L'1 és un nombre primer? Què són els nombres primers i com reconèixer-los ràpidament

Què és un nombre primer?

L'1 és un nombre primer? No. Un nombre primer és un nombre natural que té exactament dos divisors diferents: l'1 i el mateix nombre. Per exemple, el 7 és primer perquè només l'1 i el 7 el divideixen exactament. El nombre 1 només té un divisor, així que no compleix aquesta regla. Tampoc no és compost, i això deixa l'1 en un grup a part.

L'1 és un nombre primer?

No, l'1 no és un nombre primer. Un nombre primer necessita exactament dos divisors diferents, i l'1 només en té un. Tampoc no és compost, perquè els nombres compostos tenen més de dos divisors. Per això els matemàtics consideren que l'1 no és ni primer ni compost. El nombre primer més petit és el 2, amb els divisors 1 i 2.

Exemple

Aquests són els divisors dels nombres de l'1 al 6.

• L'1 té un divisor (1), així que no és ni primer ni compost.
• El 2 té dos divisors (1 i 2), així que és primer.
• El 3 té dos divisors (1 i 3), així que és primer.
• El 4 té tres divisors (1, 2 i 4), així que és compost.
• El 5 té dos divisors (1 i 5), així que és primer.
• El 6 té quatre divisors (1, 2, 3 i 6), així que és compost.

Només l'1 té un sol divisor. Tots els nombres primers en tenen exactament dos, i tots els compostos en tenen tres o més.

Veure-ho amb punts

Prova-ho amb punts en un paper o amb objectes petits, com ara botons. Sis punts es poden col·locar en un rectangle de 2 files de 3, així que el 6 és compost. Set punts només poden formar una sola fila de 7, ho provis com ho provis, així que el 7 és primer. Amb un sol punt no hi ha res a col·locar, i això mostra d'una altra manera que l'1 es comporta de manera diferent.

Per què tanta gent creu que l'1 és primer

Molts vam aprendre que un nombre primer és el que és "divisible només per 1 i per ell mateix". Segons aquesta definició, sembla que l'1 compleix. El problema és que aquí l'1 i "ell mateix" són el mateix nombre, i això dona un divisor, no dos. Per això les definicions acurades parlen d'exactament dos divisors diferents, o d'"un nombre natural més gran que 1" que només és divisible per 1 i per ell mateix.

També pot ser que llegeixis a internet que l'1 "abans era primer". La història real és més complicada. Els matemàtics de l'antiga Grècia ni tan sols consideraven l'1 un nombre, i els matemàtics posteriors no es van posar d'acord. Com explica Scientific American en la seva història d'aquesta qüestió, el matemàtic britànic G. H. Hardy encara incloïa l'1 entre els primers a les primeres edicions del seu llibre de text i ho va canviar el 1938. Avui els matemàtics coincideixen que l'1 no és primer.

Fins i tot adults que van estudiar matemàtiques durant anys dubten de vegades en aquest punt. Si el teu fill va dir que l'1 és primer i li van marcar la resposta com a incorrecta, el seu raonament no era cap bestiesa. A la regla que recordava simplement li faltava un petit detall.

El 2 és un nombre primer?

Sí. El 2 és el nombre primer més petit i l'únic parell. Qualsevol altre nombre parell es pot dividir entre 2, i això li dona com a mínim tres divisors (1, 2 i el mateix nombre). Així que, després del 2, tots els primers són senars, tot i que molts nombres senars són compostos.

El 0 és un nombre primer?

No. El zero no és ni primer ni compost. Tots els nombres naturals excepte el 0 divideixen exactament el 0, així que el 0 té moltíssims més de dos divisors. Les paraules primer i compost només s'utilitzen per a nombres naturals més grans que 1, i això deixa el 0 i l'1 fora d'aquests dos grups.

Com pots saber ràpidament si un nombre és primer?

Divideix el nombre només entre primers petits, començant per 2, 3, 5 i 7. Pots parar quan el primer que estàs provant, multiplicat per ell mateix, sigui més gran que el teu nombre. Si cap d'aquests primers no el divideix exactament, el nombre és primer. Per a qualsevol nombre més petit que 100, n'hi ha prou de provar 2, 3, 5 i 7.

Exemple

El 91 és primer?

1. És senar, així que el 2 no el divideix.
2. Les seves xifres sumen 9 + 1 = 10. No és múltiple de 3, així que el 3 no el divideix.
3. No acaba en 0 ni en 5, així que el 5 no el divideix.
4. Prova amb el 7. Com que 7 × 13 = 91, el 91 no és primer.

El 97 és primer? És senar, les seves xifres sumen 16 i no acaba en 0 ni en 5. En dividir, 97 ÷ 7 = 13 i el residu és 6. El primer següent és l'11, i 11 × 11 = 121 ja és més gran que 97. Pots parar aquí, així que el 97 és primer.

Per què pots parar abans

Els divisors van per parelles. Per al 36, les parelles són 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 i 6 × 6. En cada parella, un dels divisors és 6 o més petit, perquè 6 × 6 = 36. Així que, si no trobes cap divisor fins a aquest punt, tampoc no n'hi ha cap més enllà.

Els filtres ràpids

• Si un nombre acaba en 0, 2, 4, 6 o 8, és divisible per 2. Només el 2 mateix és primer.
• Si les xifres sumen un múltiple de 3, el nombre és divisible per 3. Només el 3 mateix és primer.
• Si un nombre acaba en 0 o en 5, és divisible per 5. Només el 5 mateix és primer.
• Per al 7, simplement divideix.

La rapidesa ve de veure molts nombres. Quan els filtres et siguin familiars, unes quantes rondes de detectar primers contra rellotge a Math Max els converteixen en un hàbit, perquè cada resposta correcta és un atac contra l'altre lluitador. Funciona gratis al navegador, així que no cal instal·lar res.

Quins nombres semblen primers però no ho són?

Els nombres trampa clàssics són el 51, el 57 i el 91. Són senars, no acaben en 5 i semblen primers. Però 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 i 91 = 7 × 13. La majoria dels nombres trampa es descobreixen amb el criteri de divisibilitat del 3 o amb una divisió ràpida entre 7.

Exemple

• 39 = 3 × 13. Les seves xifres sumen 12, un múltiple de 3.
• 51 = 3 × 17. Les seves xifres sumen 6, un múltiple de 3.
• 57 = 3 × 19. Les seves xifres sumen 12, un múltiple de 3.
• 87 = 3 × 29. Les seves xifres sumen 15, un múltiple de 3.
• 91 = 7 × 13. En dividir entre 7 es descobreix.
• 119 = 7 × 17. En dividir entre 7 es descobreix.
• 133 = 7 × 19. En dividir entre 7 es descobreix.

Fins i tot els experts s'equivoquen

Al 57 l'anomenen en broma el primer de Grothendieck, per una anècdota segons la qual el famós matemàtic Alexander Grothendieck el va fer servir una vegada com a exemple de nombre primer.

Quan el blog de matemàtiques The Aperiodical va analitzar els resultats d'un joc en línia anomenat "Is this prime?", el 51 es va confondre amb un primer encara més sovint que el 57. Molts jugadors també van dir que el 39 era primer. El primer que més vegades es va prendre per compost va ser el 59, així que els errors van en les dues direccions.

Dues dreceres falses causen la majoria d'aquestes errades. Una és "els nombres senars són primers", i el 9, el 15 i el 21 ho desmenteixen. L'altra és "els nombres que acaben en 1, 3, 7 o 9 són primers", però aquestes terminacions només descarten el 2 i el 5 com a divisors.

Nombres primers fins a 100

Si tens dubtes, compara-ho amb la llista. Hi ha 25 nombres primers més petits que 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 i 97.

La llista no s'acaba mai, perquè el matemàtic grec Euclides va demostrar que hi ha infinits nombres primers.

Dos divisors diferents, aquesta és tota la regla

Un nombre primer necessita exactament dos divisors diferents, i l'1 només en té un, així que l'1 no és primer. La mateixa regla explica per què el 2 és primer i per què el 0 no ho és. Per comprovar ràpidament un nombre, prova amb primers petits, para a l'arrel quadrada i vigila les trampes com el 51 i el 91.