Teorema Pythagoras: cara mencari sisi segitiga siku-siku

Teorema Pythagoras membantumu mencari sisi segitiga siku-siku yang belum diketahui jika dua sisi lainnya sudah diketahui. Rumusnya hanya satu dan pendek, a² + b² = c², tetapi pelajar sering bingung menentukan sisi yang mana dan kapan harus menjumlahkan atau mengurangkan. Panduan ini membahas kedua kasus dengan contoh, kesalahan yang perlu diwaspadai, dan di mana teorema ini muncul dalam kehidupan sehari-hari.

Apa itu teorema Pythagoras?

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lebih pendek. Jika ditulis sebagai rumus, a² + b² = c². Di sini a dan b adalah dua sisi yang lebih pendek, yang disebut sisi siku-siku, dan c adalah sisi terpanjang, yang disebut hipotenusa atau sisi miring.

Contoh

Ambil segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku 3 cm dan 4 cm. Kuadratkan kedua sisi itu. 3² = 9 dan 4² = 16. Jumlahkan sehingga hasilnya 25. Sekarang tanyakan bilangan berapa yang jika dikuadratkan hasilnya 25. Jawabannya 5, jadi hipotenusanya 5 cm. Kamu bisa mengeceknya dari arah sebaliknya, karena 5² = 25 = 9 + 16.

Mengapa teorema ini berlaku?

Bayangkan sebuah persegi digambar pada setiap sisi segitiga. Teorema ini menyatakan bahwa luas persegi besar pada hipotenusa sama dengan luas kedua persegi yang lebih kecil jika digabungkan. Untuk segitiga 3, 4, 5, artinya 25 = 9 + 16.

Salah satu cara untuk melihat alasannya adalah bukti bergambar yang klasik. Ambil empat salinan segitiga siku-siku yang sama dan susun di dalam sebuah persegi besar, sehingga tersisa sebuah persegi miring di tengahnya.

Persegi di tengah itu bersisi c, jadi luasnya c². Sekarang susun ulang keempat segitiga yang sama di dalam persegi besar yang sama dengan cara lain. Ruang kosongnya menjadi dua persegi, satu bersisi a dan satu bersisi b. Persegi besar dan keempat segitiga tidak berubah, jadi ruang kosongnya juga tidak berubah. Artinya c² = a² + b².

Bagaimana cara mencari hipotenusa?

Untuk mencari hipotenusa, kuadratkan kedua sisi yang lebih pendek, jumlahkan hasilnya, lalu ambil akar kuadrat dari jumlah itu. Dalam bentuk rumus, c = √(a² + b²). Jawabannya selalu lebih panjang daripada masing-masing sisi yang lebih pendek, dan itu cara cepat untuk mengecek bahwa kamu tidak salah hitung.

Contoh

Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi siku-siku 6 m dan 8 m.

1. Kuadratkan setiap sisi siku-siku. 6² = 36 dan 8² = 64.
2. Jumlahkan. 36 + 64 = 100.
3. Ambil akar kuadratnya. √100 = 10.

Hipotenusanya 10 m. Tidak setiap jawaban berupa bilangan bulat. Dengan sisi siku-siku 5 dan 7, kamu mendapat 25 + 49 = 74, dan √74 kira-kira 8,60. Jika akar kuadrat terasa lambat, beberapa ronde permainan akar kuadrat membantumu mengenali bilangan kuadrat sempurna dengan cepat. Mengenali 36, 64, dan 100 dalam sekejap membuat setiap langkah di atas lebih cepat.

Bagaimana cara mengetahui sisi mana yang merupakan hipotenusa?

Hipotenusa selalu merupakan sisi di depan sudut siku-siku, dan selalu merupakan sisi terpanjang. Banyak pelajar bingung jika segitiganya diputar atau digambar terbalik. Cari dulu kotak kecil yang menandai sudut siku-siku. Sisi yang tidak menyentuh sudut itu adalah hipotenusa, di mana pun letaknya di halaman.

Bagaimana cara mencari sisi pendek yang belum diketahui?

Untuk mencari sisi pendek yang belum diketahui, kuadratkan hipotenusa, kuadratkan sisi yang sudah diketahui, lalu kurangkan kuadrat yang lebih kecil dari kuadrat yang lebih besar. Kemudian ambil akar kuadratnya. Dalam bentuk rumus, a = √(c² − b²). Di sini kamu mengurangkan karena hipotenusa adalah sisi terbesar, sehingga kuadratnya adalah jumlah total yang menjadi titik awalmu.

Contoh

Sebuah segitiga siku-siku memiliki hipotenusa 13 cm dan satu sisi siku-siku 5 cm.

1. Kuadratkan hipotenusa. 13² = 169.
2. Kuadratkan sisi siku-siku yang diketahui. 5² = 25.
3. Kurangkan. 169 − 25 = 144.
4. Ambil akar kuadratnya. √144 = 12.

Sisi yang belum diketahui panjangnya 12 cm. Cek apakah hasilnya masuk akal. 12 lebih pendek daripada 13, sebagaimana seharusnya sisi siku-siku. Selain itu 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², jadi segitiga ini memenuhi teorema.

Kedua kasus ini mengikuti satu aturan sederhana. Jika kamu mencari sisi terpanjang, jumlahkan. Jika kamu mencari sisi yang lebih pendek, kurangkan. Begitu aturan itu terasa wajar, permainan geometri adalah tempat yang seru untuk mempraktikkan soal segitiga. Permainan ini meminta jawaban cepat, sehingga langkah-langkahnya menjadi otomatis.

Kesalahan apa saja yang sering terjadi dengan teorema Pythagoras?

Kesalahan yang paling umum adalah memakai teorema pada segitiga tanpa sudut siku-siku, menjumlahkan padahal seharusnya mengurangkan, lupa mengambil akar kuadrat di akhir, dan memilih sisi yang salah sebagai hipotenusa. Setiap kesalahan mudah dihindari begitu kamu tahu harus memperhatikannya.

Contoh

Seorang pelajar punya hipotenusa 10 dan sisi siku-siku 6, lalu menulis 10² + 6² = 136, kemudian √136 ≈ 11,66. Jawaban itu lebih panjang daripada hipotenusa, dan itu mustahil untuk sisi siku-siku. Langkah yang benar adalah 100 − 36 = 64, dan √64 = 8.

Berikut kesalahan yang perlu diwaspadai:

1. Memakainya pada segitiga apa saja. Teorema ini hanya berlaku jika salah satu sudutnya tepat 90°.
2. Selalu menyebut sisi yang dicari c. Hanya hipotenusa yang disebut c. Jika sisi yang dicari adalah sisi siku-siku, kamu mengurangkan.
3. Berhenti sebelum mengambil akar kuadrat. 6² + 8² = 100 memberi c², bukan c. Panjang sisinya √100 = 10.
4. Mengira √(a² + b²) sama dengan a + b. Dengan 3 dan 4, √(9 + 16) = 5, sedangkan 3 + 4 = 7.
5. Membulatkan terlalu cepat. Dalam soal dengan beberapa langkah, simpan nilai eksaknya sampai akhir dan bulatkan hanya jawaban akhirnya.

Apakah teorema Pythagoras berlaku untuk semua segitiga?

Tidak. Teorema Pythagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku, yaitu segitiga yang memiliki satu sudut tepat 90°. Teorema ini juga berlaku sebaliknya. Jika ketiga sisi sebuah segitiga memenuhi a² + b² = c², segitiga itu pasti memiliki sudut siku-siku. Kebalikan ini adalah cara yang andal untuk mengecek apakah sebuah sudut benar-benar siku-siku.

Contoh

Apakah segitiga dengan sisi 5, 12, dan 13 merupakan segitiga siku-siku? Kuadratkan kedua sisi yang lebih pendek lalu jumlahkan. 25 + 144 = 169. Kuadratkan sisi terpanjang. 13² = 169. Hasilnya sama, jadi ya.

Bagaimana dengan sisi 6, 7, dan 9? 36 + 49 = 85, tetapi 9² = 81. Hasilnya tidak sama, jadi segitiga itu tidak memiliki sudut siku-siku. Karena 85 lebih besar daripada 81, semua sudutnya lebih kecil dari 90°.

Tukang bangunan memakai ide yang sama. Untuk mengecek apakah sebuah sudut siku-siku, mereka mengukur 3 satuan di sepanjang satu dinding dan 4 satuan di sepanjang dinding lainnya. Jika jarak antara kedua tanda itu tepat 5 satuan, sudut itu siku-siku. Satuan apa pun bisa dipakai, misalnya meter atau langkah 30 cm, asalkan ketiga ukuran memakai satuan yang sama.

Apa itu tripel Pythagoras?

Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan bulat yang tepat memenuhi a² + b² = c². Yang paling terkenal adalah 3, 4, 5. Contoh lainnya adalah 5, 12, 13, lalu 8, 15, 17 dan 7, 24, 25. Jika setiap bilangan dalam sebuah tripel dikalikan dengan bilangan yang sama, kamu mendapat tripel lain, misalnya 6, 8, 10.

Contoh

Cek 8, 15, 17. 8² = 64 dan 15² = 225. Jumlahnya 289. Dan 17² = 289. Cocok. Menggandakan 3, 4, 5 menghasilkan 6, 8, 10, dan mengalikannya dengan tiga menghasilkan 9, 12, 15. Keduanya juga cocok. Dengan hafal beberapa tripel, kamu bisa langsung melihat jawabannya di banyak latihan soal.

Apakah jawabannya eksak, atau hanya mendekati?

Jawaban dari teorema Pythagoras itu eksak, tetapi tidak selalu berupa bilangan bulat. Segitiga siku-siku dengan dua sisi siku-siku sepanjang 1 memiliki hipotenusa tepat √2. Sebagai desimal, √2 tidak pernah berakhir, jadi 1,414 hanyalah pendekatan. Itulah sebabnya banyak guru memintamu membiarkan jawabannya sebagai √2.

Contoh

Cek versi desimalnya. 1,414² = 1,999396, yang dekat dengan 2 tetapi tidak sama dengan 2. Nilai √2 adalah panjang yang eksak. Tulis √2 jika soal meminta jawaban eksak, dan bulatkan hanya jika soal meminta desimal, misalnya sampai dua angka di belakang koma (1,41).

Di mana teorema Pythagoras dipakai dalam kehidupan nyata?

Teorema Pythagoras dipakai setiap kali seseorang membutuhkan jarak yang tidak bisa diukur secara langsung. Tukang bangunan memakainya untuk mengecek sudut siku-siku, orang memakainya untuk menempatkan tangga dengan aman, ukuran layar diukur dengannya, dan pada peta teorema ini memberi jarak garis lurus antara dua titik.

Contoh

Sebuah tangga panjangnya 4 m dan kakinya berdiri 1 m dari dinding. Seberapa tinggi tangga itu mencapai dinding? Tangga adalah hipotenusa, jadi kurangkan. 4² − 1² = 16 − 1 = 15, dan √15 kira-kira 3,87 m.

Beberapa penggunaan sehari-hari lainnya:

1. Ukuran layar. Layar yang lebarnya 40 cm dan tingginya 30 cm memiliki diagonal √(1600 + 900) = √2500 = 50 cm.
2. Jarak pada peta. Berjalanlah 3 km ke timur lalu 4 km ke utara, dan kamu berada 5 km dari titik awal dalam garis lurus.
3. Sudut siku-siku. Pengecekan 3, 4, 5 di atas dipakai untuk dinding, bedengan kebun, dan lantai keramik.

Siapa yang pertama kali menemukan teorema Pythagoras?

Teorema ini dinamai menurut pemikir Yunani Pythagoras, tetapi idenya jauh lebih tua. Sebuah lempeng tanah liat Babilonia yang dikenal sebagai Plimpton 322, yang diperkirakan berasal dari sekitar tahun 1800 SM, memuat daftar bilangan dari tripel Pythagoras lebih dari 1000 tahun sebelum Pythagoras hidup, seperti dijelaskan dalam artikel tentang penelitian di UNSW Sydney. Ide serupa juga muncul dalam matematika India dan Tiongkok kuno.