Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1, gezeichnet um den Punkt (0, 0). Er sieht aus wie noch eine Tabelle, die man auswendig lernen muss, aber eigentlich steckt nur eine einzige Idee dahinter. Sobald du diese Idee siehst, kannst du jeden Wert auf dem Kreis in wenigen Sekunden herleiten, ohne eine lange Liste von Zahlen auswendig zu lernen.
Was ist der Einheitskreis?
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius genau 1 und seinem Mittelpunkt im Ursprung (0, 0). Jeder Winkel, gemessen gegen den Uhrzeigersinn ab der positiven x-Achse, trifft auf einen Punkt des Kreises. Dieser Punkt hat immer die Koordinaten (cos θ, sin θ). Die x-Koordinate ist also der Kosinus des Winkels und die y-Koordinate der Sinus.
Beispiel
Nimm einen Winkel von 30°. Zeichne vom Mittelpunkt aus eine Linie im Winkel von 30° über der x-Achse, bis sie den Kreis trifft. Der Punkt, an dem sie ankommt, ist (√3/2, 1/2), also ungefähr (0,866; 0,5). Das verrät dir zwei Dinge auf einmal. Der Kosinus von 30° ist √3/2 und der Sinus von 30° ist 1/2.
Jeder Punkt auf dem Kreis erfüllt außerdem die Gleichung x² + y² = 1. Prüf das mit dem Punkt für 30°. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Diese Gleichung ist der Satz des Pythagoras in anderer Form, denn der Radius ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten x und y.
Warum ist der Kosinus die x-Koordinate und der Sinus die y-Koordinate?
Viele Lernende kennen Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse, sehen aber nicht, was der Kreis damit zu tun hat. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck in den Kreis, mit dem Radius als längster Seite (der Hypotenuse). Die untere Seite verläuft entlang der x-Achse, und die senkrechte Seite geht hoch bis zum Punkt auf dem Kreis.
Der Kosinus ist die Ankathete geteilt durch die Hypotenuse. Am Einheitskreis ist die Hypotenuse 1, also ist der Kosinus einfach die Länge der unteren Seite, und das ist die x-Koordinate. Genauso ist der Sinus die Gegenkathete geteilt durch 1, also die Höhe oder die y-Koordinate. Der Kreis nimmt dir einfach die Division ab.
Warum verwendet man am Einheitskreis das Bogenmaß?
Am Einheitskreis verwendet man das Bogenmaß, weil bei einem Radius von 1 der Winkel im Bogenmaß genau die Länge des Bogens ist, den du auf dem Kreis zurücklegst. Eine volle Umdrehung sind 360°, und der ganze Umfang des Kreises ist 2π. Also entsprechen 360° genau 2π im Bogenmaß, und 180° entsprechen π.
Beispiel
Um Grad ins Bogenmaß umzurechnen, multiplizierst du mit π und teilst durch 180. Für 60° ergibt das 60 · π / 180 = π/3. Für den Rückweg multiplizierst du mit 180 und teilst durch π. Also ist π/4 im Bogenmaß 180 / 4 = 45°.
Winkel wie π/8 verwirren Lernende oft, weil sie in der üblichen Tabelle nicht vorkommen. Der Trick ist, in Bruchteilen einer halben Umdrehung zu denken. π ist eine halbe Umdrehung, π/4 ist ein Viertel dieser halben Umdrehung (45°), und π/8 ist die Hälfte von π/4, also 22,5°. Du setzt den Punkt genau in die Mitte zwischen 0 und dem Punkt für 45°.
Das Bogenmaß spielt auch später eine Rolle. In der Analysis funktionieren die Regeln für Sinus und Kosinus nur dann so sauber, wenn die Winkel im Bogenmaß angegeben sind. Deshalb wechseln Lehrkräfte zum Bogenmaß, sobald der Einheitskreis auftaucht.
Wie merkt man sich den Einheitskreis, ohne ihn auswendig zu lernen?
Du brauchst nur die Werte für 0°, 30°, 45°, 60° und 90°. Alles andere auf dem Kreis ist ein Spiegelbild dieser fünf. Unten findest du drei Wege, sie herzuleiten, und keiner davon hängt von einem Merksatz in einer bestimmten Sprache ab. Wähle den, der sich für dich am natürlichsten anfühlt.
Aus zwei Dreiecken herleiten
Schneide ein Quadrat entlang seiner Diagonale durch, und du bekommst ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei Winkeln von 45°, also sind seine beiden kurzen Seiten gleich lang. Mach die lange Seite 1 lang, wie den Radius. Die beiden kurzen Seiten müssen dann x² + y² = 1 erfüllen, und mit x = y heißt das, dass jede √2/2 lang ist. Der Punkt für 45° ist also (√2/2, √2/2).
Zeichne jetzt ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 2 und schneide es in der Mitte durch. Du bekommst ein Dreieck mit den Winkeln 30°, 60° und 90° und den Seiten 1, √3 und 2. Teile jede Seite durch 2, damit die lange Seite 1 wird. Die Seiten sind jetzt 1/2, √3/2 und 1, und daraus ergeben sich die Punkte für 30° und 60°.
Das Wurzelmuster nutzen
Schreib die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 unter die Winkel 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Zieh aus jeder Zahl die Wurzel und teile durch 2. Diese Zeile gibt dir den Sinus jedes Winkels. Lies dieselbe Zeile rückwärts, dann hast du den Kosinus.
- Sinus für 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- Kosinus für dieselben Winkel: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
An der Hand abzählen
Halte deine linke Hand hoch, mit der Handfläche zu dir. Dein Daumen steht für 90°, dann dein Zeigefinger für 60°, dein Mittelfinger für 45°, dein Ringfinger für 30° und dein kleiner Finger für 0°. Um die Werte für einen Winkel zu finden, klappst du seinen Finger herunter.
Zähle die Finger auf der Seite des kleinen Fingers neben dem heruntergeklappten Finger, zieh aus dieser Zahl die Wurzel und teile durch 2. Das ergibt den Sinus. Die Finger auf der Daumenseite ergeben auf dieselbe Weise den Kosinus.
Für 30° klappst du den Ringfinger herunter. Auf der Seite des kleinen Fingers ist ein Finger (der kleine Finger), also ist der Sinus √1/2 = 1/2. Auf der Daumenseite sind drei Finger, also ist der Kosinus √3/2.
Jede Methode liefert dieselben fünf Punkte. Ein paar Runden im Trigonometrie-Spiel zeigen schnell, ob du Sinus- und Kosinuswerte auch unter etwas Zeitdruck abrufen kannst. Kurzes, häufiges Üben wie dieses verankert die Werte viel besser als eine lange Sitzung.
Muss man den ganzen Einheitskreis auswendig lernen?
Nein. Du brauchst den ersten Quadranten (0° bis 90°) und einen sicheren Weg, ihn zu spiegeln. Wer die ganze Tabelle für eine Prüfung auswendig lernt, vergisst sie oft ein paar Wochen später wieder. Wer die Dreiecke und die Spiegelungen versteht, kann sie jederzeit neu herleiten, und genau das verlangen spätere Themen wie die Analysis.
Wie ändern sich die Vorzeichen in jedem Quadranten?
Der Kreis hat vier Quadranten. In jedem davon entsprechen die Beträge der Koordinaten einem Winkel aus dem ersten Quadranten, und nur die Vorzeichen ändern sich. Im ersten Quadranten sind x und y beide positiv. Im zweiten ist x negativ. Im dritten sind beide negativ. Im vierten ist y negativ.
Beispiel
Finde den Punkt für 150°. Er liegt im zweiten Quadranten, 30° vor 180°. Er ist also das Spiegelbild des Punktes für 30° an der y-Achse. Der Punkt für 30° ist (√3/2, 1/2). Durch das Spiegeln wird die x-Koordinate negativ, also ist der Punkt für 150° (−√3/2, 1/2).
- Erster Quadrant (0° bis 90°): x ist positiv, y ist positiv
- Zweiter Quadrant (90° bis 180°): x ist negativ, y ist positiv
- Dritter Quadrant (180° bis 270°): x ist negativ, y ist negativ
- Vierter Quadrant (270° bis 360°): x ist positiv, y ist negativ
Zur schnellen Kontrolle stellst du dir den Punkt in einem normalen Koordinatensystem vor. Links von der y-Achse heißt, x ist negativ, und unterhalb der x-Achse heißt, y ist negativ. Diese Liste musst du nicht auswendig lernen, wenn du dir vorstellen kannst, wo der Punkt liegt.
Was ist der Tangens am Einheitskreis?
Der Tangens eines Winkels ist die y-Koordinate geteilt durch die x-Koordinate, also tan θ = sin θ / cos θ. Für 60° ist das (√3/2) : (1/2) = √3, ungefähr 1,732. Bei 90° und 270° ist die x-Koordinate 0, und durch 0 kann man nicht teilen, deshalb ist der Tangens bei diesen Winkeln nicht definiert.
Wofür braucht man den Einheitskreis?
Der Einheitskreis ist der Grund, warum Sinus und Kosinus für jeden Winkel funktionieren und nicht nur für die Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck. Damit ist er die Grundlage für alles, was sich wiederholt oder dreht. Schallwellen, Lichtwellen, Wechselstrom, die Bewegung eines Pendels und die Zeiger einer Uhr werden alle mit Sinus und Kosinus beschrieben.
Beispiel
Stell dir einen Punkt vor, der mit gleichmäßiger Geschwindigkeit um den Kreis läuft. Seine Höhe steigt bis 1, sinkt bis −1 und steigt wieder, in einer gleichmäßigen Welle. Trägst du diese Höhe gegen die Zeit auf, bekommst du den Graphen der Sinusfunktion. Ingenieurinnen und Ingenieure nutzen genau diese Idee, um Schwingungen zu beschreiben, und Entwickler von Spielen und Animationen nutzen sie, um Objekte auf dem Bildschirm zu drehen.
Ein Quadrant und zwei Dreiecke ergeben den ganzen Kreis
Hier sind die wichtigsten Winkel mit ihren Koordinaten. Nutze die Liste zum Nachschlagen, aber versuche, jede Zeile mit den Dreiecken oder dem Handtrick herzuleiten, bevor du hinschaust.
- 0° (0): (1, 0), tan θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tan θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tan θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tan θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tan θ = nicht definiert
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tan θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tan θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tan θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tan θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tan θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tan θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tan θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tan θ = nicht definiert
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tan θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tan θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tan θ = −√3/3
Wenn dir eine Zeile schwerfällt, geh zurück in den ersten Quadranten, such den passenden Winkel und bestimme die Vorzeichen anhand des Quadranten. Diese eine Gewohnheit ersetzt die ganze Liste.
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