Ecuación punto-pendiente, qué es y cuándo usarla en lugar de y = mx + n

¿Cómo se escribe la ecuación punto-pendiente de una recta?

Pon la pendiente en lugar de m y las coordenadas de un punto que conozcas en lugar de x₁ e y₁. Deja x e y como letras. Representan todos los demás puntos de la recta. Usa la ecuación punto-pendiente cuando conoces un punto de la recta y su pendiente.

Ejemplo

Escribe la recta que pasa por (2, 3) y tiene pendiente 2.

1. El punto da x₁ = 2 e y₁ = 3.
2. La pendiente da m = 2.
3. Sustituye: y − 3 = 2(x − 2).

Ya está, no hay nada que simplificar. Si quieres asegurarte, comprueba un segundo punto. Desde (2, 3), un paso a la derecha y dos hacia arriba te llevan a (3, 5). Sustituye esos números: a la izquierda, 5 − 3 = 2, y a la derecha, 2(3 − 2) = 2. Coinciden.

Fíjate en que (2, 3) aparece dentro de la propia ecuación. Al dibujar la recta, puedes poner el lápiz primero en ese punto y seguir desde ahí.

¿Cómo se halla la ecuación punto-pendiente a partir de dos puntos?

Calcula primero la pendiente con m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Después toma cualquiera de los dos puntos y sustitúyelo en y − y₁ = m(x − x₁) junto con esa pendiente. Da igual qué punto elijas. Las ecuaciones parecen distintas, pero al simplificarlas las dos describen la misma recta.

Ejemplo

Halla la recta que pasa por (1, −2) y (4, 7).

1. Pendiente: m = (7 − (−2)) : (4 − 1) = 9 : 3 = 3
2. Con (1, −2): y − (−2) = 3(x − 1), es decir, y + 2 = 3(x − 1)
3. Con (4, 7): y − 7 = 3(x − 4)

Si desarrollas cualquiera de las dos, obtienes y = 3x − 5. Conviene saberlo antes de corregir los deberes con el solucionario. Si un alumno usó (4, 7) y el solucionario usó (1, −2), verás dos ecuaciones distintas, y ninguna está mal.

¿Por qué un punto negativo cambia los signos?

La fórmula resta las coordenadas del punto. Si una coordenada es negativa, acabas restando un número negativo, y eso se convierte en una suma. Así, el punto (−4, −1) da y + 1 y x + 4. Escribir los paréntesis completos antes de simplificar es la forma más sencilla de que no se te cuele un signo cambiado.

Ejemplo

Escribe la recta que pasa por (−4, −1) y tiene pendiente 1/2.

1. Con paréntesis: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Simplificada: y + 1 = 1/2(x + 4)

También funciona al revés. Si te dan y + 5 = −2(x − 6), el punto de la recta es (6, −5), no (6, 5). Sea cual sea el signo que ves dentro de la ecuación, la coordenada tiene el contrario.

¿Cómo se pasa de la ecuación punto-pendiente a la explícita?

Desarrolla el paréntesis y pasa el número del lado izquierdo al otro lado para que la y quede sola. Lo que obtienes es la ecuación explícita, y = mx + n. La pendiente no cambia al hacer el paso, y el número que queda solo al final es la ordenada en el origen, el punto donde la recta corta el eje y.

Ejemplo

Pasa y − 3 = 2(x − 2) a forma explícita.

1. Desarrolla el paréntesis: y − 3 = 2x − 4
2. Suma 3 a los dos lados: y = 2x − 1

La pendiente sigue siendo 2, y la recta corta el eje y en (0, −1). Puedes ver ese punto en la gráfica de arriba. Hacerlo al revés es igual de rápido. Toma y = −3x + 5, elige x = 1 y obtienes y = 2. El punto (1, 2) y la pendiente −3 dan y − 2 = −3(x − 1).

¿Qué forma conviene usar?

Usa la forma que encaje con los datos que ya tienes.

• La ecuación punto-pendiente, cuando tienes un punto y la pendiente, o dos puntos.
• La ecuación explícita, cuando quieres leer la pendiente y la ordenada en el origen o dibujar la gráfica.
• La ecuación general, Ax + By + C = 0, cuando necesitas los puntos donde la recta corta los dos ejes.

Muchos profesores quieren la respuesta final en la forma y = mx + n. Nada te impide empezar con la ecuación punto-pendiente y pasarla a explícita al final.

¿De dónde sale la fórmula punto-pendiente?

Es la fórmula de la pendiente, reordenada. Elige un punto fijo (x₁, y₁) de una recta y cualquier otro punto (x, y) de la misma recta. La pendiente entre ellos es m = (y − y₁) : (x − x₁). Multiplica los dos lados por (x − x₁) y tienes y − y₁ = m(x − x₁).

Ejemplo

Sigamos con la recta que pasa por (2, 3) con pendiente 2 y comprobemos el punto (5, 9). La pendiente de (2, 3) a (5, 9) es (9 − 3) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2. Es la misma pendiente, así que (5, 9) está en la recta. La ecuación punto-pendiente dice exactamente eso: 9 − 3 = 2(5 − 2).

El libro de texto gratuito OpenStax Elementary Algebra 2e deduce la fórmula de la misma manera. Después la usa para rectas que pasan por dos puntos y para rectas paralelas y perpendiculares, que es justo lo que veremos en el siguiente apartado.

¿Cómo se usa la ecuación punto-pendiente con rectas paralelas y perpendiculares?

Una recta paralela tiene la misma pendiente que la original. Una recta perpendicular tiene la pendiente inversa y opuesta, así que das la vuelta a la fracción y le cambias el signo. Una pendiente de 2 pasa a ser −1/2, y una pendiente de −3/4 pasa a ser 4/3. Cuando tengas la nueva pendiente, ponla en la ecuación punto-pendiente con el punto que te dan.

Ejemplo

Halla la recta que pasa por (2, 3) y es perpendicular a y = 2x − 1.

1. La pendiente original es 2, o sea, 2/1.
2. Dale la vuelta y cambia el signo: −1/2.
3. Ecuación punto-pendiente: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. Ecuación explícita: y = −1/2x + 4

Comprobación rápida con x = 2: −1/2 · 2 + 4 = 3, que es el valor de y de nuestro punto. Para una paralela que pase por (6, 0), mantén la pendiente 2: y − 0 = 2(x − 6), es decir, y = 2x − 12.

¿Se puede escribir cualquier recta en forma punto-pendiente?

Casi todas. La excepción es la recta vertical. Todos sus puntos tienen el mismo valor de x, así que el avance horizontal es 0, y calcular la pendiente supondría dividir entre cero. Por eso una recta vertical que pasa por (3, 1) se escribe x = 3. Las rectas horizontales no dan ningún problema, porque su pendiente es simplemente 0.

Ejemplo

Toma la recta horizontal que pasa por (1, 4). En forma punto-pendiente queda y − 4 = 0(x − 1). Cero por cualquier número da cero, así que la ecuación se reduce a y − 4 = 0, es decir, y = 4.

¿Cómo se puede practicar la ecuación punto-pendiente?

La soltura con las rectas se consigue viendo muchas. En el juego de funciones lineales luchas respondiendo preguntas sobre rectas. Una ronda puede pedirte la pendiente de (−2, 2) a (0, −6), y si aciertas, tu ataque da en el blanco. Esa sale (−6 − 2) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4.

Pasar de una forma a otra es cada vez una pequeña ecuación. Si es ahí donde te atascas, unas cuantas rondas del juego de ecuaciones te ayudarán. Usarás los mismos pasos cada vez que despejes algo en una fórmula.

La letra de la pendiente también cambia de un país a otro. En España se usa m, como en inglés, pero en otros países verás k o a. Sea cual sea la letra, el número delante del paréntesis es la pendiente, y los números de dentro del paréntesis salen de un punto de la recta.

Un punto y una pendiente fijan la recta

Un solo punto y una pendiente determinan por completo una recta, y la ecuación punto-pendiente lo escribe directamente. Sustituye con cuidado, mantén los paréntesis hasta tener claros los signos y comprueba el resultado con un segundo punto. Después, para llegar a y = mx + n solo te faltan dos pasos cortos.