La circumferència goniomètrica és una circumferència de radi 1 dibuixada al voltant del punt (0, 0). Sembla una taula més per aprendre de memòria, però en realitat és una sola idea. Quan veus aquesta idea, pots refer qualsevol valor de la circumferència en pocs segons, sense memoritzar una llarga llista de nombres.
Què és la circumferència goniomètrica?
La circumferència goniomètrica és una circumferència de radi exactament 1 amb el centre a l'origen (0, 0). Cada angle, mesurat en sentit antihorari a partir de la part positiva de l'eix x, cau en un punt de la circumferència. Aquest punt sempre té les coordenades (cos θ, sin θ). Per tant, la coordenada x és el cosinus de l'angle i la coordenada y és el sinus.
Exemple
Pren un angle de 30°. Traça una línia des del centre a 30° per sobre de l'eix x fins que toqui la circumferència. El punt on arriba és (√3/2, 1/2), que és aproximadament (0,866; 0,5). Això et diu dues coses alhora. El cosinus de 30° és √3/2 i el sinus de 30° és 1/2.
Cada punt de la circumferència també compleix l'equació x² + y² = 1. Comprova-ho amb el punt de 30°. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Aquesta equació és el teorema de Pitàgores disfressat, perquè el radi és el costat llarg d'un triangle rectangle de costats x i y.
Per què el cosinus és la coordenada x i el sinus la coordenada y?
Molts alumnes coneixen les raons sinus, cosinus i tangent, però no veuen on hi entra la circumferència. Dibuixa un triangle rectangle dins la circumferència, amb el radi com a costat més llarg (la hipotenusa). El costat de baix va al llarg de l'eix x i el costat vertical puja fins al punt de la circumferència.
El cosinus és el catet contigu dividit per la hipotenusa. A la circumferència goniomètrica la hipotenusa val 1, així que el cosinus és simplement la longitud del costat de baix, que és la coordenada x. De la mateixa manera, el sinus és el catet oposat dividit per 1, que és l'altura, o sigui la coordenada y. La circumferència simplement elimina la divisió.
Per què la circumferència goniomètrica fa servir radiants?
La circumferència goniomètrica fa servir radiants perquè, amb un radi d'1, l'angle en radiants és exactament la longitud de l'arc que recorres sobre la circumferència. Una volta sencera són 360°, i la longitud total de la circumferència és 2π. Per tant, 360° són 2π radiants, i 180° són π radiants.
Exemple
Per passar de graus a radiants, multiplica per π i divideix per 180. Per a 60°, això dona 60 × π / 180 = π/3. Per tornar enrere, multiplica per 180 i divideix per π. Així, π/4 radiants són 180 / 4 = 45°.
Angles com π/8 sovint confonen els alumnes perquè no surten a la taula habitual. El truc és pensar en fraccions de mitja volta. π és mitja volta, π/4 és un quart d'aquesta mitja volta (45°), i π/8 és la meitat de π/4, que són 22,5°. El situes a mig camí entre 0 i el punt de 45°.
Els radiants també són importants més endavant. En càlcul, les regles del sinus i el cosinus només funcionen d'una manera tan neta quan els angles estan en radiants. Per això els professors passen als radiants tan bon punt apareix la circumferència goniomètrica.
Com es pot recordar la circumferència goniomètrica sense memoritzar-la?
Només et calen els valors de 0°, 30°, 45°, 60° i 90°. Tota la resta de la circumferència és una imatge reflectida d'aquests cinc. A continuació tens tres maneres de refer-los, i cap no depèn d'una frase en un idioma concret. Tria la que et resulti més natural.
Refer-la a partir de dos triangles
Talla un quadrat per la diagonal i obtindràs un triangle rectangle amb dos angles de 45°, així que els dos costats curts són iguals. Fes que el costat llarg valgui 1, com el radi. Llavors els dos costats curts han de complir x² + y² = 1, i amb x = y això vol dir que cadascun val √2/2. Per tant, el punt de 45° és (√2/2, √2/2).
Ara dibuixa un triangle equilàter de costat 2 i talla'l per la meitat. Obtens un triangle amb angles de 30°, 60° i 90°, amb costats 1, √3 i 2. Divideix cada costat per 2 perquè el costat llarg passi a valer 1. Ara els costats són 1/2, √3/2 i 1, que et donen els punts de 30° i 60°.
Fer servir el patró de les arrels quadrades
Escriu els nombres 0, 1, 2, 3, 4 sota els angles 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Fes l'arrel quadrada de cada nombre i divideix-la per 2. Aquesta fila et dona el sinus de cada angle. Llegeix la mateixa fila al revés per obtenir el cosinus.
- Sinus de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- Cosinus dels mateixos angles: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
Comptar-la amb la mà
Aixeca la mà esquerra, amb el palmell mirant cap a tu. El polze representa 90°, l'índex 60°, el dit del mig 45°, l'anular 30° i el dit petit 0°. Per trobar els valors d'un angle, doblega el seu dit.
Compta quants dits queden a la banda del dit petit respecte del dit doblegat, fes l'arrel quadrada d'aquest nombre i divideix-la per 2. Això dona el sinus. Els dits de la banda del polze donen el cosinus de la mateixa manera.
Per a 30°, doblega l'anular. Hi ha un dit (el petit) a la banda del dit petit, així que el sinus és √1/2 = 1/2. Hi ha tres dits a la banda del polze, així que el cosinus és √3/2.
Cada mètode dona els mateixos cinc punts. Unes quantes rondes del joc de trigonometria mostren ràpidament si recordes els valors del sinus i el cosinus amb una mica de pressió de temps. La pràctica curta i freqüent com aquesta fa que els valors es quedin molt millor que una sola sessió llarga.
Cal memoritzar tota la circumferència goniomètrica?
No. Necessites el primer quadrant (de 0° a 90°) i una manera fiable de reflectir-lo. Els alumnes que memoritzen la taula sencera per a un examen sovint l'obliden al cap de poques setmanes. Els alumnes que entenen els triangles i les reflexions la poden refer en qualsevol moment, i això és el que demanen de veritat temes posteriors com el càlcul.
Com canvien els signes a cada quadrant?
La circumferència té quatre quadrants. En cadascun, la mida de les coordenades coincideix amb la d'un angle del primer quadrant, i només canvien els signes. Al primer quadrant, x i y són positives. Al segon, x és negativa. Al tercer, totes dues són negatives. Al quart, y és negativa.
Exemple
Busca el punt de 150°. És al segon quadrant, a 30° de 180°. Per tant, és la imatge reflectida del punt de 30° respecte de l'eix y. El punt de 30° és (√3/2, 1/2). En reflectir-lo, la coordenada x passa a ser negativa, així que el punt de 150° és (−√3/2, 1/2).
- Primer quadrant (de 0° a 90°): x és positiva, y és positiva
- Segon quadrant (de 90° a 180°): x és negativa, y és positiva
- Tercer quadrant (de 180° a 270°): x és negativa, y és negativa
- Quart quadrant (de 270° a 360°): x és positiva, y és negativa
Una comprovació ràpida és imaginar el punt en una gràfica normal. A l'esquerra de l'eix y vol dir que x és negativa, i per sota de l'eix x vol dir que y és negativa. No cal memoritzar aquesta llista si et pots imaginar on és el punt.
Què és la tangent a la circumferència goniomètrica?
La tangent d'un angle és la coordenada y dividida per la coordenada x, així que tan θ = sin θ / cos θ. Per a 60°, això és (√3/2) ÷ (1/2) = √3, aproximadament 1,732. A 90° i 270° la coordenada x és 0, i no es pot dividir per 0, així que la tangent no està definida en aquests angles.
Per a què serveix la circumferència goniomètrica?
La circumferència goniomètrica és el motiu pel qual el sinus i el cosinus funcionen per a qualsevol angle, no només per als angles d'un triangle rectangle. Això la converteix en la base de tot el que es repeteix o gira. Les ones del so, les ones de la llum, el corrent altern, el moviment d'un pèndol i les agulles d'un rellotge es descriuen amb el sinus i el cosinus.
Exemple
Imagina un punt que es mou al voltant de la circumferència a velocitat constant. La seva altura puja fins a 1, baixa fins a −1 i torna a pujar, en una ona suau. Representa aquesta altura en funció del temps i obtindràs la gràfica de la funció sinus. Els enginyers fan servir exactament aquesta idea per descriure vibracions, i els desenvolupadors de jocs i animacions la fan servir per fer girar objectes a la pantalla.
Un quadrant i dos triangles et donen tota la circumferència
Aquí tens els angles principals amb les seves coordenades. Fes servir la llista com a referència, però intenta refer cada fila amb els triangles o el truc de la mà abans de mirar-la.
- 0° (0): (1, 0), tan θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tan θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tan θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tan θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tan θ = no definida
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tan θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tan θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tan θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tan θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tan θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tan θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tan θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tan θ = no definida
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tan θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tan θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tan θ = −√3/3
Si una fila et costa, torna al primer quadrant, busca l'angle corresponent i decideix els signes segons el quadrant. Aquest sol hàbit substitueix tota la llista.
Entrena aquestes a continuació