Ganze Zahlen auf der Zahlengeraden
Auf der Zahlengeraden sind die ganzen Zahlen die gleichmäßig verteilten Punkte, auf denen du landest, wenn du von 0 aus vorwärts oder rückwärts zählst. Zahlen wie 1/2, 3,5 oder √2 liegen in den Lücken dazwischen, deshalb sind sie keine ganzen Zahlen. Hier erfährst du, wie man den Unterschied erkennt, warum die Null dazugehört und wie die Vorzeichenregeln für ganze Zahlen wirklich funktionieren.
Woran erkennt man, ob eine Zahl eine ganze Zahl ist?
Eine Zahl ist eine ganze Zahl, wenn man sie ohne Bruch und ohne Nachkommastellen schreiben kann. Sie kann positiv, negativ oder null sein. Das englischsprachige Lehrbuch OpenStax Prealgebra 2e bringt es auf den Punkt, ganze Zahlen sind die Zahlen zum Zählen, ihre Gegenzahlen und die Null. Also sind 7, −7 und 0 ganze Zahlen, 7,5 dagegen nicht.
Beispiel
Probier diese kurzen Tests aus.
- −12 ist eine ganze Zahl, weil sie die Gegenzahl der natürlichen Zahl 12 ist.
- 0 ist eine ganze Zahl.
- 3,5 ist keine ganze Zahl, weil sie Nachkommastellen hat.
- 1/2 ist keine ganze Zahl.
- 8/2 ist eine ganze Zahl, weil 8/2 = 4.
- √9 ist eine ganze Zahl, weil √9 = 3.
- √2 ist keine ganze Zahl, weil sie ungefähr 1,41 ist.
Die letzten Beispiele zeigen eine nützliche Gewohnheit. Erst den Wert ausrechnen, dann entscheiden. Eine Zahl kann wie ein Bruch oder eine Wurzel aussehen und trotzdem eine ganze Zahl sein.
Ist 0 eine ganze Zahl?
Ja, 0 ist eine ganze Zahl. Sie liegt in der Mitte der Zahlengeraden, zwischen den negativen und den positiven ganzen Zahlen. Die Null ist weder positiv noch negativ, das schreibt auch OpenStax ausdrücklich. Gerade ist sie aber schon, denn 0 = 2 · 0, also lässt sie sich ohne Rest durch 2 teilen.
Sind negative Zahlen ganze Zahlen?
Negative Zahlen sind nur dann ganze Zahlen, wenn sie keinen Bruchanteil und keine Nachkommastellen haben. −5 und −100 sind ganze Zahlen. −2,5 und −3/4 sind negativ, aber keine ganzen Zahlen. Derselbe Test funktioniert für jede Zahl, egal welches Vorzeichen sie hat.
Was ist der Unterschied zwischen natürlichen und ganzen Zahlen?
Die natürlichen Zahlen sind 1, 2, 3 und so weiter, also die Zahlen zum Zählen, ohne negative Zahlen. Die ganzen Zahlen enthalten alle diese Zahlen, dazu die Null und die negativen Zahlen −1, −2, −3 und so weiter. Deshalb ist −4 eine ganze Zahl, aber keine natürliche Zahl. Ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört, wird nicht überall gleich gehandhabt, schau also nach, welche Definition die Schule deines Kindes verwendet.
Beispiel
So passen die wichtigsten Zahlenbereiche ineinander.
- Natürliche Zahlen (ℕ): 1, 2, 3, 4, …
- Natürliche Zahlen mit Null (ℕ₀): 0, 1, 2, 3, 4, …
- Ganze Zahlen (ℤ): …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Rationale Zahlen (ℚ): alle Zahlen, die man als Bruch aus ganzen Zahlen schreiben kann, zum Beispiel 1/2, −3/4 und 7 (das ist 7/1)
In der Mathematik schreibt man die Menge der ganzen Zahlen als ℤ. Der Buchstabe kommt vom deutschen Wort „Zahlen“. Für die natürlichen Zahlen siehst du ℕ. Auch hier gibt es eine kleine Uneinigkeit, denn manche Bücher lassen ℕ bei 0 beginnen und andere bei 1, deshalb schreibt man in der Schule oft ℕ₀, wenn die Null dazugehören soll.
Wo begegnen uns ganze Zahlen im Alltag?
Ganze Zahlen tauchen überall auf, wo man von einem Nullpunkt aus nach oben und nach unten zählt. Temperaturen unter dem Gefrierpunkt, Stockwerke unter der Erde, Tiefen unter dem Meeresspiegel und die Tordifferenz einer Fußballmannschaft sind ganze Zahlen, die negativ sein können. In jedem Fall ist 0 ein Bezugspunkt und nicht „nichts“.
Beispiel
Am Morgen sind es −4 °C, und bis zum Mittag steigt die Temperatur um 7 Grad. Starte bei −4 und zähle 7 Schritte auf der Zahlengeraden nach oben, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Mittags sind es 3 °C, also −4 + 7 = 3.
Im Aufzug ist das Erdgeschoss meist 0, die Tiefgarage liegt vielleicht auf −2, und der fünfte Stock ist 5. Von −2 bis 5 fährst du 7 Stockwerke, denn 5 − (−2) = 7.
Wie addiert und subtrahiert man ganze Zahlen?
Stell dir zum Addieren ganzer Zahlen eine Zahlengerade vor. Addierst du eine positive Zahl, gehst du nach rechts, addierst du eine negative Zahl, gehst du nach links. Subtrahieren ist das Gegenteil von Addieren, deshalb gehst du nach rechts, wenn du eine negative Zahl subtrahierst. Darum wird das Ergebnis größer, wenn man eine negative Zahl abzieht.
Beispiel
Rechne −3 + 5. Starte bei −3 und mach 5 Schritte nach rechts. Du kommst an −2, −1, 0 und 1 vorbei und bleibst bei 2 stehen. Also ist −3 + 5 = 2.
Hier noch ein paar zum Üben.
- −6 + 2 = −4, denn 2 Schritte nach rechts von −6 aus landen auf −4.
- −2 − 5 = −7, denn 5 Schritte nach links von −2 aus landen auf −7.
- 4 − (−3) = 7, denn −3 zu subtrahieren ist dasselbe, wie 3 zu addieren.
Warum wird das Ergebnis größer, wenn man eine negative Zahl subtrahiert?
Subtrahieren bedeutet „Wie groß ist der Unterschied?“. Auf der Zahlengeraden liegen zwischen 4 und −3 genau 7 Schritte, also ist 4 − (−3) = 7. OpenStax schreibt die allgemeine Regel als a − (−b) = a + b. Viele Kinder kommen bei −5 + 4 ins Stocken, weil sie ein Pluszeichen sehen und eine größere Zahl erwarten. Wenn man bei −5 startet und 4 Schritte nach rechts geht, sieht man, dass das Ergebnis −1 ist.
Warum ergibt minus mal minus plus?
Wenn du zwei ganze Zahlen multiplizierst, ist das Ergebnis positiv, wenn die Vorzeichen gleich sind, und negativ, wenn sie verschieden sind. Minus mal minus ergibt plus wegen eines Musters. Jedes Mal, wenn die erste Zahl um 1 kleiner wird, ändert sich das Ergebnis um denselben Betrag, und dieses Muster geht nur weiter, wenn das Ergebnis positiv wird.
Beispiel
Schau, was mit 3 · (−2) passiert, wenn die erste Zahl jedes Mal um 1 kleiner wird.
- 3 · (−2) = −6
- 2 · (−2) = −4
- 1 · (−2) = −2
- 0 · (−2) = 0
- (−1) · (−2) = 2
- (−2) · (−2) = 4
Jedes Ergebnis ist um 2 größer als das vorherige. Damit das Muster über die Null hinaus weitergeht, muss (−1) · (−2) gleich 2 sein. Man kann es sich auch so vorstellen, dass dich das Multiplizieren mit −1 auf der Zahlengeraden umdreht. Drehst du dich zweimal um, schaust du wieder in dieselbe Richtung.
Gilt beim Dividieren dieselbe Vorzeichenregel?
Ja. (−12) : 3 = −4 und (−12) : (−3) = 4, mit derselben Regel für gleiche und verschiedene Vorzeichen. Einen Unterschied gibt es aber. Addieren, Subtrahieren oder Multiplizieren zweier ganzer Zahlen ergibt immer eine ganze Zahl, Dividieren nicht immer. 8 : 2 = 4 ist eine ganze Zahl, 7 : 2 = 3,5 dagegen nicht.
Wie wird man schneller im Rechnen mit ganzen Zahlen?
Schnell wird man mit ganzen Zahlen durch viele kleine Rechnungen, bis man die Zahlengerade im Kopf hat. Im Spiel zu negativen Zahlen ist jeder Angriff eine kurze Rechnung mit negativen Zahlen, so üben Kinder die Vorzeichenregeln, während sie damit beschäftigt sind, den Kampf zu gewinnen.
In der Runde oben ist −17 zu subtrahieren dasselbe, wie 17 zu addieren, also −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.
Den Abstand einer Zahl von der Null nennt man ihren Betrag, der Betrag von −5 ist also 5. Das ist meist das nächste Thema nach den ganzen Zahlen, und das Spiel zum Betrag macht daraus eine Reihe schneller Runden.
Ganze Zahlen erreicht man durch Zählen, vorwärts oder rückwärts
Jede ganze Zahl ist ein Schritt, den du erreichst, wenn du von 0 aus zählst, nach rechts für positive Zahlen und nach links für negative. Die Null liegt in der Mitte und gehört auch dazu. Wenn sich ein Kind diese Zahlengerade vorstellen kann, sind die Regeln fürs Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren keine Regeln zum Auswendiglernen mehr, sondern ergeben einfach Sinn.
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