φ，一个名气很大的数
数学家用希腊字母φ（phi）来表示它。据说它藏在向日葵、著名建筑和美丽的脸庞里。这份名气有一部分名副其实，但很多是夸大其词。我们先讲数学，再老老实实地看看它真正出现在哪里。
黄金比例怎么计算？
黄金比例用公式φ = (1 + √5) ÷ 2计算。5的平方根约等于2.236，加上1再除以2，就得到约1.618。因为φ是无理数，它的小数部分既不会结束，也不会循环。在大多数日常场合，用1.618就足够精确了。
例子
用计算器分三步算出来。
- √5 ≈ 2.236
- 1 + 2.236 = 3.236
- 3.236 ÷ 2 = 1.618
所以φ ≈ 1.618。如果需要更高的精度，保留十位小数是φ = 1.6180339887。
(1 + √5) ÷ 2是怎么来的？
取一条线段，把它分成较长的一段a和较短的一段b。如果整条线段与长段之比，等于长段与短段之比，这种分法就叫黄金分割。用符号表示就是(a + b) ÷ a = a ÷ b。这个相同的比值就是φ。
现在令短段为1，长段就是φ。规则变成(φ + 1) ÷ φ = φ。两边同乘φ，得到φ² = φ + 1，也就是φ² − φ − 1 = 0。这是一个一元二次方程，它的正根是(1 + √5) ÷ 2。大英百科全书也介绍了同样的变形，得到x² − x − 1 = 0。
为什么1.618、0.618和2.618这么像？
因为φ² = φ + 1，所以把φ平方只是多加了1。于是φ² ≈ 2.618。把同一个等式两边除以φ，得到φ = 1 + 1 ÷ φ，也就是1 ÷ φ = φ − 1 ≈ 0.618。这就是三个不同的数小数部分相同的原因。
黄金比例为什么这么特别？
黄金比例之所以特别，是因为它是唯一一个平方等于自身加1、倒数等于自身减1的正数。它还把几何和计数联系在一起。均衡地分割线段、画正五边形、用相邻的斐波那契数相除，都会得到同一个值。
例子
在边长为1的正五边形中，每条对角线（从一个顶点连到不相邻顶点的线段）的长度恰好是φ，约1.618。所以画在正五边形里的五角星到处都是黄金比例。星形的每个尖角都被其他线段按黄金比例分割。
这个想法非常古老。据大英百科全书记载，它可以追溯到欧几里得，他在《几何原本》中称之为“中外比”。
黄金比例和圆周率是一回事吗？
不是。圆周率（π ≈ 3.14）是圆的周长与直径之比，而黄金比例（φ ≈ 1.618）来自线段的分割。两者都是小数无限不循环的无理数，这大概就是人们容易混淆的原因。它们的数值不同，来源的图形也不同。
黄金比例和斐波那契数列是一回事吗？
黄金比例和斐波那契数列不是一回事，但关系非常密切。斐波那契数列是一列整数，其中每个数都等于前两个数之和。如果用每个斐波那契数除以它前面的那个数，结果会越来越接近黄金比例。
例子
从斐波那契数列中取相邻的两个数相除。
- 5 ÷ 3 ≈ 1.667
- 8 ÷ 5 = 1.6
- 13 ÷ 8 = 1.625
- 21 ÷ 13 ≈ 1.615
- 34 ÷ 21 ≈ 1.619
- 89 ÷ 55 ≈ 1.618
结果在1.618上下跳动，很快就稳定下来。到144 ÷ 89时，结果已经和φ精确到小数点后三位。这是一个很适合孩子的计算器小活动，他们能亲眼看到普通的除法中冒出规律来。
找出一列数背后的规律，这种能力远不止用在斐波那契数列上。在数列游戏里，每次攻击都是一个缺了一个数的数列，你要比对手更快地找出规律。
在上面这一回合中，每个数都比前一个数大5，所以缺的数是24。
怎样画黄金矩形？
黄金矩形的长边约是短边的1.618倍。画的时候，可以用短边乘1.618，或者用长边除以1.618求出短边。也可以从一个正方形出发，用圆规精确作图，完全不用量小数。
例子
如果短边是10厘米，长边就是10 × 1.618 ≈ 16.2厘米。如果一个页面宽1000像素，想按黄金比例分割，就除以φ。得到约618像素的主栏和约382像素的侧栏。
用圆规作图，按下面的步骤进行。
- 画一个边长为1的正方形（例如1分米）。
- 标出底边的中点。
- 把圆规的针尖放在这个中点上，张开到对边上方的顶点。这段距离是√5 ÷ 2，约1.118。
- 把圆规向下旋转，画到底边的延长线上。新的长度是0.5 + 1.118 = 1.618。
- 补全矩形。它的两边分别是1和φ。
从黄金矩形上切掉一个正方形，剩下的部分还是一个黄金矩形。重复这个过程，并在每个正方形里画一段四分之一圆弧，就得到黄金比例图片中常见的螺线（黄金螺线）。这类几何内容在几何游戏里也有，图形、角和面积都会变成快节奏的挑战。
黄金比例在自然界中出现在哪里？
自然界中最清楚的例子，是许多植物排列叶子和种子的方式。向日葵花盘上的每颗新种子，都比上一颗转过大致相同的角度，约137.5°。这个黄金角让种子排得紧密无缝，并形成螺线，螺线的条数常常是斐波那契数。
例子
黄金角直接来自φ。用一整圈除以φ²，得到360° ÷ 2.618 ≈ 137.5°。换个角度看，这个转角把圆分成约222.5°和137.5°两段弧，两者之比正是黄金比例。
诺丁汉大学研究人员2022年发表的综述The Golden Ratio in Nature收集了许多不同尺度上的例子，并描述了这个比值“在许多不同科学和艺术领域中出现的倾向”。“倾向”这个词用得很准确。很多植物遵循其他规律，所以它并不是自然法则。
鹦鹉螺的壳是黄金螺线吗？
通常不是。鹦鹉螺按对数螺线生长，越长越大却保持形状不变，这本身就很美。实际测量真实的螺壳，得到的生长比通常与φ不同。叠在鹦鹉螺照片上的黄金螺线只是一张好看的图，并不是测量结果。
艺术、建筑和人脸中真的有黄金比例吗？
大多没有。说帕特农神庙、名画或好看的脸符合黄金比例，这些说法经不起仔细测量。在2022年发表于The Conversation的文章中，新南威尔士大学（UNSW）的数学家托马斯·布里茨解释说，φ在古希腊艺术和建筑中极少出现。
例子
关于帕特农神庙的流行说法是，它的正面正好能放进一个黄金矩形。布里茨写道，仔细计算表明这种说法是错误的。给明星打分的“黄金比例颜值测试”也是一样。它们所依据的面部模板早已被证伪，而且没有哪一个数能决定一张脸美不美。
这个神话流传不衰，一个常见原因是只挑对自己有利的例子。几乎任何建筑或人脸上，都能找到一对比值接近1.6的长度，尤其是可以自己决定量哪里的时候。像3 ÷ 2 = 1.5或16 ÷ 9 ≈ 1.78这样的比例同样好看，而且在屏幕和照片中常见得多。公平的检验要考察很多对象，既数命中的，也数落空的。
艺术家和设计师会刻意使用黄金比例吗？
有些会。设计师有时会把1.618作为版面布局、画框或字号的起点，因为这样分出来既不会太平均，也不会太失衡。这是一种设计选择，并不能证明黄金比例藏在一切美的事物里。它和其他整齐的比例一样好用而已。
黄金比例是真正的数学，不是美的法则
黄金比例是一个精确的数，等于(1 + √5) ÷ 2 ≈ 1.618，它的性质让数学家会心一笑。把它平方就多出1，用1除以它就少了1，相邻斐波那契数的比会越来越接近它。它塑造了许多植物种子的螺线，而关于人脸和著名建筑的大多数故事，不过是一厢情愿的测量。
和孩子一起探索时，最好动手去做。用计算器做斐波那契数的除法，用圆规画一个黄金矩形，或者数一数松果上的螺线。每一项都能展示真实的规律，而且都不需要神话来增添趣味。