Fi, un número con moita sona
Os matemáticos escríbeno coa letra grega φ (fi), e ten sona de agocharse nos xirasoles, en edificios famosos e nas caras fermosas. Parte desa sona é merecida e moita non o é. Primeiro imos coas matemáticas e despois coa versión honesta de onde aparece de verdade.
Como se calcula o número áureo?
O número áureo calcúlase coa fórmula φ = (1 + √5) : 2. A raíz cadrada de 5 é aproximadamente 2,236; súmaslle 1, divides entre 2 e obtés uns 1,618. Os decimais non se acaban nunca nin se repiten, porque φ é un número irracional. Para case todos os usos cotiáns, 1,618 é dabondo.
Exemplo
Calcúlao cunha calculadora en tres pasos.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Así que φ ≈ 1,618. Se necesitas máis precisión, φ = 1,6180339887 con dez decimais.
De onde sae esta fórmula?
Colle un segmento e divídeo nunha parte longa a e nunha parte curta b. A división é áurea cando o segmento enteiro é á parte longa como a parte longa é á curta. Con símbolos, (a + b) : a = a : b. Ese valor común é φ.
Agora fai que a parte curta mida 1, de xeito que a parte longa mide φ. A regra queda (φ + 1) : φ = φ. Multiplica os dous membros por φ e obtés φ² = φ + 1, é dicir, φ² − φ − 1 = 0. É unha ecuación de segundo grao, e a súa solución positiva é (1 + √5) : 2. A Britannica describe a mesma transformación ata chegar a x² − x − 1 = 0.
Por que 1,618, 0,618 e 2,618 se parecen tanto?
Como φ² = φ + 1, elevar φ ao cadrado só lle suma 1. Por iso φ² ≈ 2,618. Se divides a mesma ecuación entre φ, obtés φ = 1 + 1 : φ, o que significa que 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Por iso tres números distintos comparten os mesmos decimais.
Por que é tan especial o número áureo?
O número áureo é especial porque é o único número positivo cuxo cadrado é o propio número máis un, e cuxo inverso é o propio número menos un. Ademais, une a xeometría coa conta. O mesmo valor aparece cando divides un segmento de forma equilibrada, cando debuxas un pentágono regular e cando divides números de Fibonacci consecutivos.
Exemplo
Nun pentágono regular de lado 1, cada diagonal (o segmento que une un vértice con outro que non é contiguo) mide exactamente φ, uns 1,618. Por iso a estrela de cinco puntas debuxada dentro dun pentágono está chea de proporcións áureas. Cada punta da estrela queda cortada polas outras liñas en proporción áurea.
A idea é moi antiga. A Britannica remóntaa a Euclides, que nos seus Elementos a chamou división en «media e extrema razón».
O número áureo é o mesmo ca pi?
Non. Pi (π ≈ 3,14) é a razón entre a lonxitude dunha circunferencia e o seu diámetro, mentres que o número áureo (φ ≈ 1,618) sae de dividir un segmento. Os dous son números irracionais con infinitos decimais, e seguramente por iso se confunden. Teñen valores distintos e veñen de figuras distintas.
O número áureo e a sucesión de Fibonacci son o mesmo?
O número áureo e a sucesión de Fibonacci non son o mesmo, pero están moi relacionados. A sucesión de Fibonacci é unha lista de números naturais na que cada número é a suma dos dous anteriores. Se divides cada número de Fibonacci entre o anterior, os resultados achéganse cada vez máis ao número áureo.
Exemplo
Colle números consecutivos da sucesión de Fibonacci e divide.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Os resultados saltan por riba e por baixo de 1,618 e estabilízanse axiña. Con 144 : 89 o resultado xa coincide con φ en tres decimais. É unha actividade moi bonita para facer con calculadora cos nenos, porque ven aparecer un padrón a partir de simples divisións.
Atopar a regra que hai detrás dunha lista de números é unha habilidade que vai moito máis alá de Fibonacci. No xogo de secuencias numéricas, cada ataque é unha secuencia á que lle falta un número, e tes que descubrir a regra antes ca o teu rival.
Na rolda da imaxe, cada número é 5 máis ca o anterior, así que o número que falta é 24.
Como se debuxa un rectángulo áureo?
Un rectángulo áureo ten un lado longo que mide unhas 1,618 veces o seu lado curto. Para debuxalo, multiplica o lado curto por 1,618, ou divide o lado longo entre 1,618 para obter o lado curto. Tamén podes construílo de forma exacta cun compás, partindo dun cadrado, sen medir ningún decimal.
Exemplo
Se o lado curto mide 10 cm, o lado longo mide 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm. Se unha páxina mide 1000 píxeles de largo e queres unha división áurea, divide entre φ. Obtés unha columna principal duns 618 píxeles e unha columna lateral duns 382 píxeles.
Para debuxalo con compás, segue estes pasos.
- Debuxa un cadrado de lado 1 (por exemplo, 1 decímetro).
- Marca o punto medio do lado de abaixo.
- Crava o compás nese punto medio e ábreo ata o vértice de arriba do lado oposto. Esa distancia é √5 : 2, uns 1,118.
- Xira o compás ata a prolongación do lado de abaixo. A nova lonxitude é 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Completa o rectángulo. Os seus lados miden 1 e φ.
Se a un rectángulo áureo lle quitas o cadrado, o anaco que queda é outro rectángulo áureo. Repite o proceso, debuxa un cuarto de circunferencia en cada cadrado e obterás a espiral que adoita aparecer nas imaxes do número áureo. Este tipo de xeometría tamén forma parte do xogo de xeometría, onde figuras, ángulos e áreas se converten en retos rápidos.
Onde aparece o número áureo na natureza?
O exemplo máis claro na natureza é a forma en que moitas plantas colocan as súas follas e sementes. Cada semente nova dun xirasol medra xirada máis ou menos o mesmo respecto á anterior, uns 137,5°. Este ángulo áureo empaqueta as sementes sen deixar ocos e produce espirais cuxo número adoita ser un número de Fibonacci.
Exemplo
O ángulo áureo sae directamente de φ. Divide unha volta completa entre φ² e obtés 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Outra forma de velo é que o xiro divide a circunferencia en dous arcos, duns 222,5° e 137,5°, en proporción áurea.
Unha revisión de 2022 de investigadores da Universidade de Nottingham, The Golden Ratio in Nature, reúne exemplos a escalas moi diferentes e fala da «tendencia a aparecer en moitos campos científicos e artísticos distintos» desta proporción. Tendencia é a palabra xusta. Moitas plantas seguen outros padróns, así que non é unha lei da natureza.
A cuncha do nautilo é unha espiral áurea?
Normalmente non. O nautilo medra seguindo unha espiral logarítmica, que mantén a súa forma a medida que se fai máis grande, e iso xa é fermoso de seu. As medicións de cunchas reais adoitan dar unha razón de crecemento distinta de φ. Unha espiral áurea debuxada enriba da foto dun nautilo é unha imaxe bonita, non unha medición.
De verdade está o número áureo na arte, nos edificios e nas caras?
Case nunca. As afirmacións de que o Partenón, cadros famosos ou as caras atractivas seguen o número áureo non se sosteñen cando se mide con coidado. Nun artigo de 2022 en The Conversation, o matemático Thomas Britz, da UNSW, explica que φ aparece moi poucas veces na arte e na arquitectura da antiga Grecia.
Exemplo
O que se adoita dicir do Partenón é que a súa fachada encaixa nun rectángulo áureo. Britz escribe que os cálculos coidadosos demostran que é falso. O mesmo pasa cos «test de beleza do número áureo» que puntúan os famosos. A máscara facial na que se basean está desacreditada, e non existe un único número que decida se unha cara é fermosa.
Unha razón habitual pola que o mito sobrevive é que se escollen só os datos que encaixan. Case calquera edificio ou cara ten algunha parella de lonxitudes cuxa razón se achega a 1,6, sobre todo se podes escoller onde medir. Proporcións como 3 : 2 = 1,5 ou 16 : 9 ≈ 1,78 tamén resultan agradables e son moito máis habituais en pantallas e fotos. Unha comprobación xusta analiza moitos obxectos e conta tanto os fallos coma os acertos.
Os artistas e os deseñadores usan o número áureo a propósito?
Algúns si. Os deseñadores ás veces usan 1,618 como punto de partida para maquetacións, marcos ou tamaños de letra, porque dá unha división que non é nin demasiado igualada nin demasiado desequilibrada. É unha decisión de deseño, non unha proba de que a proporción estea agochada en todo o fermoso. Funciona igual ca calquera outra proporción harmoniosa.
O número áureo é matemática de verdade, non unha regra de beleza
O número áureo é un número preciso, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, con propiedades que fan sorrir os matemáticos. Elevalo ao cadrado súmalle 1, dividir 1 entre el réstalle 1, e os números de Fibonacci achéganse a el. Dá forma ás espirais de sementes de moitas plantas, mentres que a maioría das historias sobre caras e edificios famosos son medicións feitas con ganas de que saia.
Unha boa forma de exploralo cun neno é facelo de xeito práctico. Divide números de Fibonacci coa calculadora, debuxa un rectángulo áureo con compás ou conta as espirais dunha piña. Cada actividade mostra un padrón real, e ningunha necesita mitos para ser interesante.