Phi, bilangan yang sangat terkenal
Matematikawan menuliskannya dengan huruf Yunani φ (phi), dan bilangan ini terkenal karena katanya tersembunyi di bunga matahari, bangunan terkenal, dan wajah yang rupawan. Sebagian reputasi itu memang layak, tetapi banyak juga yang tidak. Mari bahas matematikanya dulu, lalu lihat dengan jujur di mana rasio emas (golden ratio) benar-benar muncul.
Bagaimana cara menghitung rasio emas?
Rasio emas dihitung dengan rumus φ = (1 + √5) : 2. Akar kuadrat dari 5 kira-kira 2,236, jadi tambahkan 1, bagi dengan 2, dan hasilnya kira-kira 1,618. Angka desimalnya tidak pernah berakhir dan tidak pernah berulang, karena φ adalah bilangan irasional. Untuk sebagian besar keperluan sehari-hari, 1,618 sudah cukup dekat.
Contoh
Hitung dengan kalkulator dalam tiga langkah.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Jadi φ ≈ 1,618. Jika perlu lebih teliti, φ = 1,6180339887 sampai sepuluh angka di belakang koma.
Dari mana asal rumus rasio emas?
Ambil sebuah ruas garis dan bagi menjadi bagian panjang a dan bagian pendek b. Pembagian itu disebut pembagian emas jika perbandingan seluruh garis dengan bagian panjang sama dengan perbandingan bagian panjang dengan bagian pendek. Dalam simbol, (a + b) : a = a : b. Nilai yang sama itulah φ.
Sekarang buat bagian pendek bernilai 1, sehingga bagian panjang bernilai φ. Aturannya menjadi (φ + 1) : φ = φ. Kalikan kedua ruas dengan φ dan diperoleh φ² = φ + 1, atau φ² − φ − 1 = 0. Itu persamaan kuadrat, dan penyelesaian positifnya adalah (1 + √5) : 2. Britannica menjelaskan penyusunan ulang yang sama menjadi x² − x − 1 = 0.
Mengapa 1,618; 0,618; dan 2,618 terlihat begitu mirip?
Karena φ² = φ + 1, mengkuadratkan φ hanya menambahkan 1. Jadi φ² ≈ 2,618. Bagi persamaan yang sama dengan φ dan diperoleh φ = 1 + 1 : φ, artinya 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Itulah sebabnya tiga bilangan yang berbeda memiliki angka desimal yang sama.
Mengapa rasio emas begitu istimewa?
Rasio emas istimewa karena merupakan satu-satunya bilangan positif yang kuadratnya sama dengan bilangan itu ditambah satu, dan kebalikannya sama dengan bilangan itu dikurangi satu. Rasio ini juga menghubungkan geometri dan berhitung. Nilai yang sama muncul saat kita membagi garis secara seimbang, saat menggambar segi lima beraturan, dan saat membagi bilangan Fibonacci yang berdekatan.
Contoh
Dalam segi lima beraturan dengan panjang sisi 1, setiap diagonal (garis dari satu titik sudut ke titik sudut yang tidak bersebelahan) panjangnya tepat φ, kira-kira 1,618. Itulah sebabnya bintang lima yang digambar di dalam segi lima penuh dengan rasio emas. Setiap ujung bintang dipotong oleh garis lainnya dengan perbandingan emas.
Gagasan ini sangat tua. Britannica menelusurinya hingga Euklides, yang dalam karyanya Elements menyebutnya "rasio ekstrem dan rata-rata".
Apakah rasio emas sama dengan pi?
Tidak. Pi (π ≈ 3,14) adalah perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya, sedangkan rasio emas (φ ≈ 1,618) berasal dari pembagian garis. Keduanya bilangan irasional dengan desimal tak berujung, dan mungkin itu sebabnya orang sering tertukar. Nilainya berbeda dan keduanya berasal dari bentuk yang berbeda.
Apakah rasio emas dan barisan Fibonacci itu sama?
Rasio emas dan barisan Fibonacci bukan hal yang sama, tetapi keduanya sangat erat kaitannya. Barisan Fibonacci adalah deretan bilangan bulat yang setiap sukunya merupakan jumlah dua suku sebelumnya. Jika setiap bilangan Fibonacci dibagi dengan bilangan sebelumnya, hasilnya makin lama makin dekat dengan rasio emas.
Contoh
Ambil bilangan yang berdekatan dari barisan Fibonacci lalu bagi.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Hasilnya melompat di atas dan di bawah 1,618, lalu cepat stabil. Pada 144 : 89, hasilnya sudah sama dengan φ sampai tiga angka di belakang koma. Ini kegiatan kalkulator yang seru untuk anak-anak, karena mereka bisa melihat pola muncul dari pembagian biasa.
Menemukan aturan di balik deretan bilangan adalah keterampilan yang jauh melampaui Fibonacci. Dalam permainan barisan bilangan, setiap serangan berupa barisan dengan satu bilangan yang hilang, dan kamu harus menemukan aturannya sebelum lawanmu.
Pada ronde di atas, setiap bilangan 5 lebih besar dari bilangan sebelumnya, jadi bilangan yang hilang adalah 24.
Bagaimana cara menggambar persegi panjang emas?
Persegi panjang emas memiliki sisi panjang yang kira-kira 1,618 kali sisi pendeknya. Untuk menggambarnya, kalikan sisi pendek dengan 1,618, atau bagi sisi panjang dengan 1,618 untuk mendapatkan sisi pendek. Kamu juga bisa membuatnya secara tepat dengan jangka, mulai dari sebuah persegi, tanpa mengukur desimal apa pun.
Contoh
Jika sisi pendeknya 10 cm, sisi panjangnya 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm. Jika sebuah halaman lebarnya 1.000 piksel dan kamu ingin pembagian emas, bagi dengan φ. Hasilnya kolom utama sekitar 618 piksel dan kolom samping sekitar 382 piksel.
Untuk menggambarnya dengan jangka, ikuti langkah-langkah ini.
- Gambar persegi dengan sisi 1 (misalnya 1 desimeter).
- Tandai titik tengah sisi bawah.
- Letakkan ujung jangka di titik tengah itu dan buka hingga mencapai sudut atas di sisi seberang. Jarak itu adalah √5 : 2, kira-kira 1,118.
- Putar jangka ke bawah hingga mengenai perpanjangan garis bawah. Panjang barunya 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Lengkapi persegi panjangnya. Sisi-sisinya 1 dan φ.
Jika persegi dipotong dari persegi panjang emas, sisanya adalah persegi panjang emas lagi. Ulangi langkah itu dan gambar seperempat lingkaran di setiap persegi, maka terbentuk spiral yang sering muncul di gambar-gambar rasio emas. Geometri seperti ini juga ada di permainan geometri, tempat bangun datar, sudut, dan luas menjadi tantangan cepat.
Di mana rasio emas muncul di alam?
Contoh paling jelas di alam adalah cara banyak tumbuhan menata daun dan bijinya. Setiap biji baru di kepala bunga matahari tumbuh dengan putaran yang kurang lebih sama dari biji sebelumnya, sekitar 137,5°. Sudut emas ini menyusun biji dengan rapat tanpa celah, dan menghasilkan spiral yang jumlahnya sering merupakan bilangan Fibonacci.
Contoh
Sudut emas berasal langsung dari φ. Bagi satu putaran penuh dengan φ² dan hasilnya 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Cara lain melihatnya, putaran itu membagi lingkaran menjadi dua busur, sekitar 222,5° dan 137,5°, dengan perbandingan emas.
Sebuah kajian tahun 2022 oleh peneliti Universitas Nottingham, The Golden Ratio in Nature, mengumpulkan contoh dari berbagai skala dan menyebut "kecenderungan rasio ini untuk muncul di banyak bidang ilmiah dan seni". Kecenderungan adalah kata yang tepat. Banyak tumbuhan mengikuti pola lain, jadi ini bukan hukum alam.
Apakah cangkang nautilus berbentuk spiral emas?
Biasanya tidak. Nautilus tumbuh dalam spiral logaritmik, yang bentuknya tetap sama saat makin besar, dan itu indah dengan sendirinya. Pengukuran cangkang asli cenderung menghasilkan rasio pertumbuhan yang berbeda dari φ. Spiral emas yang digambar di atas foto nautilus adalah gambar yang bagus, bukan hasil pengukuran.
Apakah rasio emas benar-benar ada dalam seni, bangunan, dan wajah?
Sebagian besar tidak. Klaim bahwa Parthenon, lukisan terkenal, atau wajah yang menarik mengikuti rasio emas tidak terbukti saat diukur dengan cermat. Dalam artikel tahun 2022 di The Conversation, matematikawan UNSW Thomas Britz menjelaskan bahwa φ sangat jarang ditemukan dalam seni dan arsitektur Yunani kuno.
Contoh
Klaim populer tentang Parthenon adalah bahwa bagian depannya pas dengan persegi panjang emas. Britz menulis bahwa perhitungan yang cermat menunjukkan klaim ini keliru. Hal yang sama berlaku untuk "tes wajah rasio emas" yang memberi nilai pada selebritas. Topeng wajah yang menjadi dasarnya sudah dibantah, dan tidak ada satu angka pun yang menentukan apakah sebuah wajah cantik.
Alasan umum mitos ini bertahan adalah kebiasaan hanya memilih contoh yang cocok. Hampir setiap bangunan atau wajah punya sepasang panjang yang rasionya mendekati 1,6, apalagi jika kita bebas memilih titik ukurnya. Rasio seperti 3 : 2 = 1,5 atau 16 : 9 ≈ 1,78 juga enak dipandang dan jauh lebih umum di layar dan foto. Uji yang adil memeriksa banyak benda dan menghitung yang meleset sama seperti yang cocok.
Apakah seniman dan desainer sengaja memakai rasio emas?
Sebagian iya. Desainer kadang memakai 1,618 sebagai titik awal untuk tata letak, bingkai foto, atau ukuran huruf, karena menghasilkan pembagian yang tidak terlalu rata dan tidak terlalu berat sebelah. Itu pilihan desain, bukan bukti bahwa rasio ini tersembunyi di semua hal yang indah. Cara kerjanya sama dengan proporsi rapi lainnya.
Rasio emas adalah matematika sungguhan, bukan aturan kecantikan
Rasio emas adalah bilangan pasti (1 + √5) : 2 ≈ 1,618 dengan sifat-sifat yang membuat matematikawan tersenyum. Mengkuadratkannya menambah 1, membagi 1 dengannya mengurangi 1, dan perbandingan bilangan Fibonacci makin mendekatinya. Rasio ini membentuk spiral biji pada banyak tumbuhan, sedangkan sebagian besar cerita tentang wajah dan bangunan terkenal hanyalah pengukuran yang dipaksakan.
Cara yang baik untuk menjelajahinya bersama anak adalah dengan praktik langsung. Bagi bilangan Fibonacci dengan kalkulator, gambar persegi panjang emas dengan jangka, atau hitung spiral pada buah pinus. Masing-masing menunjukkan pola nyata, dan tidak satu pun memerlukan mitos agar menarik.