φ，一個名氣很大的數
數學家用希臘字母φ（phi）來表示它。據說它藏在向日葵、著名建築和美麗的臉孔裡。這份名氣有一部分名副其實，但很多是誇大其詞。我們先講數學，再老老實實地看看它真正出現在哪裡。
黃金比例怎麼計算？
黃金比例用公式φ = (1 + √5) ÷ 2計算。5的平方根約等於2.236，加上1再除以2，就得到約1.618。因為φ是無理數，它的小數部分既不會結束，也不會循環。在大多數日常場合，用1.618就夠精確了。
例子
用計算機分三個步驟算出來。
- √5 ≈ 2.236
- 1 + 2.236 = 3.236
- 3.236 ÷ 2 = 1.618
所以φ ≈ 1.618。如果需要更高的精確度，取到小數點後第十位是φ = 1.6180339887。
(1 + √5) ÷ 2是怎麼來的？
取一條線段，把它分成較長的一段a和較短的一段b。如果整條線段與長段的比，等於長段與短段的比，這種分法就叫黃金分割。用符號表示就是(a + b) ÷ a = a ÷ b。這個相同的比值就是φ。
現在令短段為1，長段就是φ。規則變成(φ + 1) ÷ φ = φ。兩邊同乘以φ，得到φ² = φ + 1，也就是φ² − φ − 1 = 0。這是一個一元二次方程式，它的正根是(1 + √5) ÷ 2。大英百科全書也介紹了同樣的變形，得到x² − x − 1 = 0。
為什麼1.618、0.618和2.618這麼像？
因為φ² = φ + 1，所以把φ平方只是多加了1。於是φ² ≈ 2.618。把同一個等式兩邊除以φ，得到φ = 1 + 1 ÷ φ，也就是1 ÷ φ = φ − 1 ≈ 0.618。這就是三個不同的數小數部分相同的原因。
黃金比例為什麼這麼特別？
黃金比例之所以特別，是因為它是唯一一個平方等於自己加1、倒數等於自己減1的正數。它也把幾何和計數連結在一起。均衡地分割線段、畫正五邊形、用相鄰的費氏數相除，都會得到同一個值。
例子
在邊長為1的正五邊形中，每條對角線（從一個頂點連到不相鄰頂點的線段）的長度剛好是φ，約1.618。所以畫在正五邊形裡的五角星到處都是黃金比例。星形的每個尖角都被其他線段按黃金比例分割。
這個想法非常古老。根據大英百科全書，它可以追溯到歐幾里得，他在《幾何原本》中稱之為「中外比」。
黃金比例和圓周率是一樣的嗎？
不是。圓周率（π ≈ 3.14）是圓周長與直徑的比，而黃金比例（φ ≈ 1.618）來自線段的分割。兩者都是小數無限不循環的無理數，這大概就是大家容易搞混的原因。它們的數值不同，來源的圖形也不同。
黃金比例和費氏數列是一樣的嗎？
黃金比例和費氏數列（斐波那契數列）不是同一件事，但關係非常密切。費氏數列是一列整數，其中每個數都等於前兩個數的和。如果用每個費氏數除以它前面的那個數，結果會越來越接近黃金比例。
例子
從費氏數列中取相鄰的兩個數相除。
- 5 ÷ 3 ≈ 1.667
- 8 ÷ 5 = 1.6
- 13 ÷ 8 = 1.625
- 21 ÷ 13 ≈ 1.615
- 34 ÷ 21 ≈ 1.619
- 89 ÷ 55 ≈ 1.618
結果在1.618上下跳動，很快就穩定下來。到144 ÷ 89時，結果已經和φ一致到小數點後第三位。這是很適合孩子的計算機小活動，他們能親眼看到普通的除法中冒出規律。
找出一列數背後的規律，這種能力遠不只用在費氏數列上。在數列遊戲裡，每次攻擊都是一個缺了一個數的數列，你要比對手更快找出規律。
在上面這一回合中，每個數都比前一個數大5，所以缺的數是24。
怎麼畫黃金矩形？
黃金矩形的長邊約是短邊的1.618倍。畫的時候，可以用短邊乘以1.618，或者用長邊除以1.618求出短邊。也可以從一個正方形開始，用圓規精確作圖，完全不用量小數。
例子
如果短邊是10公分，長邊就是10 × 1.618 ≈ 16.2公分。如果一個頁面寬1000像素，想按黃金比例分割，就除以φ。會得到約618像素的主欄和約382像素的側欄。
用圓規作圖，請按照下面的步驟。
- 畫一個邊長為1的正方形（例如1公寸）。
- 標出底邊的中點。
- 把圓規的針腳放在這個中點上，張開到對側上方的頂點。這段距離是√5 ÷ 2，約1.118。
- 把圓規向下旋轉，畫到底邊的延長線上。新的長度是0.5 + 1.118 = 1.618。
- 補完矩形。它的兩邊分別是1和φ。
從黃金矩形上切掉一個正方形，剩下的部分還是一個黃金矩形。重複這個過程，並在每個正方形裡畫一段四分之一圓弧，就會得到黃金比例圖片中常見的螺線（黃金螺線）。這類幾何內容在幾何遊戲裡也有，圖形、角度和面積都會變成快節奏的挑戰。
黃金比例在自然界中出現在哪裡？
自然界中最清楚的例子，是許多植物排列葉子和種子的方式。向日葵花盤上的每顆新種子，都比上一顆轉過大致相同的角度，約137.5°。這個黃金角讓種子排得緊密無縫，並形成螺線，螺線的條數常常是費氏數。
例子
黃金角直接來自φ。用一整圈除以φ²，得到360° ÷ 2.618 ≈ 137.5°。換個角度看，這個轉角把圓分成約222.5°和137.5°兩段弧，兩者的比正是黃金比例。
諾丁漢大學研究人員2022年發表的回顧論文The Golden Ratio in Nature收集了許多不同尺度上的例子，並描述這個比值「在許多不同科學和藝術領域中出現的傾向」。「傾向」這個詞用得很準確。很多植物遵循其他規律，所以它並不是自然法則。
鸚鵡螺的殼是黃金螺線嗎？
通常不是。鸚鵡螺按照對數螺線生長，越長越大卻保持形狀不變，這本身就很美。實際測量真正的螺殼，得到的生長比通常和φ不同。疊在鸚鵡螺照片上的黃金螺線只是一張好看的圖，並不是測量結果。
藝術、建築和人臉中真的有黃金比例嗎？
大多沒有。說帕德嫩神殿、名畫或好看的臉符合黃金比例，這些說法經不起仔細測量。在2022年發表於The Conversation的文章中，新南威爾斯大學（UNSW）的數學家湯瑪斯·布里茲解釋，φ在古希臘藝術和建築中極少出現。
例子
關於帕德嫩神殿的流行說法是，它的正面剛好能放進一個黃金矩形。布里茲寫道，仔細計算顯示這種說法是錯的。替明星打分數的「黃金比例臉型測驗」也是一樣。它們所依據的臉部模板早已被推翻，而且沒有哪一個數能決定一張臉美不美。
這個迷思流傳不衰，一個常見原因是只挑對自己有利的例子。幾乎任何建築或人臉上，都能找到一對比值接近1.6的長度，尤其是可以自己決定量哪裡的時候。像3 ÷ 2 = 1.5或16 ÷ 9 ≈ 1.78這樣的比例同樣好看，而且在螢幕和照片中常見得多。公平的檢驗要考察很多對象，既數命中的，也數落空的。
藝術家和設計師會刻意使用黃金比例嗎？
有些會。設計師有時會把1.618當作版面配置、畫框或字級的起點，因為這樣分出來既不會太平均，也不會太失衡。這是一種設計選擇，並不能證明黃金比例藏在一切美的事物裡。它和其他整齊的比例一樣好用而已。
黃金比例是真正的數學，不是美的法則
黃金比例是一個精確的數，等於(1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.618，它的性質讓數學家會心一笑。把它平方就多出1，用1除以它就少了1，相鄰費氏數的比會越來越接近它。它塑造了許多植物種子的螺線，而關於人臉和著名建築的大多數故事，不過是一廂情願的測量。
和孩子一起探索時，最好動手做。用計算機做費氏數的除法，用圓規畫一個黃金矩形，或者數一數毬果上的螺線。每一項都能展示真實的規律，而且都不需要迷思來增添趣味。