Hvad er hele tal? En enkel forklaring med eksempler

Hele tal på tallinjen

På en tallinje er de hele tal de punkter med lige stor afstand, som du lander på, når du tæller frem eller tilbage fra 0. Tal som 1/2, 3,5 eller √2 ligger i mellemrummene, så de er ikke hele tal. Her kan du se, hvordan du kender forskel, hvorfor nul tæller med, og hvordan fortegnsreglerne for hele tal egentlig virker.

Hvordan ved man, om et tal er et helt tal?

Et tal er et helt tal, hvis du kan skrive det uden brøk og uden decimaler. Det kan være positivt, negativt eller nul. Den engelsksprogede lærebog OpenStax Prealgebra 2e siger det enkelt, hele tal er de tal, man tæller med, deres modsatte tal og nul. Så 7, −7 og 0 er hele tal, men 7,5 er ikke.

Eksempel

Prøv disse hurtige tjek.

• −12 er et helt tal, fordi det er det modsatte tal af 12.
• 0 er et helt tal.
• 3,5 er ikke et helt tal, fordi det har decimaler.
• 1/2 er ikke et helt tal.
• 8/2 er et helt tal, fordi 8/2 = 4.
• √9 er et helt tal, fordi √9 = 3.
• √2 er ikke et helt tal, fordi det er cirka 1,41.

De sidste eksempler viser en god vane. Regn først værdien ud, og afgør det bagefter. Et tal kan ligne en brøk eller en kvadratrod og alligevel vise sig at være et helt tal.

Er 0 et helt tal?

Ja, 0 er et helt tal. Det ligger midt på tallinjen mellem de negative og de positive hele tal. Nul er hverken positivt eller negativt, hvilket OpenStax også skriver direkte. Til gengæld er nul et lige tal, fordi 0 = 2 · 0, så det kan deles med 2 uden rest.

Er negative tal hele tal?

Negative tal er kun hele tal, når de ikke har nogen brøkdel eller decimaler. −5 og −100 er hele tal. −2,5 og −3/4 er negative, men de er ikke hele tal. Den samme test virker for alle tal, uanset fortegn.

Hvad er forskellen på naturlige tal og hele tal?

I de fleste danske matematikbøger er de naturlige tal 1, 2, 3 og så videre, altså de tal, man tæller med. De hele tal omfatter dem alle sammen plus nul og de negative tal −1, −2, −3 og så videre. Så −4 er et helt tal, men ikke et naturligt tal. Nogle bøger regner også 0 med til de naturlige tal, så tjek hvilken definition dit barns skole bruger.

Eksempel

Sådan passer de vigtigste talmængder ind i hinanden.

• Naturlige tal (ℕ): 1, 2, 3, 4, …
• Naturlige tal med nul: 0, 1, 2, 3, 4, …
• Hele tal (ℤ): …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
• Rationale tal: alle tal, der kan skrives som en brøk af hele tal, fx 1/2, −3/4 og 7 (som er 7/1)

Matematikere skriver mængden af hele tal som ℤ. Bogstavet kommer fra det tyske ord Zahlen, der betyder »tal«. Du ser også ℕ for de naturlige tal. Selv her er der lidt uenighed, fordi nogle bøger starter dem ved 0 og andre ved 1.

Hvor møder man hele tal i hverdagen?

Hele tal dukker op, hver gang man tæller op og ned fra et nulpunkt. Temperaturer under frysepunktet, etager under jorden, dybder under havoverfladen og et fodboldholds måldifference er alle hele tal, der kan være negative. I alle tilfælde er 0 et referencepunkt og ikke »ingenting«.

Eksempel

Om morgenen er det −4 °C, og frem til frokost stiger temperaturen 7 grader. Start ved −4 og tæl 7 trin op ad tallinjen, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Ved frokosttid er det 3 °C, så −4 + 7 = 3.

I en elevator er stueetagen ofte 0, parkeringskælderen kan være −2, og 5. sal er 5. At køre fra −2 til 5 betyder at køre 7 etager, fordi 5 − (−2) = 7.

Hvordan lægger man hele tal sammen og trækker dem fra?

Forestil dig en tallinje, når du lægger hele tal sammen. Lægger du et positivt tal til, går du til højre, og lægger du et negativt tal til, går du til venstre. At trække fra er det modsatte af at lægge til, så når du trækker et negativt tal fra, går du til højre. Derfor giver det et større resultat at trække et negativt tal fra.

Eksempel

Regn −3 + 5 ud. Start ved −3 og tag 5 skridt til højre. Du passerer −2, −1, 0 og 1 og stopper ved 2. Så −3 + 5 = 2.

Her er et par stykker mere at prøve.

• −6 + 2 = −4, fordi 2 skridt til højre fra −6 lander på −4.
• −2 − 5 = −7, fordi 5 skridt til venstre fra −2 lander på −7.
• 4 − (−3) = 7, fordi det at trække −3 fra er det samme som at lægge 3 til.

Hvorfor bliver resultatet større, når man trækker et negativt tal fra?

At trække fra betyder »hvor stor er forskellen?«. Forskellen mellem 4 og −3 på tallinjen er 7 skridt, så 4 − (−3) = 7. OpenStax skriver den generelle regel som a − (−b) = a + b. Mange børn går i stå ved −5 + 4, fordi de ser et plustegn og forventer et større tal. Starter man ved −5 og går 4 skridt til højre, kan man se, at resultatet er −1.

Hvorfor giver minus gange minus plus?

Når du ganger to hele tal, er resultatet positivt, hvis fortegnene er ens, og negativt, hvis de er forskellige. Minus gange minus giver plus på grund af et mønster. Hver gang det første tal bliver 1 mindre, ændrer resultatet sig lige meget, og mønsteret fortsætter kun, hvis resultatet bliver positivt.

Eksempel

Se, hvad der sker med 3 · (−2), når det første tal bliver 1 mindre hver gang.

• 3 · (−2) = −6
• 2 · (−2) = −4
• 1 · (−2) = −2
• 0 · (−2) = 0
• (−1) · (−2) = 2
• (−2) · (−2) = 4

Hvert resultat er 2 større end det forrige. For at mønsteret kan fortsætte forbi nul, skal (−1) · (−2) være 2. Man kan også forestille sig, at det at gange med −1 vender dig om på tallinjen. Vender du dig om to gange, kigger du samme vej igen.

Gælder samme fortegnsregel ved division?

Ja. (−12) : 3 = −4 og (−12) : (−3) = 4, med samme regel om ens fortegn. Der er dog én forskel. Når man lægger sammen, trækker fra eller ganger to hele tal, får man altid et helt tal, men det gør man ikke altid ved division. 8 : 2 = 4 er et helt tal, mens 7 : 2 = 3,5 ikke er.

Hvordan bliver man hurtigere til hele tal?

Man bliver hurtig til hele tal ved at regne masser af små opgaver, indtil tallinjen sidder i hovedet. I spillet med negative tal er hvert angreb en hurtig udregning med negative tal, så børn øver fortegnsreglerne, mens de har travlt med at vinde kampen.

I runden ovenfor er det at trække −17 fra det samme som at lægge 17 til, så −1 − (−17) = −1 + 17 = 16.

Et tals afstand til nul kaldes dets numeriske værdi, så den numeriske værdi af −5 er 5. Det er det næste emne, de fleste møder efter hele tal, og spillet om numerisk værdi gør det til en række hurtige runder.

Hele tal er de tal, du kan tælle dig frem til, forlæns eller baglæns

Ethvert helt tal er et trin, du kan nå ved at tælle fra 0, til højre for positive tal og til venstre for negative. Nul ligger i midten og hører også med. Hvis et barn kan se tallinjen for sig, holder reglerne for at lægge sammen, trække fra og gange op med at være regler, man skal huske udenad, og begynder at give mening.