Zirkunferentzia goniometrikoa 1 erradioko zirkulu bat da, (0, 0) puntuaren inguruan marraztua. Buruz ikasteko beste taula bat dirudi, baina berez ideia bakar bat da. Ideia hori ikusten duzunean, zirkuluko balio guztiak segundo gutxitan berreraiki ditzakezu, zenbaki-zerrenda luze bat buruz ikasi gabe.
Zer da zirkunferentzia goniometrikoa?
Zirkunferentzia goniometrikoa erradioa zehazki 1 duen eta zentroa jatorrian, (0, 0) puntuan, duen zirkulua da. Angelu bakoitza, x ardatz positibotik erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan neurtuta, zirkuluko puntu batean amaitzen da. Puntu horrek beti (cos θ, sin θ) koordenatuak ditu. Beraz, x koordenatua angeluaren kosinua da, eta y koordenatua sinua.
Adibidea
Har ezazu 30°-ko angelu bat. Marraztu zentrotik lerro bat, x ardatzaren gainetik 30°-ra, zirkulua ukitu arte. Lerroa amaitzen den puntua (√3/2, 1/2) da, gutxi gorabehera (0,866; 0,5). Horrek bi gauza esaten dizkizu aldi berean. 30°-ren kosinua √3/2 da, eta 30°-ren sinua 1/2.
Zirkuluko puntu guztiek x² + y² = 1 ekuazioa ere betetzen dute. Egiaztatu 30°-ko puntuarekin. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Ekuazio hau Pitagorasen teorema da, mozorrotuta, erradioa x eta y aldeak dituen triangelu angeluzuzen baten alde luzea baita.
Zergatik da kosinua x koordenatua eta sinua y koordenatua?
Ikasle askok badakizkite sinuaren, kosinuaren eta tangentearen arrazoiak, baina ez dute ikusten zirkulua non sartzen den. Marraztu triangelu angeluzuzen bat zirkuluaren barruan, erradioa alde luzeena (hipotenusa) dela. Beheko aldea x ardatzean zehar doa, eta alde bertikala zirkuluko punturaino igotzen da.
Kosinua aldameneko katetoa zati hipotenusa da. Zirkunferentzia goniometrikoan hipotenusa 1 da, beraz kosinua beheko aldearen luzera besterik ez da, hau da, x koordenatua. Era berean, sinua aurkako katetoa zati 1 da, hau da, altuera edo y koordenatua. Zirkuluak zatiketa kentzen du, besterik ez.
Zergatik erabiltzen ditu zirkunferentzia goniometrikoak radianak?
Zirkunferentzia goniometrikoak radianak erabiltzen ditu, erradioa 1 denean radianetan neurtutako angelua zehazki zirkuluan zehar egiten duzun arkuaren luzera delako. Bira oso bat 360° da, eta zirkuluaren perimetro osoa 2π. Beraz, 360° 2π radian dira, eta 180° π radian.
Adibidea
Graduak radian bihurtzeko, biderkatu π-rekin eta zatitu 180z. 60°-rako, horrek 60 × π / 180 = π/3 ematen du. Atzera egiteko, biderkatu 180rekin eta zatitu π-z. Beraz, π/4 radian 180 / 4 = 45° dira.
π/8 bezalako angeluek askotan nahasten dituzte ikasleak, ez baitira taula arruntean agertzen. Trikimailua da bira erdiaren zatitan pentsatzea. π bira erdia da, π/4 bira erdi horren laurdena (45°), eta π/8 π/4-ren erdia, hau da, 22,5°. 0 eta 45°-ko puntuaren erdian kokatzen duzu.
Radianak geroago ere garrantzitsuak dira. Kalkuluan, sinuaren eta kosinuaren arauak hain txukun bakarrik betetzen dira angeluak radianetan daudenean. Horregatik aldatzen dira irakasleak radianetara zirkunferentzia goniometrikoa agertu bezain laster.
Nola gogoratu zirkunferentzia goniometrikoa buruz ikasi gabe?
0°, 30°, 45°, 60° eta 90°-ko balioak bakarrik behar dituzu. Zirkuluko gainerako guztia bost horien ispilu-irudia da. Jarraian, horiek berreraikitzeko hiru modu dituzu, eta horietako batek ere ez du hizkuntza bateko esaldi baten mendean. Aukeratu naturalena iruditzen zaizuna.
Berreraiki bi triangelutatik
Moztu karratu bat bere diagonalean zehar, eta 45°-ko bi angelu dituen triangelu angeluzuzen bat lortzen duzu; beraz, bere bi alde laburrak berdinak dira. Egin alde luzea 1, erradioa bezala. Orduan bi alde laburrek x² + y² = 1 bete behar dute, eta x = y denez, bakoitza √2/2 da. Beraz, 45°-ko puntua (√2/2, √2/2) da.
Orain marraztu 2 aldeko triangelu aldeberdin bat eta moztu erditik. 30°, 60° eta 90°-ko angeluak dituen triangelu bat lortzen duzu, 1, √3 eta 2 aldeekin. Zatitu alde guztiak 2z, alde luzea 1 izan dadin. Orain aldeak 1/2, √3/2 eta 1 dira, eta horrek 30°-ko eta 60°-ko puntuak ematen dizkizu.
Erabili erro karratuen eredua
Idatzi 0, 1, 2, 3, 4 zenbakiak 0°, 30°, 45°, 60°, 90° angeluen azpian. Atera zenbaki bakoitzaren erro karratua eta zatitu 2z. Errenkada horrek angelu bakoitzaren sinua ematen dizu. Irakurri errenkada bera atzetik aurrera kosinua lortzeko.
- 0°, 30°, 45°, 60°, 90°-ren sinua: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- Angelu berberen kosinua: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
Kontatu eskuan
Altxatu ezkerreko eskua, ahurra zure aldera begira. Erpuruak 90° adierazten du, gero hatz erakusleak 60°, erdiko hatzak 45°, eraztun-hatzak 30° eta hatz txikiak 0°. Angelu baten balioak aurkitzeko, tolestu bere hatza.
Kontatu tolestutako hatzaren hatz txikiaren aldean dauden hatzak, atera zenbaki horren erro karratua eta zatitu 2z. Horrek sinua ematen du. Erpuruaren aldeko hatzek kosinua ematen dute, modu berean.
30°-rako, tolestu eraztun-hatza. Hatz bat (hatz txikia) dago bere hatz txikiaren aldean, beraz sinua √1/2 = 1/2 da. Hiru hatz daude bere erpuruaren aldean, beraz kosinua √3/2 da.
Metodo bakoitzak bost puntu berberak ematen ditu. Trigonometria-jokoan txanda batzuk eginda, azkar ikusten da sinuaren eta kosinuaren balioak denbora-presio pixka batekin gogoratzen dituzun ala ez. Horrelako praktika labur eta maizak askoz hobeto finkatzen ditu balioak saio luze batek baino.
Zirkunferentzia goniometriko osoa buruz ikasi behar al da?
Ez. Lehen koadrantea (0°-tik 90°-ra) eta hura islatzeko modu fidagarri bat behar dituzu. Azterketa baterako taula osoa buruz ikasten duten ikasleek askotan ahaztu egiten dute aste batzuk geroago. Triangeluak eta islapenak ulertzen dituzten ikasleek edozein unetan berreraiki dezakete, eta hori da geroko gaiek, kalkuluak adibidez, benetan eskatzen dutena.
Nola aldatzen dira zeinuak koadrante bakoitzean?
Zirkuluak lau koadrante ditu. Bakoitzean, koordenatuen tamainak lehen koadranteko angelu batenak dira, eta zeinuak bakarrik aldatzen dira. Lehen koadrantean x eta y positiboak dira biak. Bigarrenean, x negatiboa da. Hirugarrenean, biak dira negatiboak. Laugarrenean, y negatiboa da.
Adibidea
Aurkitu 150°-ko puntua. Bigarren koadrantean dago, 180°-ra iristeko 30° falta zaizkiola. Beraz, 30°-ko puntuaren ispilu-irudia da, y ardatzarekiko. 30°-ko puntua (√3/2, 1/2) da. Islatzean x koordenatua negatibo bihurtzen da, beraz 150°-ko puntua (−√3/2, 1/2) da.
- Lehen koadrantea (0°-tik 90°-ra): x positiboa da, y positiboa da
- Bigarren koadrantea (90°-tik 180°-ra): x negatiboa da, y positiboa da
- Hirugarren koadrantea (180°-tik 270°-ra): x negatiboa da, y negatiboa da
- Laugarren koadrantea (270°-tik 360°-ra): x positiboa da, y negatiboa da
Egiaztatzeko modu azkar bat da puntua grafiko arrunt batean irudikatzea. y ardatzaren ezkerrean egoteak x negatiboa dela esan nahi du, eta x ardatzaren azpian egoteak y negatiboa dela. Ez duzu zerrenda hau buruz ikasi behar, puntua non dagoen irudika badezakezu.
Zer da tangentea zirkunferentzia goniometrikoan?
Angelu baten tangentea y koordenatua zati x koordenatua da, beraz tan θ = sin θ / cos θ. 60°-rako, hori (√3/2) ÷ (1/2) = √3 da, 1,732 inguru. 90°-an eta 270°-an x koordenatua 0 da, eta ezin da 0z zatitu, beraz tangentea ez dago definituta angelu horietan.
Zertarako erabiltzen da zirkunferentzia goniometrikoa?
Zirkunferentzia goniometrikoari esker balio dute sinuak eta kosinuak edozein angelutarako, ez soilik triangelu angeluzuzen baten barruko angeluetarako. Horregatik da errepikatzen edo biratzen den guztiaren oinarria. Soinu-uhinak, argi-uhinak, korronte alternoa, pendulu baten mugimendua eta erloju baten orratzak sinuarekin eta kosinuarekin deskribatzen dira.
Adibidea
Irudikatu puntu bat zirkuluan zehar abiadura konstantean mugitzen. Bere altuera 1eraino igotzen da, −1eraino jaisten da eta berriro itzultzen da, uhin leun batean. Marraztu altuera hori denboraren arabera, eta sinu funtzioaren grafikoa lortzen duzu. Ingeniariek ideia hau bera erabiltzen dute bibrazioak deskribatzeko, eta joko eta animazio garatzaileek pantailako objektuak biratzeko.
Koadrante batek eta bi triangeluk zirkulu osoa ematen dizute
Hona hemen angelu nagusiak, beren koordenatuekin. Erabili zerrenda erreferentzia gisa, baina saiatu errenkada bakoitza triangeluekin edo eskuaren trikimailuarekin berreraikitzen begiratu aurretik.
- 0° (0): (1, 0), tan θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tan θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tan θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tan θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tan θ = definitu gabea
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tan θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tan θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tan θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tan θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tan θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tan θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tan θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tan θ = definitu gabea
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tan θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tan θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tan θ = −√3/3
Errenkada bat zaila egiten bazaizu, itzuli lehen koadrantera, aurkitu dagokion angelua eta erabaki zeinuak koadrantearen arabera. Ohitura bakar horrek zerrenda osoa ordezkatzen du.
Landu hauek hurrena