知道直角三角形的两条边时，勾股定理可以帮你求出缺少的那一条边。它只是一个简短的公式a² + b² = c²，但学生常常搞不清哪条边是哪条，也不知道什么时候该加、什么时候该减。这篇指南用例子讲解这两种情况，指出需要注意的错误，并介绍勾股定理在日常生活中出现在哪里。
什么是勾股定理？
勾股定理是说，在直角三角形中，最长边的平方等于两条较短边的平方和。写成公式就是a² + b² = c²。这里a和b是两条较短的边，叫作直角边；c是最长的边，叫作斜边。
举个例子
取一个两条直角边分别为3 cm和4 cm的直角三角形。把两条直角边分别平方。3² = 9，4² = 16。加起来得到25。再想一想，哪个数的平方是25？答案是5，所以斜边是5 cm。你也可以反过来验证，因为5² = 25 = 9 + 16。
为什么成立？
想象在三角形的每条边上各画一个正方形。勾股定理说的是，斜边上那个大正方形的面积，等于另外两个小正方形面积的和。对于边长为3、4、5的三角形，就是25 = 9 + 16。
有一种经典的图形证明可以帮你看出其中的道理。取四个完全相同的直角三角形，把它们摆在一个大正方形里，让中间留出一个斜放的正方形。
中间这个正方形的边长是c，所以面积是c²。现在把同样的四个三角形换一种方式摆进同一个大正方形里。空出来的地方变成了两个正方形，一个边长是a，一个边长是b。大正方形和四个三角形都没有变，所以空出来的面积也没有变。这就说明c² = a² + b²。
怎么求斜边？
求斜边时，把两条较短的边分别平方，把结果相加，再对总和开平方。写成公式就是c = √(a² + b²)。答案总是比两条较短的边都长，这是检查有没有算错的快捷方法。
举个例子
一个直角三角形的两条直角边分别是6 m和8 m。
- 把每条直角边平方。6² = 36，8² = 64。
- 把它们相加。36 + 64 = 100。
- 开平方。√100 = 10。
斜边是10 m。并不是每个答案都是整数。如果两条直角边是5和7，就得到25 + 49 = 74，而√74约等于8.60。如果觉得开平方很慢，可以在平方根游戏里玩几局，帮你快速认出完全平方数。一眼就能认出36、64和100，上面的每一步都会更快。
怎么判断哪条边是斜边？
斜边永远是直角所对的边，也永远是最长的边。三角形被转了方向或者倒过来画时，很多学生就会弄混。先找到标出直角的那个小方块。不接触这个角的那条边就是斜边，不管它在纸上的什么位置。
怎么求缺少的直角边？
求缺少的那条较短的边时，把斜边平方，把已知的边平方，再用较大的平方减去较小的平方。然后开平方。写成公式就是a = √(c² − b²)。这里要做减法，因为斜边是最长的边，它的平方就是你一开始的总数。
举个例子
一个直角三角形的斜边是13 cm，一条直角边是5 cm。
- 把斜边平方。13² = 169。
- 把已知的直角边平方。5² = 25。
- 相减。169 − 25 = 144。
- 开平方。√144 = 12。
缺少的边是12 cm。检查一下是否合理。12比13短，直角边本来就应该这样。而且5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²，所以这个三角形符合勾股定理。
这两种情况遵循一个简单的规则。求最长的边，就做加法。求较短的边，就做减法。等这个规则用顺手了，几何游戏就是练习三角形题目的有趣地方。它要求快速作答，能帮助这些步骤变成自然而然的反应。
用勾股定理时常犯哪些错误？
最常见的错误有：在没有直角的三角形上用勾股定理，该减的时候做了加法，最后忘了开平方，以及把错误的边当成斜边。只要知道要注意这些，每一种都很容易避免。
举个例子
一个学生知道斜边是10，一条直角边是6，于是写成10² + 6² = 136，然后√136 ≈ 11.66。这个答案比斜边还长，对直角边来说是不可能的。正确的步骤是100 − 36 = 64，√64 = 8。
下面是需要注意的错误：
- 用在任何三角形上。勾股定理只在有一个角正好是90°时才成立。
- 总把未知的边叫作c。只有斜边才是c。如果未知的边是直角边，就要做减法。
- 还没开平方就停下。6² + 8² = 100得到的是c²，不是c。边长是√100 = 10。
- 以为√(a² + b²)和a + b一样。用3和4来算，√(9 + 16) = 5，而3 + 4 = 7。
- 太早取近似值。在有好几步的题目里，一直保留准确值到最后，只对最终答案取近似值。
勾股定理适用于所有三角形吗？
不是。勾股定理只适用于直角三角形，也就是有一个角正好是90°的三角形。它也可以反过来用。如果一个三角形的三条边满足a² + b² = c²，那么这个三角形一定有一个直角。这个反过来的说法，是检查一个角是不是直角的可靠方法。
举个例子
边长为5、12和13的三角形是直角三角形吗？把两条较短的边平方再相加。25 + 144 = 169。把最长的边平方。13² = 169。两者相等，所以是。
那边长为6、7和9的呢？36 + 49 = 85，但9² = 81。两者不相等，所以这个三角形没有直角。因为85比81大，它的所有角都小于90°。
建筑工人也用同样的思路。要检查一个墙角是不是直角，他们沿一面墙量3个单位，沿另一面墙量4个单位。如果这两个记号之间的距离正好是5个单位，这个墙角就是直角。用什么单位都可以，比如米或者每段30 cm，只要三次测量用的是同一个单位。
什么是勾股数？
勾股数是正好满足a² + b² = c²的三个整数。最有名的是3、4、5。其他的还有5、12、13，以及8、15、17和7、24、25。把一组勾股数里的每个数都乘以同一个数，就会得到另一组勾股数，比如6、8、10。
举个例子
验证一下8、15、17。8² = 64，15² = 225。加起来是289。而17² = 289。符合。把3、4、5翻倍得到6、8、10，乘以3得到9、12、15。这两组也都符合。记住几组勾股数，在很多练习题里就能一眼看出答案。
答案是准确值，还是近似值？
用勾股定理算出的答案是准确的，但不一定是整数。两条直角边都是1的直角三角形，斜边正好是√2。写成小数时，√2永远写不完，所以1.414只是近似值。这就是为什么很多老师要求把答案写成√2。
举个例子
验证一下小数形式。1.414² = 1.999396，接近2，但不等于2。√2才是准确的长度。题目要求准确答案时就写√2，只有要求写成小数时才取近似值，比如保留两位小数（1.41）。
勾股定理在现实生活中用在哪里？
只要有人需要一段无法直接测量的距离，就会用到勾股定理。建筑工人用它检查墙角是不是直角，人们用它把梯子放得安全，屏幕尺寸也是用它来量的，在地图上，它能算出两点之间的直线距离。
举个例子
一把梯子长4 m，梯脚离墙1 m。梯子能够到墙上多高的地方？梯子是斜边，所以要做减法。4² − 1² = 16 − 1 = 15，√15约等于3.87 m。
还有几个日常用途：
- 屏幕尺寸。宽40 cm、高30 cm的屏幕，对角线长√(1,600 + 900) = √2,500 = 50 cm。
- 地图上的距离。先向东走3 km，再向北走4 km，你离出发点的直线距离就是5 km。
- 直角墙角。上面提到的3、4、5检查法，可以用在墙壁、花坛和铺瓷砖的地面上。
谁最先发现了勾股定理？
这个定理在西方以古希腊思想家毕达哥拉斯的名字命名，但这个想法要古老得多。正如一篇介绍新南威尔士大学（UNSW Sydney）相关研究的文章所说，一块名为普林顿322（Plimpton 322）的巴比伦泥板，年代约为公元前1800年，上面列出了勾股数中的数字，比毕达哥拉斯生活的年代早了1,000多年。早期的印度和中国数学里也出现过类似的想法。