畢氏定理讓你在知道直角三角形其中兩邊時,求出缺少的那一邊。它只是一個簡短的公式a² + b² = c²,但學生常常搞不清楚哪一邊是哪一邊,也不知道什麼時候要加、什麼時候要減。這篇指南會用範例帶你走過這兩種情況,說明要注意的錯誤,以及畢氏定理在日常生活中出現在哪裡。
什麼是畢氏定理?
畢氏定理是說,在直角三角形中,最長邊的平方等於兩條較短邊的平方和。寫成公式就是a² + b² = c²。這裡的a和b是兩條較短的邊,叫做股,c是最長的邊,叫做斜邊。
範例
取一個兩股分別是3 cm和4 cm的直角三角形。把兩股都平方。3² = 9、4² = 16。把它們加起來得到25。接著想想,哪個數的平方是25?答案是5,所以斜邊是5 cm。你也可以反過來驗算,因為5² = 25 = 9 + 16。
為什麼會成立?
想像在三角形的每一邊上各畫一個正方形。畢氏定理說,斜邊上那個大正方形的面積,等於另外兩個小正方形的面積加起來。以3、4、5的三角形來說,就是25 = 9 + 16。
有一個經典的圖形證明可以看出原因。拿四個一模一樣的直角三角形,把它們排在一個大正方形裡,讓中間留下一個斜放的正方形。
中間這個正方形的邊長是c,所以面積是c²。接著把同樣四個三角形,用另一種方式排在同一個大正方形裡。空出來的部分會變成兩個正方形,一個邊長是a,一個邊長是b。大正方形和四個三角形都沒有改變,所以空出來的面積也沒有改變。這就表示c² = a² + b²。
怎麼求斜邊?
要求斜邊,就把兩條較短的邊平方,把結果加起來,再對總和開平方根。寫成公式就是c = √(a² + b²)。答案一定比兩條較短的邊都長,這是檢查自己有沒有算錯的快速方法。
範例
一個直角三角形的兩股是6 m和8 m。
- 把每一股平方。6² = 36、8² = 64。
- 把它們加起來。36 + 64 = 100。
- 開平方根。√100 = 10。
斜邊是10 m。並不是每個答案都會是整數。兩股是5和7時,會得到25 + 49 = 74,而√74大約是8.60。如果覺得平方根算得慢,在平方根遊戲裡玩幾回合,能幫你很快認出完全平方數。一眼就認出36、64和100,上面每一步都會更快。
怎麼知道哪一邊是斜邊?
斜邊永遠是直角對面的那一邊,也永遠是最長的邊。三角形被轉過來或上下顛倒時,很多學生會搞混。先找出標示直角的那個小正方形。不碰到那個角的那一邊就是斜邊,不管它在紙上的哪個位置。
怎麼求缺少的那一股?
要求缺少的那一股,就把斜邊平方,把已知的那一邊平方,再用較大的平方減去較小的平方。然後開平方根。寫成公式就是a = √(c² − b²)。這裡要用減的,因為斜邊是最長的邊,所以它的平方就是你一開始的總和。
範例
一個直角三角形的斜邊是13 cm,其中一股是5 cm。
- 把斜邊平方。13² = 169。
- 把已知的那一股平方。5² = 25。
- 相減。169 − 25 = 144。
- 開平方根。√144 = 12。
缺少的那一邊是12 cm。檢查一下是否合理。12比13短,股本來就應該比斜邊短。而且5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²,所以這個三角形符合畢氏定理。
這兩種情況遵循一個簡單的規則。如果要找最長的邊,就用加的。如果要找較短的邊,就用減的。等這個規則用得很自然了,就可以到幾何遊戲裡,用好玩的方式練習三角形的題目。它要你快速作答,能幫助這些步驟變成自然而然的反應。
用畢氏定理時常犯哪些錯誤?
最常見的錯誤,是把畢氏定理用在沒有直角的三角形上、該減的時候用加的、最後忘了開平方根,以及選錯斜邊。只要知道要注意這些地方,每一種都很容易避免。
範例
有個學生已知斜邊是10、一股是6,卻寫成10² + 6² = 136,接著算出√136 ≈ 11.66。這個答案比斜邊還長,一股不可能這麼長。正確的步驟是100 − 36 = 64,而√64 = 8。
下面是要注意的錯誤:
- 用在任何三角形上。畢氏定理只有在其中一個角剛好是90°時才成立。
- 總是把未知的邊叫做c。只有斜邊才是c。如果未知的邊是股,就要用減的。
- 還沒開平方根就停下來。6² + 8² = 100得到的是c²,不是c。邊長是√100 = 10。
- 以為√(a² + b²)和a + b一樣。以3和4為例,√(9 + 16) = 5,但3 + 4 = 7。
- 太早四捨五入。在有好幾個步驟的題目裡,要保留精確值到最後,只把最後的答案四捨五入。
畢氏定理適用於所有三角形嗎?
不是。畢氏定理只適用於直角三角形,也就是有一個角剛好是90°的三角形。它反過來也成立。如果一個三角形的三邊符合a² + b² = c²,這個三角形一定有一個直角。這個反過來的說法,是檢查一個角是不是直角的可靠方法。
範例
三邊是5、12和13的三角形是直角三角形嗎?把兩條較短的邊平方再相加。25 + 144 = 169。把最長的邊平方。13² = 169。兩者相等,所以是。
那三邊是6、7和9呢?36 + 49 = 85,但9² = 81。兩者不相等,所以這個三角形沒有直角。因為85比81大,它的每個角都小於90°。
建築工人也用同樣的概念。要檢查一個角是不是直角,他們會沿著一面牆量3個單位,沿著另一面牆量4個單位。如果這兩個記號之間的距離剛好是5個單位,這個角就是直角。用什麼單位都可以,像是公尺或每段30 cm,只要三個測量都用同一種單位就好。
什麼是畢氏三元數?
畢氏三元數是剛好符合a² + b² = c²的三個整數。最有名的是3、4、5。其他還有5、12、13,以及8、15、17和7、24、25。如果把一組三元數裡的每個數都乘以同一個數,就會得到另一組三元數,例如6、8、10。
範例
驗算8、15、17。8² = 64、15² = 225。加起來是289。而17² = 289。符合。把3、4、5乘以2得到6、8、10,乘以3得到9、12、15。這兩組也都符合。記住幾組三元數,在很多練習題裡就能馬上看出答案。
答案是精確值,還是只是近似值?
畢氏定理得到的答案是精確的,但不一定是整數。兩股都是1的直角三角形,斜邊剛好是√2。寫成小數時,√2永遠不會結束,所以1.414只是近似值。這就是為什麼很多老師會要你把答案寫成√2。
範例
驗算一下小數的版本。1.414² = 1.999396,很接近2,但不等於2。√2這個值才是精確的長度。題目要求精確答案時就寫√2,只有在題目要求小數時才四捨五入,例如四捨五入到小數點後第二位(1.41)。
畢氏定理在生活中用在哪裡?
只要有人需要一段無法直接測量的距離,就會用到畢氏定理。建築工人用它檢查直角,人們用它把梯子擺得安全,螢幕尺寸是用它來量的,在地圖上它能算出兩點之間的直線距離。
範例
一把梯子長4 m,梯腳離牆1 m。梯子能靠到牆上多高的地方?梯子是斜邊,所以用減的。4² − 1² = 16 − 1 = 15,而√15大約是3.87 m。
生活中還有幾個用途:
- 螢幕尺寸。寬40 cm、高30 cm的螢幕,對角線是√(1,600 + 900) = √2,500 = 50 cm。
- 地圖上的距離。往東走3 km,再往北走4 km,你就會離出發點5 km(直線距離)。
- 直角。上面3、4、5的檢查方法,可以用在牆壁、花圃和磁磚地板上。
誰最早發現畢氏定理?
這個定理是以希臘思想家畢達哥拉斯命名的,但這個概念其實更古老。一塊被稱為Plimpton 322的巴比倫泥板,年代大約是西元前1800年,上面列出了畢氏三元數裡的數字,比畢達哥拉斯生活的年代早了1,000多年,一篇關於澳洲新南威爾斯大學(UNSW Sydney)研究的文章對此有說明。早期的印度和中國數學裡,也出現過類似的概念。