點斜式完整解說，以及什麼時候該用它而不是 y = mx + b

怎麼用點斜式寫出直線方程式？

把斜率代入 m，把已知點的座標代入 x₁ 和 y₁。x 和 y 保留字母不變，它們代表直線上其他所有的點。知道直線上的一點和斜率時，就用點斜式。

例題

求通過點 (2, 3)、斜率為 2 的直線。

1. 由點得到 x₁ = 2，y₁ = 3。
2. 由斜率得到 m = 2。
3. 代入：y − 3 = 2(x − 2)。

這樣就完成了，不需要再化簡。想確認的話，可以再驗算一個點。從 (2, 3) 往右 1 格、往上 2 格，就到了 (3, 5)。把這兩個數代進去：左邊 5 − 3 = 2，右邊 2(3 − 2) = 2。兩邊相等。

注意，點 (2, 3) 就直接寫在方程式裡。畫圖時，可以先把筆尖放在這個點上，再從這裡畫出去。

已知兩點，怎麼求點斜式？

先用 m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) 算出斜率。接著從兩點中任選一點，和斜率一起代入 y − y₁ = m(x − x₁)。選哪一點都可以。得到的方程式看起來不同，但化簡後描述的是同一條直線。

例題

求通過點 (1, −2) 和 (4, 7) 的直線。

1. 斜率：m = (7 − (−2)) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3
2. 用 (1, −2)：y − (−2) = 3(x − 1)，也就是 y + 2 = 3(x − 1)
3. 用 (4, 7)：y − 7 = 3(x − 4)

任一式展開後都會得到 y = 3x − 5。對照解答批改作業前，最好先知道這一點。學生用的是 (4, 7)，解答用的是 (1, −2)，兩個方程式看起來不一樣，但兩個都沒有錯。

點的座標是負數時，符號為什麼會變？

公式裡要減去點的座標。如果座標是負數，就變成減去一個負數，結果就成了加。所以點 (−4, −1) 會得到 y + 1 和 x + 4。整理之前先把括號完整寫出來，是避免符號出錯最簡單的方法。

例題

求通過點 (−4, −1)、斜率為 1/2 的直線。

1. 寫出括號：y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. 整理後：y + 1 = 1/2(x + 4)

反過來也一樣。已知 y + 5 = −2(x − 6)，直線上的點是 (6, −5)，而不是 (6, 5)。方程式裡看到什麼符號，座標的符號就正好相反。

怎麼把點斜式化成斜截式？

先把括號展開，再把左邊的數移項到右邊，讓 y 單獨留下。得到的就是斜截式 y = mx + b。轉換過程中斜率不變，最後單獨留下的那個數就是 y 截距，也就是直線和 y 軸相交的位置。

例題

把 y − 3 = 2(x − 2) 化成斜截式。

1. 展開括號：y − 3 = 2x − 4
2. 兩邊同加 3：y = 2x − 1

斜率還是 2，直線與 y 軸交於 (0, −1)，在上面的圖裡可以看到這個點。反過來也一樣快。以 y = −3x + 5 為例，取 x = 1，得到 y = 2。用點 (1, 2) 和斜率 −3，就得到 y − 2 = −3(x − 1)。

該用哪一種形式？

已經知道什麼，就用相對應的形式。

• 點斜式：知道一點和斜率，或是知道兩點。
• 斜截式：想直接讀出斜率和 y 截距，或是要畫圖。
• 一般式 Ax + By = C：需要直線和兩軸的交點。

很多老師希望最後的答案寫成 y = mx + b。你大可先用點斜式，最後再轉換。

點斜式的公式是怎麼來的？

它其實就是斜率公式換個寫法。在直線上取一個固定點 (x₁, y₁)，再取同一條直線上的任一點 (x, y)。兩點間的斜率是 m = (y − y₁) ÷ (x − x₁)。兩邊同乘 (x − x₁)，就得到 y − y₁ = m(x − x₁)。

例題

繼續用通過點 (2, 3)、斜率為 2 的直線，檢查點 (5, 9)。從 (2, 3) 到 (5, 9) 的斜率是 (9 − 3) ÷ (5 − 2) = 6 ÷ 3 = 2。斜率相同，所以 (5, 9) 在這條直線上。點斜式說的正是這件事：9 − 3 = 2(5 − 2)。

免費教科書 OpenStax Elementary Algebra 2e 也用同樣的方式推導這個公式。接著它把公式用在通過兩點的直線，以及平行線和垂直線上，下一節就從這裡接著講。

怎麼用點斜式求平行線和垂直線？

平行線的斜率和原來的直線相同。垂直線的斜率是負倒數，也就是把分數上下顛倒，再改變正負號。斜率 2 會變成 −1/2，斜率 −3/4 會變成 4/3。得到新的斜率後，再和題目給的點一起代入點斜式。

例題

求通過點 (2, 3) 且與 y = 2x − 1 垂直的直線。

1. 原來的斜率是 2，也就是 2/1。
2. 上下顛倒並改變正負號：−1/2。
3. 點斜式：y − 3 = −1/2(x − 2)
4. 斜截式：y = −1/2x + 4

用 x = 2 快速驗算：−1/2 × 2 + 4 = 3，正好是這個點的 y 坐標值。如果要求通過點 (6, 0) 的平行線，斜率維持 2：y − 0 = 2(x − 6)，也就是 y = 2x − 12。

每條直線都能寫成點斜式嗎？

幾乎每條都可以，例外是鉛直線。它上面所有點的 x 坐標都一樣，水平方向的變化量是 0，算斜率就得除以零。所以通過點 (3, 1) 的鉛直線要寫成 x = 3。水平線則完全沒問題，因為它的斜率就是 0。

例題

以通過點 (1, 4) 的水平線為例。寫成點斜式是 y − 4 = 0(x − 1)。零乘任何數都是零，所以方程式變成 y − 4 = 0，也就是 y = 4。

怎麼練習點斜式？

解直線題的速度，來自大量的練習。在一次函數遊戲裡，你要用直線題來戰鬥。某一回合可能會問從 (−2, 2) 到 (0, −6) 的斜率，答對了你的攻擊就會命中。這題是 (−6 − 2) ÷ (0 − (−2)) = −8 ÷ 2 = −4。

每次轉換都等於解一個小方程式。如果你在這一步卡住、變慢，可以玩幾回方程式遊戲來幫忙。之後每次移項整理公式，用的都是同樣的步驟。

表示斜率的字母在不同國家也不一樣。台灣課本用 m，有些國家則用 k 或 a。不管用哪個字母，括號前面的數就是斜率，括號裡的數來自直線上的一個點。

一個點和一個斜率就能決定一條直線

一個點加上一個斜率就能完全決定一條直線，點斜式把這件事直接寫了出來。代入時要細心，符號處理好之前先保留括號，最後用第二個點驗算結果。之後要化成 y = mx + b，只需要兩個小步驟。