Équation réduite d'une droite (y = ax + b) expliquée pas à pas

Pourquoi l'équation réduite est si pratique

Dès qu'une équation est écrite sous cette forme, on lit directement le coefficient directeur et le point de départ, et on trace la droite en quelques secondes. Voici comment la lire, comment la trouver à partir de deux points ou d'une autre écriture, et les erreurs qui piègent le plus souvent.

Comment trouver l'équation réduite d'une droite ?

Pour trouver l'équation réduite, il te faut deux choses, le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b. Calcule le coefficient directeur à partir de deux points avec a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Ensuite, remplace a et les coordonnées d'un point dans y = ax + b, et résous pour trouver b. Il ne reste plus qu'à écrire le résultat avec tes nombres à la place de a et b.

Exemple

Trouve l'équation de la droite qui passe par les points (1 ; 5) et (3 ; 9).

1. Coefficient directeur : a = (9 − 5) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2
2. Avec le point (1 ; 5) : 5 = 2 × 1 + b, donc b = 3
3. Équation : y = 2x + 3
4. Vérification avec l'autre point (3 ; 9) : 2 × 3 + 3 = 9. Ça marche.

Cette dernière vérification prend dix secondes et repère la plupart des erreurs, alors autant en faire une habitude.

Et si le coefficient directeur est une fraction ?

Les fractions sont tout à fait normales ici, et une fraction ne veut pas dire que tu t'es trompé. Prenons les points (4 ; 0) et (−2 ; 4). Le coefficient directeur vaut (4 − 0) ÷ (−2 − 4) = 4 ÷ (−6) = −2/3. Ensuite, 0 = −2/3 × 4 + b donne b = 8/3, donc y = −2/3x + 8/3. Vérification avec (−2 ; 4) : 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4.

Garde le coefficient directeur sous forme de fraction plutôt qu'en nombre décimal arrondi, car la fraction est exacte et la vérification tombe juste. Si ce sont les fractions qui te ralentissent, quelques parties du jeu des fractions rendent les fractions égales et les simplifications beaucoup plus rapides.

Dans la manche ci-dessus, 7/10 = 70/100, car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux multipliés par 10.

Que signifient a et b dans y = ax + b ?

Dans y = ax + b, a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Le coefficient directeur indique de combien y varie quand x augmente de 1. L'ordonnée à l'origine est la valeur de y quand x = 0, c'est-à-dire le point (0 ; b) où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Exemple

Dans y = 3x − 2, le coefficient directeur est 3 et l'ordonnée à l'origine est −2. La droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; −2), et chaque pas de 1 vers la droite la fait monter de 3. Dans y = −2x + 4, le coefficient directeur est −2, donc la droite descend de 2 à chaque pas vers la droite, et elle coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 4).

Le manuel OpenStax College Algebra 2e (en anglais) décrit la pente comme « rise over run », le déplacement vertical divisé par le déplacement horizontal, et l'ordonnée à l'origine comme le point où la valeur d'entrée vaut zéro. Un coefficient directeur positif fait monter la droite de gauche à droite, un coefficient négatif la fait descendre, et plus le nombre est grand (sans tenir compte du signe), plus la droite est raide.

Une image concrète pour a et b

Une bougie mesure 20 cm et raccourcit de 2 cm par heure. Sa hauteur après t heures est h = −2t + 20. Le 20 est la valeur de départ (b) et −2 la variation chaque heure (a). Après 3 heures, elle mesure 14 cm, et après 10 heures, il n'en reste rien. Beaucoup d'élèves trouvent plus simple de voir b comme la valeur de départ et a comme la variation à chaque pas.

Comment tracer une droite à partir de son équation réduite ?

Pour tracer y = ax + b, commence par l'ordonnée à l'origine, le point (0 ; b) sur l'axe des ordonnées. De là, utilise le coefficient directeur. Avance de 1 vers la droite et monte de a (ou descends si a est négatif) pour trouver un deuxième point. Trace la droite qui passe par les deux points et prolonge-la.

Exemple

Trace y = 2x + 1.

1. Place l'ordonnée à l'origine (0 ; 1).
2. Le coefficient directeur 2 signifie 2/1, donc avance de 1 vers la droite et monte de 2. Tu arrives en (1 ; 3).
3. Trace la droite qui passe par (0 ; 1) et (1 ; 3).

Pour un coefficient directeur comme −2/3, avance de 3 vers la droite et descends de 2. En prenant le dénominateur comme déplacement horizontal, tu restes sur les nœuds du quadrillage, et la droite est plus facile à tracer avec précision.

Comment passer d'une équation cartésienne à l'équation réduite ?

Pour transformer une équation cartésienne du type Ax + By = C en équation réduite, il faut isoler y. Fais passer le terme en x de l'autre côté, puis divise chaque terme par le nombre devant y. Le nombre devant x est alors le coefficient directeur, et le nombre seul est l'ordonnée à l'origine.

Exemple

Transforme 2x + 3y = 6.

1. Soustrais 2x des deux côtés : 3y = −2x + 6
2. Divise chaque terme par 3 : y = −2/3x + 2

Le coefficient directeur est −2/3 et l'ordonnée à l'origine est 2. Une erreur fréquente consiste à lire 2 comme coefficient directeur directement dans 2x + 3y = 6. Les nombres ne donnent le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine qu'une fois y seul d'un côté.

Un point et le coefficient directeur ou l'équation réduite ?

L'écriture y − y₁ = a(x − x₁) est pratique quand on connaît un point et le coefficient directeur, car on peut l'écrire immédiatement. Pour le point (1 ; 5) et le coefficient directeur 2, on obtient y − 5 = 2(x − 1). En développant et en simplifiant, y = 2x − 2 + 5, on retrouve y = 2x + 3. Les deux écritures décrivent la même droite.

Quelles droites ne s'écrivent pas sous la forme y = ax + b ?

Les droites verticales (parallèles à l'axe des ordonnées) ne peuvent pas s'écrire sous la forme y = ax + b. Tous les points d'une droite verticale ont la même abscisse, donc le déplacement horizontal vaut 0 et le calcul du coefficient directeur reviendrait à diviser par zéro. C'est pourquoi une droite verticale n'a pas de coefficient directeur. La droite verticale qui passe par x = 3 a tout simplement pour équation réduite x = 3.

Exemple

Les points (3 ; 1) et (3 ; 6) sont sur une droite verticale. Le coefficient directeur vaudrait (6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0, ce qui n'a pas de sens. La droite a donc pour équation x = 3. Une droite verticale ne coupe d'ailleurs jamais l'axe des ordonnées, sauf si c'est l'axe lui-même, donc elle n'a pas d'ordonnée à l'origine à mettre à la place de b.

Les droites horizontales ne posent aucun problème. Les points (−1 ; 4) et (5 ; 4) donnent un coefficient directeur de 0 ÷ 6 = 0, donc la droite est y = 0x + 4, c'est-à-dire y = 4.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes avec l'équation réduite ?

La plupart des erreurs avec l'équation réduite sont de petites étourderies plutôt que des incompréhensions. On inverse les coordonnées d'un point, on soustrait dans un ordre différent en haut et en bas de la formule du coefficient directeur, ou on lit a et b avant que y soit isolé. Vérifier l'équation finale avec un des points de départ permet de les repérer presque toutes.

Une solution rapide pour chaque étourderie

Voici les étourderies qui reviennent sans cesse, avec une solution rapide pour chacune.

• Confondre x et y dans un point. (5 ; 7) signifie x = 5 et y = 7. Dis-toi « d'abord l'abscisse, puis l'ordonnée » en le lisant.
• Changer l'ordre de la soustraction. Si tu fais 9 − 5 en haut, fais 3 − 1 en bas, avec le même point en premier les deux fois.
• Confondre a et b. Dans y = 4 + 3x, le coefficient directeur est toujours 3, car a est le nombre devant x, où qu'il soit placé.
• Oublier un signe moins. Dans y = −x + 2, le coefficient directeur est −1, pas 1.
• Croire qu'une fraction est forcément fausse. Des coefficients directeurs comme 3/4 ou −2/3 sont aussi valables que 2.

S'entraîner sur l'équation réduite jusqu'à ce que ça devienne automatique

On apprend à lire les droites rapidement en en voyant beaucoup. Dans le jeu des fonctions affines, chaque attaque est une question sur une droite, ce qui permet de s'entraîner à repérer coefficients directeurs et ordonnées à l'origine sans avoir l'impression de faire ses devoirs.

Trouver b, c'est aussi résoudre une petite équation en une étape. Si c'est là que tu ralentis, le jeu des équations est un bon échauffement.

Les lettres changent d'un pays à l'autre. En France, on écrit y = ax + b (ou f(x) = ax + b pour une fonction affine), comme en Pologne, alors que les pays anglophones écrivent y = mx + b, la Russie y = kx + b et l'Italie y = mx + q. Quelles que soient les lettres, le nombre devant x est toujours le coefficient directeur et le nombre seul indique où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Deux nombres suffisent pour décrire toute droite non verticale

Toute droite non verticale peut s'écrire y = ax + b, donc deux nombres suffisent à la décrire complètement. Le coefficient directeur dit à quel point elle est raide et dans quel sens elle va, et l'ordonnée à l'origine dit où elle commence. Trouve ces deux nombres, vérifie ton équation avec un point, et le reste suit.