Tout nombre décimal qui se termine, et toute écriture décimale qui se répète à l'infini, peut s'écrire sous forme de fraction. Convertir un nombre décimal en fraction se fait en trois petites étapes pour la plupart des nombres, avec une astuce en plus pour les écritures décimales périodiques comme 0,333…. Tu trouveras ci-dessous les deux méthodes, une liste des décimaux à connaître par cœur et les erreurs qui piègent le plus souvent.
Comment transformer un nombre décimal en fraction ?
Pour transformer un nombre décimal en fraction, écris les chiffres situés après la virgule au-dessus de 10, 100 ou 1000, selon le nombre de chiffres après la virgule. Un chiffre après la virgule va sur 10, deux vont sur 100, trois vont sur 1000. Simplifie ensuite la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
Exemple
Convertis 0,75 en fraction.
- Compte les chiffres après la virgule. 0,75 en a deux, donc le dénominateur est 100.
- Écris les chiffres au-dessus. 0,75 = 75/100.
- Simplifie. 75 et 100 sont tous les deux divisibles par 25, ce qui donne 3/4.
Donc 0,75 = 3/4. Pour vérifier rapidement, divise 3 par 4 à la main ou à la calculatrice. Tu retrouves 0,75.
Combien vaut 2,5 en fraction ?
2,5 a un chiffre après la virgule, donc il devient 25/10. Les deux nombres sont divisibles par 5, ce qui donne 5/2. Tu peux aussi garder la partie entière à part. Le 2 reste tel quel et le 0,5 devient 5/10, qui se simplifie en 1/2. Donc 2,5 = 5/2 = 2 1/2.
Combien vaut 0,125 en fraction ?
0,125 a trois chiffres après la virgule, donc il devient 125/1000. Les deux nombres sont divisibles par 125, ce qui donne 1/8. Celui-ci vaut la peine d'être retenu, car les huitièmes reviennent souvent dans les recettes, les mesures et les exercices scolaires.
La réponse doit-elle être un nombre mixte ou une fraction impropre ?
Les deux sont corrects. 1,25 peut s'écrire 5/4 (une fraction impropre, dont le numérateur est plus grand que le dénominateur) ou 1 1/4 (un nombre mixte, avec une partie entière et une fraction). Dans certains endroits, les enseignants préfèrent une forme, alors vérifie ce que demande l'exercice. Pour passer de l'une à l'autre, 5/4 signifie quatre quarts (une unité) plus un quart.
Comment simplifier la fraction ?
Pour simplifier une fraction, divise le numérateur et le dénominateur par le plus grand nombre qui les divise tous les deux, appelé le plus grand commun diviseur (PGCD). Si tu ne le vois pas tout de suite, divise plusieurs fois par de petits nombres comme 2, 5 ou 10, jusqu'à ce qu'aucun autre nombre ne divise les deux. Une fraction est complètement simplifiée quand le seul nombre qui divise les deux est 1.
Exemple
Convertis 0,36. Ce nombre a deux chiffres après la virgule, donc il commence par 36/100. Les deux nombres sont divisibles par 4, ce qui donne 9/25. Comme 9 et 25 n'ont aucun diviseur commun à part 1, 9/25 est la forme la plus simple.
Tu peux aussi procéder par petites étapes. 36/100 divisé par 2 donne 18/50, et divisé encore par 2 donne 9/25. Tu arrives au même résultat. Trouver rapidement le plus grand commun diviseur est une compétence à part entière, et le jeu du PGCD en fait un petit défi rapide. C'est un bon échauffement avant des exercices de fractions plus longs.
Quels nombres décimaux faut-il connaître par cœur ?
Un petit ensemble de nombres décimaux revient sans cesse, et connaître leurs fractions fait gagner du temps. Il s'agit des demis, des quarts, des cinquièmes et des huitièmes, ainsi que des écritures décimales périodiques des tiers. Avec ceux-ci en tête, tu peux souvent convertir un nombre décimal de tête, sans rien écrire.
- 0,1 = 1/10
- 0,2 = 1/5
- 0,25 = 1/4
- 0,4 = 2/5
- 0,5 = 1/2
- 0,6 = 3/5
- 0,75 = 3/4
- 0,8 = 4/5
- 0,125 = 1/8
- 0,375 = 3/8
- 0,625 = 5/8
- 0,875 = 7/8
- 0,333… = 1/3
- 0,666… = 2/3
- 0,1666… = 1/6
- 0,111… = 1/9
Exemple
Combien vaut 0,625 ? Si tu sais que 0,125 = 1/8, alors 0,625 vaut cinq fois plus, donc 5/8. Des résultats connus comme celui-ci permettent d'en construire de nouveaux. Passer d'une forme à l'autre devient beaucoup plus rapide avec une pratique régulière, et de courtes manches du jeu des nombres décimaux ou du jeu des fractions sont une façon ludique de gagner cette rapidité. Même quelques minutes par jour rendent la liste ci-dessus familière.
Comment convertir une écriture décimale périodique en fraction ?
Pour une écriture décimale où les mêmes chiffres se répètent juste après la virgule, écris la partie qui se répète au-dessus du même nombre de neufs. Un chiffre qui se répète va sur 9, deux vont sur 99, trois vont sur 999. Simplifie ensuite. Ainsi, 0,777… = 7/9, et 0,272727… = 27/99, qui se simplifie en 3/11.
Exemple
Convertis 0,454545… en fraction. La partie qui se répète est 45, qui a deux chiffres, donc elle va sur 99. Cela donne 45/99. Les deux nombres sont divisibles par 9, donc la réponse est 5/11. Tu peux vérifier en divisant 5 par 11, ce qui redonne 0,454545….
Quand la répétition commence plus tard, comme dans 0,1666…, la règle des neufs demande une étape de plus. Une méthode qui marche toujours utilise un peu d'algèbre :
- Appelle le nombre x. Donc x = 0,1666…
- Multiplie par 10 pour faire passer le chiffre qui ne se répète pas devant la virgule. 10x = 1,666…
- Multiplie par 100 pour faire passer aussi une répétition complète. 100x = 16,666…
- Soustrais la deuxième ligne de la troisième. Les parties qui se répètent s'annulent. 90x = 15.
- Divise. x = 15/90, qui se simplifie en 1/6.
0,333 est-il égal à 1/3 ?
Non. 0,333 avec exactement trois chiffres vaut 333/1000, ce qui est un tout petit peu moins que 1/3. Seul 0,333…, où les 3 continuent à l'infini, est exactement égal à 1/3. Quand tu écris une écriture décimale périodique, montre qu'elle se répète avec des points de suspension ou un trait au-dessus des chiffres qui se répètent. Sinon, c'est un autre nombre.
Pourquoi 0,999… est-il égal à 1 ?
Cela surprend beaucoup de gens. Pars de 1/3 = 0,333…. Multiplie les deux côtés par 3. À gauche, tu obtiens 3/3, c'est-à-dire 1. À droite, tu obtiens 0,999…. Donc 0,999… = 1. La règle des neufs est d'accord, car 0,999… = 9/9 = 1. Ce n'est pas un nombre juste en dessous de 1, c'est une autre façon d'écrire 1.
Quelles erreurs fait-on en convertissant un nombre décimal en fraction ?
Les erreurs les plus courantes sont de mettre le mauvais nombre de zéros au dénominateur, d'oublier de simplifier, de perdre la partie entière et de traiter un nombre décimal coupé comme s'il se répétait. Chacune est facile à repérer si tu vérifies ta réponse en divisant le numérateur par le dénominateur.
Exemple
Un élève convertit 0,05 et écrit 5/10. Cela fait 0,5, soit dix fois trop. 0,05 a deux chiffres après la virgule, donc il va sur 100. La bonne réponse est 5/100, qui se simplifie en 1/20.
Fais attention à ceci :
- La mauvaise puissance de 10. Compte tous les chiffres après la virgule, y compris les zéros. 0,05 a deux chiffres après la virgule, pas un.
- Ne pas simplifier. 75/100 est correct mais pas terminé. La réponse attendue est 3/4.
- Oublier la partie entière. 3,2 vaut 3 2/10, qui se simplifie en 3 1/5, ou 16/5. Ce n'est pas 2/10.
- Couper une écriture décimale périodique. 0,66 vaut 66/100 = 33/50, alors que 0,666… vaut 2/3.
Quelles fractions donnent une écriture décimale périodique ?
Une fraction sous sa forme la plus simple donne une écriture décimale qui se termine si son dénominateur n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5. Si le dénominateur a un autre facteur premier, comme 3, 7 ou 11, l'écriture décimale se répète à l'infini. C'est un moyen rapide de savoir à quoi s'attendre avant de diviser.
Exemple
Regarde 3/8. Le dénominateur 8 vaut 2 × 2 × 2, donc l'écriture décimale se termine. 3/8 = 0,375. Regarde maintenant 1/6. Le dénominateur 6 vaut 2 × 3, et le 3 signifie que l'écriture décimale se répète. 1/6 = 0,1666…. De la même façon, 1/7 = 0,142857142857…, avec les six chiffres qui se répètent à l'infini, car 7 est un nombre premier différent de 2 et de 5.
Cette règle explique aussi pourquoi les deux méthodes ci-dessus couvrent tous les cas. Les écritures décimales qui se terminent viennent de fractions qui n'ont que des 2 et des 5 au dénominateur, et celles qui se répètent viennent de toutes les autres. Dans les deux cas, un nombre décimal qui se termine ou qui se répète est une fraction déguisée.