O teorema de Pitágoras permite calcular o lado que falta dun triángulo rectángulo cando coñeces os outros dous. É unha fórmula curta, a² + b² = c², pero moita xente se atasca ao decidir que lado é cada un e cando hai que sumar ou restar. Esta guía explica os dous casos con exemplos, os erros que convén vixiar e onde aparece o teorema na vida diaria.
Que é o teorema de Pitágoras?
O teorema de Pitágoras di que, nun triángulo rectángulo, o cadrado do lado máis longo é igual á suma dos cadrados dos dous lados máis curtos. Escrito como fórmula, a² + b² = c². Aquí a e b son os dous lados curtos, chamados catetos, e c é o lado máis longo, chamado hipotenusa.
Exemplo
Colle un triángulo rectángulo con catetos de 3 cm e 4 cm. Eleva ao cadrado os dous catetos. 3² = 9 e 4² = 16. Súmaos e obtés 25. Agora pregúntate que número ao cadrado dá 25. A resposta é 5, así que a hipotenusa mide 5 cm. Podes comprobalo ao revés, porque 5² = 25 = 9 + 16.
Por que funciona?
Imaxina un cadrado debuxado sobre cada lado do triángulo. O teorema di que a área do cadrado grande sobre a hipotenusa é igual á dos dous cadrados pequenos xuntos. Para o triángulo de lados 3, 4, 5, iso é 25 = 9 + 16.
Unha demostración visual clásica axuda a ver por que. Colle catro copias do mesmo triángulo rectángulo e colócaas dentro dun cadrado grande, de modo que no medio quede un cadrado inclinado.
Ese cadrado central ten lado c, así que a súa área é c². Agora recoloca os mesmos catro triángulos dentro do mesmo cadrado grande doutra maneira. O espazo baleiro convértese en dous cadrados, un de lado a e outro de lado b. O cadrado grande e os catro triángulos non cambiaron, así que o espazo baleiro tampouco. Iso significa que c² = a² + b².
Como se calcula a hipotenusa?
Para calcular a hipotenusa, eleva ao cadrado os dous catetos, suma os resultados e calcula a raíz cadrada do total. En forma de fórmula, c = √(a² + b²). O resultado sempre é máis longo ca calquera dos dous catetos, o que é unha forma rápida de comprobar que non te equivocaches.
Exemplo
Un triángulo rectángulo ten catetos de 6 m e 8 m.
- Eleva cada cateto ao cadrado. 6² = 36 e 8² = 64.
- Súmaos. 36 + 64 = 100.
- Calcula a raíz cadrada. √100 = 10.
A hipotenusa mide 10 m. Non todos os resultados son números enteiros. Con catetos de 5 e 7, obtés 25 + 49 = 74, e √74 é aproximadamente 8,60. Se as raíces cadradas che resultan lentas, unhas partidas no xogo de raíces cadradas axúdanche a recoñecer axiña os cadrados perfectos. Ver 36, 64 e 100 dunha ollada fai máis rápidos todos os pasos de arriba.
Como sabes cal é a hipotenusa?
A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ángulo recto, e sempre é o lado máis longo. Moita xente se confunde cando o triángulo está xirado ou debuxado do revés. Busca primeiro o cadradiño que marca o ángulo recto. O lado que non toca esa esquina é a hipotenusa, estea onde estea na páxina.
Como se calcula un cateto que falta?
Para calcular un cateto que falta, eleva ao cadrado a hipotenusa, eleva ao cadrado o cateto que coñeces e resta o cadrado menor do maior. Despois calcula a raíz cadrada. En forma de fórmula, a = √(c² − b²). Aquí réstase porque a hipotenusa é o lado máis grande, así que o seu cadrado é o total do que partes.
Exemplo
Un triángulo rectángulo ten unha hipotenusa de 13 cm e un cateto de 5 cm.
- Eleva a hipotenusa ao cadrado. 13² = 169.
- Eleva ao cadrado o cateto coñecido. 5² = 25.
- Resta. 169 − 25 = 144.
- Calcula a raíz cadrada. √144 = 12.
O lado que falta mide 12 cm. Comproba que teña sentido. 12 é menor ca 13, como debe ser un cateto. E 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², así que o triángulo cumpre o teorema.
Os dous casos seguen unha regra sinxela. Se buscas o lado máis longo, suma. Se buscas un lado curto, resta. Cando esta regra che resulte natural, o xogo de xeometría é un sitio divertido para practicar problemas de triángulos. Pide respostas rápidas, e iso axuda a que os pasos se fagan automáticos.
Que erros se cometen co teorema de Pitágoras?
Os erros máis habituais son usar o teorema nun triángulo sen ángulo recto, sumar cando hai que restar, esquecer a raíz cadrada ao final e escoller o lado equivocado como hipotenusa. Todos son fáciles de evitar cando sabes que tes que vixialos.
Exemplo
Un estudante ten unha hipotenusa de 10 e un cateto de 6, e escribe 10² + 6² = 136, e despois √136 ≈ 11,66. Ese resultado é máis longo ca a hipotenusa, o que é imposible para un cateto. O paso correcto é 100 − 36 = 64, e √64 = 8.
Estes son os erros que convén vixiar:
- Usalo en calquera triángulo. O teorema só funciona cando un ángulo mide exactamente 90°.
- Chamar sempre c ao lado descoñecido. Só a hipotenusa é c. Se o lado descoñecido é un cateto, hai que restar.
- Parar antes da raíz cadrada. 6² + 8² = 100 dá c², non c. O lado mide √100 = 10.
- Pensar que √(a² + b²) é o mesmo que a + b. Con 3 e 4, √(9 + 16) = 5, mentres que 3 + 4 = 7.
- Redondear demasiado cedo. Nos problemas de varios pasos, mantén o valor exacto ata o final e redondea só o resultado final.
Funciona o teorema de Pitágoras en todos os triángulos?
Non. O teorema de Pitágoras só funciona nos triángulos rectángulos, que teñen un ángulo de exactamente 90°. Tamén funciona ao revés. Se os tres lados dun triángulo cumpren a² + b² = c², o triángulo ten que ter un ángulo recto. Esa versión inversa é unha forma fiable de comprobar se unha esquina está en escuadra.
Exemplo
Un triángulo de lados 5, 12 e 13 é rectángulo? Eleva ao cadrado os dous lados curtos e súmaos. 25 + 144 = 169. Eleva ao cadrado o lado máis longo. 13² = 169. Coinciden, así que si.
E uns lados de 6, 7 e 9? 36 + 49 = 85, pero 9² = 81. Non coinciden, así que o triángulo non ten ángulo recto. Como 85 é maior ca 81, todos os seus ángulos son menores de 90°.
Os albaneis usan a mesma idea. Para comprobar que unha esquina está en escuadra, miden 3 unidades ao longo dunha parede e 4 unidades ao longo da outra. Se a distancia entre esas dúas marcas é exactamente 5 unidades, a esquina é un ángulo recto. Vale calquera unidade, como metros ou tramos de 30 cm, sempre que as tres medidas usen a mesma.
Que é unha terna pitagórica?
Unha terna pitagórica é un conxunto de tres números enteiros que cumpren exactamente a² + b² = c². A máis coñecida é 3, 4, 5. Outras son 5, 12, 13, e tamén 8, 15, 17 e 7, 24, 25. Se multiplicas todos os números dunha terna pola mesma cantidade, obtés outra terna, como 6, 8, 10.
Exemplo
Comproba 8, 15, 17. 8² = 64 e 15² = 225. Xuntos dan 289. E 17² = 289. Cumpre. Dobrar 3, 4, 5 dá 6, 8, 10, e triplicalo dá 9, 12, 15. As dúas tamén cumpren. Saber algunhas ternas de memoria permite ver as respostas ao instante en moitos exercicios.
O resultado é exacto ou só aproximado?
O resultado do teorema de Pitágoras é exacto, pero non sempre é un número enteiro. Un triángulo rectángulo con dous catetos de 1 ten unha hipotenusa de exactamente √2. Como decimal, √2 nunca remata, así que 1,414 é só unha aproximación. Por iso moitos profesores piden deixar o resultado como √2.
Exemplo
Comproba a versión decimal. 1,414² = 1,999396, que está preto de 2 pero non é igual. O valor √2 é a lonxitude exacta. Escribe √2 cando a pregunta pida un resultado exacto, e redondea só cando pida un decimal, por exemplo con dúas cifras decimais (1,41).
Onde se usa o teorema de Pitágoras na vida real?
O teorema de Pitágoras úsase sempre que alguén necesita unha distancia que non pode medir directamente. Os albaneis úsano para comprobar que as esquinas están en escuadra, a xente úsao para colocar unha escada con seguridade, os tamaños das pantallas mídense con el e, nun mapa, dá a distancia en liña recta entre dous puntos.
Exemplo
Unha escada mide 4 m e o seu pé está a 1 m dunha parede. Ata que altura da parede chega? A escada é a hipotenusa, así que hai que restar. 4² − 1² = 16 − 1 = 15, e √15 é aproximadamente 3,87 m.
Algúns usos máis de cada día:
- Tamaño das pantallas. Unha pantalla de 40 cm de ancho e 30 cm de alto ten unha diagonal de √(1600 + 900) = √2500 = 50 cm.
- Distancias nun mapa. Se camiñas 3 km cara ao leste e despois 4 km cara ao norte, quedas a 5 km do punto de partida, en liña recta.
- Esquinas en escuadra. A comprobación 3, 4, 5 de arriba úsase en paredes, parterres e chans de baldosas.
Quen descubriu primeiro o teorema de Pitágoras?
O teorema leva o nome do pensador grego Pitágoras, pero a idea é moito máis antiga. Unha tablilla babilónica de arxila coñecida como Plimpton 322, datada arredor do 1800 a. C., recolle números de ternas pitagóricas máis de 1000 anos antes de que vivise Pitágoras, como explica un artigo sobre unha investigación da UNSW Sydney. Ideas parecidas aparecen nas matemáticas antigas da India e da China.
Adestra estas a continuación