Ist 1 eine Primzahl? Was Primzahlen sind und wie du sie schnell erkennst

Was ist eine Primzahl?

Ist 1 eine Primzahl? Nein. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei verschiedenen Teilern: 1 und der Zahl selbst. Zum Beispiel ist 7 eine Primzahl, denn nur 1 und 7 teilen sie ohne Rest. Die Zahl 1 hat nur einen einzigen Teiler, also erfüllt sie diese Regel nicht. Sie ist aber auch keine zusammengesetzte Zahl. Damit steht 1 in einer Gruppe ganz für sich.

Ist 1 eine Primzahl?

Nein, 1 ist keine Primzahl. Eine Primzahl braucht genau zwei verschiedene Teiler, und 1 hat nur einen. Sie ist auch keine zusammengesetzte Zahl, denn zusammengesetzte Zahlen haben mehr als zwei Teiler. Deshalb zählt die Mathematik 1 weder zu den Primzahlen noch zu den zusammengesetzten Zahlen. Die kleinste Primzahl ist 2, mit den Teilern 1 und 2.

Beispiel

Hier siehst du die Teiler der Zahlen 1 bis 6.

• 1 hat einen Teiler (1), also ist sie weder Primzahl noch zusammengesetzt.
• 2 hat zwei Teiler (1 und 2), also ist sie eine Primzahl.
• 3 hat zwei Teiler (1 und 3), also ist sie eine Primzahl.
• 4 hat drei Teiler (1, 2 und 4), also ist sie zusammengesetzt.
• 5 hat zwei Teiler (1 und 5), also ist sie eine Primzahl.
• 6 hat vier Teiler (1, 2, 3 und 6), also ist sie zusammengesetzt.

Nur 1 hat einen einzigen Teiler. Jede Primzahl hat genau zwei, und jede zusammengesetzte Zahl hat drei oder mehr.

Mit Punkten sichtbar machen

Probier das mit Punkten auf Papier oder mit kleinen Gegenständen wie Knöpfen aus. Sechs Punkte kannst du als Rechteck aus 2 Reihen mit je 3 legen, also ist 6 zusammengesetzt. Sieben Punkte ergeben immer nur eine einzige Reihe mit 7, egal wie du es versuchst, also ist 7 eine Primzahl. Mit einem Punkt gibt es gar nichts anzuordnen. Auch daran siehst du, dass sich 1 anders verhält.

Warum so viele Leute denken, 1 sei eine Primzahl

Viele von uns haben gelernt, eine Primzahl sei eine Zahl, die "nur durch 1 und sich selbst teilbar" ist. Nach dieser Formulierung scheint 1 dazuzugehören. Der Haken: 1 und "sich selbst" sind hier dieselbe Zahl. Das ergibt einen Teiler, nicht zwei. Deshalb sagen genaue Definitionen: genau zwei verschiedene Teiler. Oder sie sagen "eine natürliche Zahl größer als 1", die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

Vielleicht liest du auch im Internet, 1 sei "früher eine Primzahl gewesen". Die echte Geschichte ist gemischter. Die Mathematiker im antiken Griechenland sahen 1 gar nicht als Zahl an, und spätere Mathematiker waren sich darüber uneinig. Wie Scientific American in seiner Geschichte dieser Frage erklärt, führte der britische Mathematiker G. H. Hardy 1 in frühen Auflagen seines Lehrbuchs noch als Primzahl und änderte das 1938. Heute sind sich Mathematiker einig, dass 1 keine Primzahl ist.

Auch Erwachsene, die jahrelang Mathe gelernt haben, zögern hier manchmal. Wenn dein Kind 1 eine Primzahl genannt hat und die Antwort als falsch markiert wurde, war der Gedanke nicht dumm. Der Regel, an die es sich erinnert hat, fehlte einfach ein kleines Detail.

Ist 2 eine Primzahl?

Ja. Die Zahl 2 ist die kleinste Primzahl und die einzige gerade. Jede andere gerade Zahl ist durch 2 teilbar und hat deshalb mindestens drei Teiler (1, 2 und sich selbst). Nach der 2 ist also jede Primzahl ungerade, auch wenn viele ungerade Zahlen zusammengesetzt sind.

Ist 0 eine Primzahl?

Nein. Null ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl. Jede natürliche Zahl außer 0 teilt 0 ohne Rest, also hat 0 viel mehr als zwei Teiler. Die Begriffe Primzahl und zusammengesetzte Zahl gibt es nur für natürliche Zahlen größer als 1. Damit liegen 0 und 1 beide außerhalb dieser zwei Gruppen.

Wie erkennst du schnell, ob eine Zahl eine Primzahl ist?

Teile die Zahl nur durch kleine Primzahlen, angefangen mit 2, 3, 5 und 7. Du kannst aufhören, sobald die Primzahl, die du testest, mal sich selbst größer ist als deine Zahl. Wenn keine dieser Primzahlen ohne Rest teilt, ist die Zahl eine Primzahl. Für jede Zahl unter 100 reicht es, 2, 3, 5 und 7 zu testen.

Beispiel

Ist 91 eine Primzahl?

1. Sie ist ungerade, also teilt 2 sie nicht.
2. Ihre Quersumme ist 9 + 1 = 10. Das ist kein Vielfaches von 3, also teilt 3 sie nicht.
3. Sie endet nicht auf 0 oder 5, also teilt 5 sie nicht.
4. Probier 7. Weil 7 × 13 = 91 ist, ist 91 keine Primzahl.

Ist 97 eine Primzahl? Sie ist ungerade, ihre Quersumme ist 16, und sie endet nicht auf 0 oder 5. Die Division ergibt 97 ÷ 7 = 13 Rest 6. Die nächste Primzahl ist 11, und 11 × 11 = 121 ist schon größer als 97. Dort kannst du aufhören, also ist 97 eine Primzahl.

Warum du früh aufhören kannst

Teiler kommen in Paaren. Für 36 sind die Paare 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 und 6 × 6. In jedem Paar ist ein Teiler 6 oder kleiner, denn 6 × 6 = 36. Wenn du also bis dahin keinen Teiler findest, gibt es auch danach keinen.

Die schnellen Filter

• Endet eine Zahl auf 0, 2, 4, 6 oder 8, ist sie durch 2 teilbar. Nur 2 selbst ist eine Primzahl.
• Ist die Quersumme ein Vielfaches von 3, ist die Zahl durch 3 teilbar. Nur 3 selbst ist eine Primzahl.
• Endet eine Zahl auf 0 oder 5, ist sie durch 5 teilbar. Nur 5 selbst ist eine Primzahl.
• Bei 7 teilst du einfach.

Tempo kommt davon, viele Zahlen zu sehen. Sobald dir die Filter vertraut sind, machen ein paar Runden Primzahlen erkennen gegen die Uhr in Math Max sie zur Gewohnheit, denn jede richtige Antwort ist ein Angriff auf den anderen Kämpfer. Es läuft kostenlos im Browser, du musst also nichts installieren.

Welche Zahlen sehen wie Primzahlen aus, sind aber keine?

Die klassischen Fallen sind 51, 57 und 91. Sie sind ungerade, enden nicht auf 5 und fühlen sich wie Primzahlen an. Aber 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 und 91 = 7 × 13. Die meisten Fallenzahlen fängst du mit der Quersummenregel für 3 oder mit einer schnellen Division durch 7.

Beispiel

• 39 = 3 × 13. Die Quersumme ist 12, ein Vielfaches von 3.
• 51 = 3 × 17. Die Quersumme ist 6, ein Vielfaches von 3.
• 57 = 3 × 19. Die Quersumme ist 12, ein Vielfaches von 3.
• 87 = 3 × 29. Die Quersumme ist 15, ein Vielfaches von 3.
• 91 = 7 × 13. Die Division durch 7 entlarvt sie.
• 119 = 7 × 17. Die Division durch 7 entlarvt sie.
• 133 = 7 × 19. Die Division durch 7 entlarvt sie.

Selbst Profis tappen in die Falle

Die Zahl 57 wird scherzhaft Grothendieck-Primzahl genannt. Der Name geht auf eine Geschichte zurück, nach der der berühmte Mathematiker Alexander Grothendieck sie einmal als Beispiel für eine Primzahl benutzt hat.

Als der Mathe-Blog The Aperiodical die Ergebnisse eines Online-Spiels "Is this prime?" ("Ist das eine Primzahl?") auswertete, wurde 51 sogar noch öfter für eine Primzahl gehalten als 57. Viele Spieler hielten auch 39 für eine Primzahl. Die Primzahl, die am häufigsten fälschlich für zusammengesetzt gehalten wurde, war 59. Die Fehler gehen also in beide Richtungen.

Zwei falsche Abkürzungen verursachen die meisten dieser Patzer. Die eine lautet "ungerade Zahlen sind Primzahlen", und 9, 15 und 21 widerlegen das. Die andere lautet "Zahlen, die auf 1, 3, 7 oder 9 enden, sind Primzahlen". Diese Endziffern schließen aber nur 2 und 5 als Teiler aus.

Primzahlen bis 100

Im Zweifel prüfst du mit der Liste. Es gibt 25 Primzahlen unter 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 und 97.

Die Liste endet nie, denn der antike griechische Mathematiker Euklid hat bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Zwei verschiedene Teiler sind die ganze Regel

Eine Primzahl braucht genau zwei verschiedene Teiler, und 1 hat nur einen, also ist 1 keine Primzahl. Dieselbe Regel erklärt, warum 2 eine Primzahl ist und 0 nicht. Um eine Zahl schnell zu prüfen, testest du kleine Primzahlen, hörst bei der Quadratwurzel auf und achtest auf Fallen wie 51 und 91.