Punkt vor Strich, Klammer zuerst und die Regel hinter PEMDAS

Wie rechnest du Schritt für Schritt mit Klammer zuerst und Punkt vor Strich?

Mit Klammer zuerst und Punkt vor Strich gehst du eine Rechnung in vier Durchgängen durch. Zuerst rechnest du aus, was in Klammern steht, dann die Potenzen, dann Mal und Geteilt von links nach rechts und ganz zum Schluss Plus und Minus von links nach rechts. Schreib nach jedem Durchgang die ganze Zeile neu auf, dann findest du einen Fehler später schnell.

Beispiel

Berechne 3 + 4 · (6 − 2)² : 8.

1. Klammern: 6 − 2 = 4, übrig bleibt 3 + 4 · 4² : 8
2. Potenzen: 4² = 16, übrig bleibt 3 + 4 · 16 : 8
3. Mal und Geteilt, von links nach rechts: 4 · 16 = 64, dann 64 : 8 = 8, übrig bleibt 3 + 8
4. Plus und Minus: 3 + 8 = 11

Die Zeile noch einmal abzuschreiben, fühlt sich langsam an. Trotzdem schützt nichts besser vor Fehlern. Ein typischer Patzer ist, gleich am Anfang die 3 und die 4 zu addieren. Das ergibt 7, und das Endergebnis ist falsch.

Kommt bei PEMDAS Mal vor Geteilt?

Nein. Mal und Geteilt stehen auf derselben Stufe, genauso wie Plus und Minus. Innerhalb jedes Paares rechnest du einfach von links nach rechts. PEMDAS nennt das M nur deshalb vor dem D, weil ein Wort seine Buchstaben nun mal in irgendeine Reihenfolge bringen muss. Die Buchstaben als feste Rangfolge zu lesen, ist einer der häufigsten Fehler bei der Rechenreihenfolge.

Beispiel

Berechne 24 : 4 · 2.

1. Von links kommt zuerst die Division: 24 : 4 = 6
2. Dann die Multiplikation: 6 · 2 = 12

Wer zuerst multipliziert, bekommt 24 : 8 = 3, und das ist falsch. Bei Plus und Minus ist es genauso. In 10 − 4 + 3 ergibt sich von links nach rechts 6 + 3 = 9. Wer zuerst addiert, bekommt 10 − 7 = 3, ebenfalls falsch.

Das kostenlose Lehrbuch OpenStax Prealgebra 2e sagt es ganz klar. Multiplikation und Division werden der Reihe nach von links nach rechts gerechnet, weil sie gleichrangig sind. Viele Erwachsene haben dieses Detail aus der Schule vergessen, und genau das steckt hinter vielen Streitereien über Matherätsel im Netz.

Was ist der Unterschied zwischen PEMDAS, BODMAS und BIDMAS?

An den Regeln ändert sich nichts, nur an den Wörtern. PEMDAS beginnt mit P für parentheses, BODMAS und BIDMAS beginnen mit B für brackets, beides englische Wörter für Klammern. E (exponents), O (orders) und I (indices) stehen alle für Potenzen und Wurzeln. Jede Version stellt Mal und Geteilt auf eine Stufe und Plus und Minus auf die nächste.

Beispiel

Berechne 2 + 3 · 4² und denk dabei an jede Version.

1. Zuerst die Potenz: 4² = 16
2. Dann die Multiplikation: 3 · 16 = 48
3. Dann die Addition: 2 + 48 = 50

BODMAS schreibt zufällig D vor M, PEMDAS dagegen M vor D. Beide ergeben hier 50, und die beiden Versionen liefern bei jeder Rechnung dasselbe Ergebnis. Wenn die Reihenfolge der Buchstaben immer wieder verwirrt, hilft es, die Regel als vier Stufen statt sechs Buchstaben aufzuschreiben: Klammern, Potenzen, Mal oder Geteilt, Plus oder Minus.

Warum gibt es überhaupt Punkt vor Strich?

Ohne vereinbarte Reihenfolge könnte eine Zeile wie 2 + 3 · 4 zwei verschiedene Dinge bedeuten. Rechnest du zuerst plus, kommt 20 heraus. Rechnest du zuerst mal, kommt 14 heraus. Die Konvention sagt, dass die Multiplikation zuerst kommt, also ist die Antwort 14. Der Sinn der Regel ist einfach, dass alle, die dieselbe Rechnung lesen, auf dasselbe Ergebnis kommen.

Beispiel

Eine Freundin kauft 3 Hefte zu je 4 Münzen und einen Stift für 2 Münzen. Insgesamt sind das 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 Münzen. Wer zuerst addiert, bekommt 5 · 4 = 20, als hätte sie den Stift viermal gekauft.

Die Konvention ist viel älter als die Abkürzungen. Laut MacTutor, dem Archiv zur Mathematikgeschichte der University of St Andrews, galt Multiplikation vor Addition und Subtraktion schon in den ersten Büchern der symbolischen Algebra im 16. Jahrhundert. Dieselbe Seite zitiert einen Historiker, der Ende der 1920er-Jahre schrieb, es gebe immer noch keine Einigkeit darüber, ob ÷ oder × zuerst kommen sollte.

Was ergibt 8 ÷ 2(2 + 2)?

Wenn du die Rechenregeln so anwendest, wie sie in der Schule gelehrt werden, ergibt 8 ÷ 2(2 + 2) das Ergebnis 16. Im Schulheft steht dafür meist 8 : 2(2 + 2). Die Klammer kommt zuerst und ergibt 4. Die 2 direkt vor der Klammer bedeutet Mal, und Geteilt und Mal gehen von links nach rechts, also 8 : 2 · 4 = 4 · 4 = 16.

Beispiel

Hier sind die beiden Lesarten nebeneinander.

1. Von links nach rechts: 8 : 2 · 4 = 4 · 4 = 16
2. Mit 2(2 + 2) als einem Block: 8 : (2 · 4) = 8 : 8 = 1

Das eigentliche Problem ist, wie die Rechnung geschrieben ist. Eine Notiz auf der Website des Mathematik-Instituts in Berkeley weist darauf hin, dass es für solche Ausdrücke keine einheitliche Konvention gibt, weil eine Zahl direkt an einer Klammer nahelegt, dass beide zusammengehören. Mathematiker umgehen den ganzen Streit mit zusätzlichen Klammern: (8 : 2)(2 + 2) oder 8 : (2(2 + 2)).

Ein Bruchstrich fasst genauso zusammen. Steht 6 + 4 über einem Bruchstrich und 2 darunter, addierst du zuerst, die Antwort ist also 10 : 2 = 5.

Welche Fehler passieren bei Punkt vor Strich am häufigsten?

Die meisten Fehler entstehen, wenn man die Abkürzung als sechs getrennte Schritte in fester Reihenfolge liest. Dann wird vor dem Teilen multipliziert oder vor dem Subtrahieren addiert. Andere Patzer sind, zu vergessen, dass ein Bruchstrich zusammenfasst, was darüber und darunter steht, und eine negative Zahl ohne ihre Klammer zu quadrieren. Wenn du die Zeile nach jedem Schritt neu schreibst, fallen dir die meisten davon auf.

Die Fehler, die immer wieder passieren

• Multiplizieren vor dem Dividieren. Bei 24 : 4 · 2 gehst du von links nach rechts: 6 · 2 = 12.
• Addieren vor dem Subtrahieren. Bei 10 − 4 + 3 gehst du von links nach rechts: 6 + 3 = 9.
• Eine negative Zahl quadrieren. −3² bedeutet −(3²) = −9, aber (−3)² = 9. Die Klammer entscheidet, ob das Minuszeichen mitquadriert wird.
• Mit der äußeren Klammer anfangen. Bei 2 · [5 + (3 − 1)²] beginnst du innen: 3 − 1 = 2, dann 2² = 4, dann 5 + 4 = 9 und schließlich 2 · 9 = 18.
• Den Bruchstrich übersehen. Rechne zuerst Zähler und Nenner jeweils für sich aus und teile dann.

Wie kannst du Punkt vor Strich üben?

Kurze, häufige Rechnungen sind der beste Weg, diese Regel zu üben. Im Spiel zur Rechenreihenfolge ist jeder Angriff eine gemischte Rechnung wie (5 + 3) · 7. Du rechnest die Klammer aus, multiplizierst und tippst 56 ein, damit dein Angriff sitzt.

Potenzen bremsen viele aus, vor allem mit negativen Zahlen. Wenn du dort hängen bleibst, probier zuerst das Spiel zu Potenzen. Danach lassen sich längere Rechnungen mit Potenzen leichter lösen.

Der Name der Regel hängt davon ab, wo man sie lernt. In den USA heißt sie PEMDAS, in Großbritannien BODMAS oder BIDMAS. Im deutschsprachigen Raum sagt man Klammer zuerst und Punkt vor Strich, aber die Regel dahinter ist überall dieselbe.

Eine gemeinsame Regel sorgt dafür, dass alle dasselbe Ergebnis bekommen

Die Rechenreihenfolge ist eine Vereinbarung, kein Naturgesetz, und sie funktioniert nur, weil sich alle an dieselbe halten. Erst die Klammern, dann die Potenzen, dann Mal und Geteilt von links nach rechts, dann Plus und Minus von links nach rechts. Wenn sich eine Rechnung immer noch auf zwei Arten lesen lässt, setz Klammern, und der Streit ist vorbei.