Ondalık sayıyı kesre çevirme (devirli ondalık sayılar dahil)

Sonlu her ondalık sayı ve sonsuza kadar tekrar eden her ondalık sayı kesir olarak yazılabilir. Ondalık sayıyı kesre çevirmek çoğu sayı için üç kısa adım sürer, 0,333… gibi devirli ondalık sayılar için ise ek bir yöntem gerekir. Aşağıda iki yöntemi de, ezbere bilmeye değer ondalık sayıların listesini ve en sık yapılan hataları bulacaksın.

Ondalık sayı kesre nasıl çevrilir?

Ondalık sayıyı kesre çevirmek için virgülden sonraki rakamları pay olarak yaz, paydaya da kaç ondalık basamak olduğuna göre 10, 100 ya da 1000 koy. Bir ondalık basamakta payda 10, iki basamakta 100, üç basamakta 1000 olur. Sonra payı ve paydayı aynı sayıya bölerek kesri sadeleştir.

Örnek

0,75'i kesre çevir.

1. Ondalık basamakları say. 0,75'in iki basamağı var, yani payda 100 olur.
2. Rakamları paya yaz. 0,75 = 75/100.
3. Sadeleştir. 75 de 100 de 25'e bölünebilir, bu da 3/4 sonucunu verir.

Yani 0,75 = 3/4. Kontrol etmenin hızlı bir yolu, 3'ü kâğıt üzerinde ya da hesap makinesiyle 4'e bölmektir. Yine 0,75 elde edersin.

2,5 kesir olarak nasıl yazılır?

2,5'in bir ondalık basamağı var, yani 25/10 olur. İki sayı da 5'e bölünür, bu da 5/2 sonucunu verir. Tam kısmı ayrı da tutabilirsin. 2 olduğu gibi kalır, 0,5 ise 5/10 olur ve sadeleşince 1/2 olur. Yani 2,5 = 5/2 = 2 1/2.

0,125 kesir olarak nasıl yazılır?

0,125'in üç ondalık basamağı var, yani 125/1000 olur. İki sayı da 125'e bölünür, bu da 1/8 sonucunu verir. Bunu hatırlamaya değer, çünkü sekizde birler tariflerde, ölçümlerde ve okul alıştırmalarında sık karşına çıkar.

Cevap tam sayılı kesir mi, bileşik kesir mi olmalı?

İkisi de doğrudur. 1,25 sayısı 5/4 olarak (payı paydasından büyük olan bir bileşik kesir) ya da 1 1/4 olarak (bir tam kısmı ve bir kesir kısmı olan tam sayılı kesir) yazılabilir. Bazı yerlerde öğretmenler bir biçimi tercih eder, bu yüzden alıştırmanın ne istediğine bak. Bir biçimden diğerine geçmek için şunu hatırla: 5/4 kesri dört çeyrek (bir bütün) artı bir çeyrek daha demektir.

Kesir nasıl sadeleştirilir?

Bir kesri sadeleştirmek için payı ve paydayı, ikisini de bölen en büyük sayıya, yani en büyük ortak bölene (EBOB) böl. Bunu hemen göremiyorsan, ikisini birden bölen başka bir sayı kalmayana kadar 2, 5 ya da 10 gibi küçük sayılarla tekrar tekrar böl. İkisini de bölen tek sayı 1 olduğunda kesir tamamen sadeleşmiş demektir.

Örnek

0,36'yı çevir. İki ondalık basamağı var, yani 36/100 olarak başlar. İki sayı da 4'e bölünür, bu da 9/25 sonucunu verir. Artık 9 ile 25'in 1'den başka ortak böleni yok, yani 9/25 en sade hâldir.

Daha küçük adımlarla da ilerleyebilirsin. 36/100 kesrini 2'ye bölersen 18/50, tekrar 2'ye bölersen 9/25 olur. Aynı yere varırsın. En büyük ortak böleni hızlıca bulmak başlı başına bir beceridir ve EBOB oyunu bunu hızlı bir meydan okumaya dönüştürür. Daha uzun kesir alıştırmalarından önce iyi bir ısınmadır.

Hangi ondalık sayıları ezbere bilmeye değer?

Küçük bir grup ondalık sayı tekrar tekrar karşına çıkar ve bunların kesir karşılıklarını bilmek zaman kazandırır. Bunlar arasında yarımlar, çeyrekler, beşte birler ve sekizde birler, ayrıca üçte birlerin devirli ondalık sayıları vardır. Bunları ezberlediğinde, çoğu zaman hiçbir şey yazmadan bir ondalık sayıyı kafandan çevirebilirsin.

• 0,1 = 1/10
• 0,2 = 1/5
• 0,25 = 1/4
• 0,4 = 2/5
• 0,5 = 1/2
• 0,6 = 3/5
• 0,75 = 3/4
• 0,8 = 4/5
• 0,125 = 1/8
• 0,375 = 3/8
• 0,625 = 5/8
• 0,875 = 7/8
• 0,333… = 1/3
• 0,666… = 2/3
• 0,1666… = 1/6
• 0,111… = 1/9

Örnek

0,625 nedir? 0,125 = 1/8 olduğunu biliyorsan, 0,625 bunun beş katıdır, yani 5/8 eder. Bunun gibi bildiğin eşitlikler, yenilerini kurmanı sağlar. İki biçim arasında gidip gelmek düzenli kullanımla çok hızlanır. Ondalık sayılar oyunu ya da kesirler oyunu ile oynanan kısa turlar da bu hızı kazanmanın eğlenceli bir yoludur. Günde birkaç dakika bile yukarıdaki listeyi tanıdık hâle getirir.

Devirli ondalık sayı kesre nasıl çevrilir?

Aynı rakamların virgülden hemen sonra tekrar ettiği bir ondalık sayıda, tekrar eden kısmı pay olarak yaz, paydaya da aynı sayıda 9 koy. Tekrar eden bir rakamda payda 9, iki rakamda 99, üç rakamda 999 olur. Sonra sadeleştir. Yani 0,777… = 7/9 ve 0,272727… = 27/99 olur, bu da sadeleşince 3/11 eder.

Örnek

0,454545… sayısını kesre çevir. Tekrar eden kısım 45'tir ve iki basamaklıdır, yani paydaya 99 gelir. Bu da 45/99 eder. İki sayı da 9'a bölünür, yani cevap 5/11 olur. Bunu 5'i 11'e bölerek kontrol edebilirsin, yine 0,454545… elde edersin.

0,1666… gibi tekrarın daha sonra başladığı durumlarda 9 kuralı ek bir adım gerektirir. Her zaman işe yarayan bir yöntem biraz cebir kullanır:

1. Sayıya x de. Yani x = 0,1666…
2. Tekrar etmeyen rakamı virgülün önüne geçirmek için 10 ile çarp. 10x = 1,666…
3. Bir tam tekrarı da öne geçirmek için 100 ile çarp. 100x = 16,666…
4. Üçüncü satırdan ikinci satırı çıkar. Tekrar eden kısımlar birbirini götürür. 90x = 15.
5. Böl. x = 15/90, bu da sadeleşince 1/6 olur.

0,333 ile 1/3 aynı şey mi?

Hayır. Tam olarak üç basamaklı 0,333 sayısı 333/1000 kesrine eşittir ve 1/3 değerinden azıcık küçüktür. Yalnızca 3'lerin sonsuza kadar sürdüğü 0,333… tam olarak 1/3 değerine eşittir. Devirli bir ondalık sayı yazarken, tekrar ettiğini üç noktayla ya da tekrar eden rakamların üzerine bir çizgi çizerek göster. Aksi hâlde farklı bir sayı yazmış olursun.

0,999… neden 1'e eşittir?

Bu birçok kişiyi şaşırtır. 1/3 = 0,333… eşitliğinden başla. İki tarafı da 3 ile çarp. Sol tarafta 3/3 elde edersin, bu da 1 eder. Sağ tarafta 0,999… elde edersin. Yani 0,999… = 1. 9 kuralı da aynı sonucu verir, çünkü 0,999… = 9/9 = 1. Bu, 1'in hemen altındaki bir sayı değil, 1'i yazmanın başka bir yoludur.

Ondalık sayıları kesre çevirirken hangi hatalar yapılır?

En sık yapılan hatalar, paydaya yanlış sayıda sıfır koymak, sadeleştirmeyi unutmak, tam kısmı kaybetmek ve kesilmiş bir ondalık sayıyı devirliymiş gibi ele almaktır. Payı paydaya bölerek cevabını kontrol edersen her birini kolayca yakalarsın.

Örnek

Bir öğrenci 0,05'i çeviriyor ve 5/10 yazıyor. Bu 0,5 eder, yani on kat büyük. 0,05'in iki ondalık basamağı var, bu yüzden paydası 100 olur. Doğru cevap 5/100, bu da sadeleşince 1/20 olur.

Şunlara dikkat et:

1. 10'un yanlış kuvveti. Sıfırlar dahil virgülden sonraki her rakamı say. 0,05'in bir değil, iki basamağı var.
2. Sadeleştirmemek. 75/100 doğru ama yarım kalmış bir cevap. Beklenen cevap 3/4.
3. Tam kısmı atlamak. 3,2 sayısı 3 2/10 eder, bu da sadeleşince 3 1/5 ya da 16/5 olur. 2/10 değildir.
4. Devirli bir ondalık sayıyı kesmek. 0,66 = 66/100 = 33/50 iken 0,666… = 2/3.

Hangi kesirler devirli ondalık sayıya dönüşür?

En sade hâlindeki bir kesrin paydasının 2 ve 5'ten başka asal çarpanı yoksa, kesir sonlu bir ondalık sayı verir. Paydanın 3, 7 ya da 11 gibi başka bir asal çarpanı varsa, ondalık sayı sonsuza kadar tekrar eder. Bu, bölmeye başlamadan önce ne bekleyeceğini bilmenin hızlı bir yoludur.

Örnek

3/8 kesrine bak. Paydadaki 8, 2 × 2 × 2'dir, yani ondalık sayı sonlu olur. 3/8 = 0,375. Şimdi 1/6 kesrine bak. Paydadaki 6, 2 × 3'tür ve bu 3, ondalık sayının tekrar edeceği anlamına gelir. 1/6 = 0,1666…. Aynı şekilde 1/7 = 0,142857142857… olur ve altı rakam sonsuza kadar tekrar eder, çünkü 7, 2 ya da 5'ten farklı bir asal sayıdır.

Bu kural, yukarıdaki iki yöntemin neden her durumu kapsadığını da açıklar. Sonlu ondalık sayılar paydasında yalnızca 2'ler ve 5'ler olan kesirlerden, devirli ondalık sayılar ise diğer bütün kesirlerden gelir. Her iki durumda da sonlu ya da devirli bir ondalık sayı, aslında farklı bir biçimde yazılmış bir kesirdir.