Persamaan garis melalui satu titik dan gradien, kapan dipakai alih-alih y = mx + c

Bagaimana menulis persamaan garis melalui satu titik dan gradien?

Ganti m dengan gradiennya, lalu ganti x₁ dan y₁ dengan koordinat titik yang kamu ketahui. Biarkan x dan y tetap sebagai huruf. Keduanya mewakili semua titik lain pada garis itu. Pakai persamaan garis melalui satu titik dan gradien kalau kamu tahu satu titik pada garis dan gradiennya.

Contoh

Tentukan persamaan garis yang melalui (2, 3) dengan gradien 2.

1. Dari titiknya, x₁ = 2 dan y₁ = 3.
2. Dari gradiennya, m = 2.
3. Substitusikan: y − 3 = 2(x − 2).

Selesai, dan tidak ada yang perlu disederhanakan. Kalau ingin yakin, uji titik kedua. Satu langkah ke kanan dan dua langkah ke atas dari (2, 3) sampai di (3, 5). Masukkan angkanya: ruas kiri 5 − 3 = 2, ruas kanan 2(3 − 2) = 2. Hasilnya sama.

Perhatikan bahwa (2, 3) langsung terlihat di dalam persamaan. Saat menggambar grafik, kamu bisa meletakkan pensil di titik itu dulu, lalu melanjutkan dari sana.

Bagaimana mencari persamaan garis dari dua titik?

Hitung dulu gradiennya dengan m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Lalu ambil salah satu dari kedua titik dan masukkan ke y − y₁ = m(x − x₁) bersama gradien tadi. Titik mana pun yang kamu pilih tidak masalah. Persamaannya terlihat berbeda, tetapi setelah disederhanakan keduanya menggambarkan garis yang sama.

Contoh

Tentukan garis yang melalui (1, −2) dan (4, 7).

1. Gradien: m = (7 − (−2)) : (4 − 1) = 9 : 3 = 3
2. Memakai (1, −2): y − (−2) = 3(x − 1), jadi y + 2 = 3(x − 1)
3. Memakai (4, 7): y − 7 = 3(x − 4)

Jabarkan salah satunya dan kamu mendapat y = 3x − 5. Ini penting diketahui sebelum mencocokkan PR dengan kunci jawaban. Siswa yang memakai (4, 7) dan kunci yang memakai (1, −2) akan menunjukkan dua persamaan berbeda, dan keduanya tidak salah.

Mengapa titik negatif mengubah tanda?

Rumusnya mengurangkan koordinat titik. Kalau koordinatnya negatif, kamu mengurangkan bilangan negatif, dan itu berubah menjadi tambah. Jadi titik (−4, −1) menghasilkan y + 1 dan x + 4. Menulis tanda kurung secara lengkap sebelum merapikan adalah cara paling mudah agar tandanya tidak terbalik.

Contoh

Tentukan garis yang melalui (−4, −1) dengan gradien 1/2.

1. Dengan tanda kurung: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Setelah dirapikan: y + 1 = 1/2(x + 4)

Cara ini juga berlaku sebaliknya. Dari y + 5 = −2(x − 6), titik pada garis adalah (6, −5), bukan (6, 5). Tanda apa pun yang terlihat di dalam persamaan, koordinatnya punya tanda kebalikannya.

Bagaimana mengubahnya ke bentuk y = mx + c?

Jabarkan tanda kurungnya, lalu pindahkan bilangan di ruas kiri ke ruas kanan sehingga y berdiri sendiri. Hasilnya adalah bentuk y = mx + c. Gradien tidak berubah selama proses ini, dan bilangan yang tersisa sendirian di akhir adalah c, yaitu titik potong garis dengan sumbu y.

Contoh

Ubah y − 3 = 2(x − 2).

1. Jabarkan tanda kurung: y − 3 = 2x − 4
2. Tambahkan 3 pada kedua ruas: y = 2x − 1

Gradiennya tetap 2, dan garis memotong sumbu y di (0, −1). Titik itu terlihat pada grafik di atas. Arah sebaliknya juga sama cepatnya. Ambil y = −3x + 5, pilih x = 1, dan kamu mendapat y = 2. Titik (1, 2) dan gradien −3 menghasilkan y − 2 = −3(x − 1).

Bentuk mana yang sebaiknya dipakai?

Pakai bentuk yang cocok dengan apa yang sudah kamu ketahui.

• Persamaan garis melalui satu titik dan gradien, kalau kamu punya satu titik dan gradien, atau dua titik.
• Bentuk y = mx + c, kalau kamu ingin langsung membaca gradien dan titik potong sumbu y, atau menggambar grafik.
• Bentuk umum Ax + By = C, kalau kamu butuh titik potong garis dengan kedua sumbu.

Banyak guru meminta jawaban akhir dalam bentuk y = mx + c. Tidak ada salahnya mulai dari rumus titik dan gradien, lalu mengubahnya di akhir.

Dari mana asal rumus ini?

Rumus ini sebenarnya rumus gradien yang disusun ulang. Pilih titik tetap (x₁, y₁) pada garis dan titik lain mana saja (x, y) pada garis yang sama. Gradien di antara keduanya adalah m = (y − y₁) : (x − x₁). Kalikan kedua ruas dengan (x − x₁), dan kamu mendapat y − y₁ = m(x − x₁).

Contoh

Tetap pakai garis yang melalui (2, 3) dengan gradien 2, lalu uji titik (5, 9). Gradien dari (2, 3) ke (5, 9) adalah (9 − 3) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2. Gradiennya sama, jadi (5, 9) terletak pada garis itu. Persamaan garisnya menyatakan hal yang persis sama: 9 − 3 = 2(5 − 2).

Buku teks gratis OpenStax Elementary Algebra 2e menurunkan rumus ini dengan cara yang sama. Setelah itu, buku tersebut memakainya untuk garis yang melalui dua titik serta garis sejajar dan tegak lurus, dan dari situlah bagian berikutnya dimulai.

Bagaimana memakainya untuk garis sejajar dan tegak lurus?

Garis sejajar punya gradien yang sama dengan garis aslinya. Gradien garis tegak lurus adalah lawan dari kebalikannya, jadi pecahannya dibalik dan tandanya diganti. Gradien 2 menjadi −1/2, dan gradien −3/4 menjadi 4/3. Setelah gradien barunya didapat, masukkan ke persamaan garis bersama titik yang diberikan.

Contoh

Tentukan garis yang melalui (2, 3) dan tegak lurus dengan y = 2x − 1.

1. Gradien aslinya 2, atau 2/1.
2. Balik dan ganti tandanya: −1/2.
3. Persamaan garis melalui titik dan gradien: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. Bentuk y = mx + c: y = −1/2x + 4

Cek cepat dengan x = 2: −1/2 × 2 + 4 = 3, yaitu nilai y dari titik kita. Untuk garis sejajar yang melalui (6, 0), gradiennya tetap 2: y − 0 = 2(x − 6), yaitu y = 2x − 12.

Apakah semua garis bisa ditulis dengan rumus ini?

Hampir semua garis bisa. Pengecualiannya adalah garis vertikal. Semua titiknya punya nilai x yang sama, jadi perubahan x-nya 0, dan menghitung gradien berarti membagi dengan nol. Garis vertikal yang melalui (3, 1) cukup ditulis x = 3. Garis horizontal sama sekali tidak bermasalah, karena gradiennya 0.

Contoh

Ambil garis horizontal yang melalui (1, 4). Dengan rumus titik dan gradien, persamaannya y − 4 = 0(x − 1). Nol dikali apa pun hasilnya nol, jadi persamaannya menjadi y − 4 = 0, yaitu y = 4.

Bagaimana cara berlatih?

Cepat mengerjakan soal garis datang dari sering melihatnya. Di game fungsi linear kamu bertarung dengan soal-soal garis. Satu ronde bisa menanyakan gradien dari (−2, 2) ke (0, −6), dan jawaban yang benar membuat seranganmu kena. Jawabannya (−6 − 2) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4.

Langkah mengubah bentuk selalu berupa persamaan kecil. Kalau di situ kamu melambat, beberapa ronde game persamaan akan membantu. Kamu akan memakai langkah yang sama setiap kali menyusun ulang rumus.

Huruf untuk gradien juga berbeda di tiap negara. Di Indonesia gradien ditulis m, tetapi beberapa negara memakai k atau a. Apa pun hurufnya, bilangan di depan tanda kurung adalah gradien, dan bilangan di dalam tanda kurung berasal dari satu titik pada garis.

Satu titik dan gradien menentukan garis

Satu titik dan satu gradien sudah menentukan sebuah garis lurus sepenuhnya, dan persamaan ini menuliskannya secara langsung. Substitusikan dengan teliti, pertahankan tanda kurung sampai tandanya beres, dan uji hasilnya dengan titik kedua. Setelah itu, mengubahnya ke y = mx + c hanya butuh dua langkah singkat.