya, karena bisa langsung ditulis. Untuk titik (1, 5) dan gradien 2 kamu mendapat y − 5 = 2(x − 1). Jabarkan dan sederhanakan, y = 2x − 2 + 5, dan kamu kembali ke y = 2x + 3. Kedua bentuk itu menggambarkan garis yang sama.

Garis apa yang tidak bisa ditulis dalam bentuk y = mx + c?

Garis tegak (vertikal) tidak bisa ditulis dalam bentuk y = mx + c. Semua titik pada garis vertikal punya x yang sama, jadi perubahan mendatarnya 0 dan menghitung gradien berarti membagi dengan nol. Karena itu gradien garis vertikal tidak terdefinisi. Garis vertikal yang melalui x = 3 ditulis saja sebagai x = 3.

Contoh

Titik (3, 1) dan (3, 6) terletak pada garis vertikal. Gradiennya akan menjadi (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, yang tidak punya jawaban. Jadi garisnya x = 3. Garis vertikal juga tidak pernah memotong sumbu y kecuali garis itu sumbu y sendiri, jadi tidak ada titik potong yang bisa dipakai sebagai c.

Garis mendatar (horizontal) tidak bermasalah. Titik (−1, 4) dan (5, 4) memberi gradien 0 : 6 = 0, jadi garisnya y = 0x + 4, atau cukup y = 4.

Apa saja kesalahan paling umum pada persamaan y = mx + c?

Sebagian besar kesalahan pada y = mx + c adalah kekeliruan kecil, bukan karena tidak paham. Orang menukar koordinat suatu titik, mengurangkan dengan urutan berbeda di bagian atas dan bawah rumus gradien, atau membaca m dan c sebelum y sendirian. Mengecek persamaan akhir dengan salah satu titik awal bisa menangkap hampir semuanya.

Cara cepat memperbaiki setiap kekeliruan

Berikut kekeliruan yang muncul berulang kali, beserta cara cepat memperbaikinya.

• Tertukar x dan y pada suatu titik. (5, 7) berarti x = 5 dan y = 7. Ucapkan "mendatar dulu, baru naik" saat membacanya.
• Mengubah urutan pengurangan. Kalau di atas kamu menghitung 9 − 5, di bawah hitung 3 − 1, dengan titik yang sama di depan dua-duanya.
• Tertukar m dan c. Pada y = 4 + 3x gradiennya tetap 3, karena m adalah angka yang menempel pada x, di mana pun letaknya.
• Tanda minus hilang. Pada y = −x + 2 gradiennya −1, bukan 1.
• Mengira pecahan pasti salah. Gradien seperti 3/4 atau −2/3 sama sahnya dengan 2.

Berlatih y = mx + c sampai terasa otomatis

Membaca garis dengan cepat datang dari sering melihatnya. Di game fungsi linear, setiap serangan adalah pertanyaan tentang sebuah garis, jadi kamu banyak berlatih mengenali gradien dan titik potong tanpa terasa seperti mengerjakan PR.

Mencari c juga hanya persamaan kecil satu langkah. Kalau langkah ini yang membuatmu lambat, game persamaan cocok untuk pemanasan.

Huruf yang dipakai berbeda di tiap negara. Di negara berbahasa Inggris, ide yang sama ditulis y = mx + b, di Prancis dan Polandia y = ax + b, di Rusia y = kx + b, dan di Italia y = mx + q. Apa pun hurufnya, angka di depan x selalu gradien, dan angka yang berdiri sendiri menunjukkan tempat garis memotong sumbu y.

Dua angka menggambarkan setiap garis yang tidak vertikal

Setiap garis yang tidak vertikal bisa ditulis sebagai y = mx + c, jadi dua angka sudah cukup untuk menggambarkannya sepenuhnya. Gradien menunjukkan seberapa curam garis dan ke arah mana ia bergerak, sedangkan titik potong sumbu y menunjukkan dari mana garis dimulai. Temukan kedua angka itu, cek persamaanmu dengan satu titik, dan sisanya akan mengikuti.