Med Pythagoras sats kan du hitta en saknad sida i en rätvinklig triangel när du känner till de andra två. Det är en enda kort formel, a² + b² = c², men elever fastnar ofta på vilken sida som är vilken och när man ska addera eller subtrahera. Den här guiden går igenom båda fallen med exempel, misstagen att se upp med och var satsen dyker upp i vardagen.
Vad är Pythagoras sats?
Pythagoras sats säger att i en rätvinklig triangel är kvadraten på den längsta sidan lika med summan av kvadraterna på de två kortare sidorna. Skrivet som formel blir det a² + b² = c². Här är a och b de två kortare sidorna, som kallas kateter, och c är den längsta sidan, som kallas hypotenusa.
Exempel
Ta en rätvinklig triangel med kateterna 3 cm och 4 cm. Kvadrera båda kateterna. 3² = 9 och 4² = 16. Addera dem så får du 25. Fråga dig nu vilket tal i kvadrat som blir 25. Svaret är 5, så hypotenusan är 5 cm. Du kan kontrollera åt andra hållet, eftersom 5² = 25 = 9 + 16.
Varför fungerar den?
Föreställ dig en kvadrat ritad på varje sida av triangeln. Satsen säger att arean av den stora kvadraten på hypotenusan är lika med de två mindre kvadraterna tillsammans. För triangeln 3, 4, 5 är det 25 = 9 + 16.
Ett sätt att se varför är ett klassiskt bildbevis. Ta fyra kopior av samma rätvinkliga triangel och lägg dem inuti en stor kvadrat, så att en snedställd kvadrat blir kvar i mitten.
Mittkvadraten har sidan c, så dess area är c². Lägg nu om samma fyra trianglar inuti samma stora kvadrat på ett annat sätt. Det tomma utrymmet blir två kvadrater, en med sidan a och en med sidan b. Den stora kvadraten och de fyra trianglarna ändrades inte, så det gjorde inte heller det tomma utrymmet. Det betyder att c² = a² + b².
Hur hittar man hypotenusan?
För att hitta hypotenusan kvadrerar du de två kortare sidorna, adderar resultaten och tar kvadratroten ur summan. Som formel blir det c = √(a² + b²). Svaret är alltid längre än var och en av de två kortare sidorna, vilket är ett snabbt sätt att kontrollera att du inte har räknat fel.
Exempel
En rätvinklig triangel har kateterna 6 m och 8 m.
- Kvadrera varje katet. 6² = 36 och 8² = 64.
- Addera dem. 36 + 64 = 100.
- Ta kvadratroten. √100 = 10.
Hypotenusan är 10 m. Alla svar blir inte heltal. Med kateterna 5 och 7 får du 25 + 49 = 74, och √74 är ungefär 8,60. Om kvadratrötter känns långsamma hjälper några rundor av kvadratrotsspelet dig att snabbt känna igen kvadrattalen. Att se 36, 64 och 100 direkt gör varje steg ovan snabbare.
Hur vet man vilken sida som är hypotenusan?
Hypotenusan är alltid sidan mittemot den räta vinkeln, och den är alltid den längsta sidan. Många elever blir förvirrade när triangeln är vriden eller ritad upp och ned. Leta först upp den lilla kvadraten som markerar den räta vinkeln. Sidan som inte rör det hörnet är hypotenusan, var den än ligger på pappret.
Hur hittar man en saknad kortare sida?
För att hitta en saknad kortare sida kvadrerar du hypotenusan, kvadrerar sidan du känner till och subtraherar den mindre kvadraten från den större. Ta sedan kvadratroten. Som formel blir det a = √(c² − b²). Här subtraherar du eftersom hypotenusan är den största sidan, så dess kvadrat är totalen du utgår från.
Exempel
En rätvinklig triangel har hypotenusan 13 cm och en katet på 5 cm.
- Kvadrera hypotenusan. 13² = 169.
- Kvadrera den kända kateten. 5² = 25.
- Subtrahera. 169 − 25 = 144.
- Ta kvadratroten. √144 = 12.
Den saknade sidan är 12 cm. Kontrollera att det är rimligt. 12 är kortare än 13, som en katet ska vara. Och 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², så triangeln stämmer med satsen.
De två fallen följer en enkel regel. Letar du efter den längsta sidan adderar du. Letar du efter en kortare sida subtraherar du. När regeln känns naturlig är geometrispelet ett roligt ställe att öva triangeluppgifter på. Det kräver snabba svar, vilket hjälper stegen att bli automatiska.
Vilka misstag gör man med Pythagoras sats?
De vanligaste misstagen är att använda satsen på en triangel utan rät vinkel, att addera när man borde subtrahera, att glömma kvadratroten på slutet och att välja fel sida som hypotenusa. Varje misstag är lätt att undvika när du vet att du ska se upp med det.
Exempel
En elev har hypotenusan 10 och en katet på 6, och skriver 10² + 6² = 136, sedan √136 ≈ 11,66. Svaret är längre än hypotenusan, vilket är omöjligt för en katet. Rätt steg är 100 − 36 = 64, och √64 = 8.
Här är misstagen att se upp med:
- Att använda den på vilken triangel som helst. Satsen fungerar bara när en vinkel är exakt 90°.
- Att alltid kalla den okända sidan c. Bara hypotenusan är c. Om den okända sidan är en katet subtraherar du.
- Att sluta före kvadratroten. 6² + 8² = 100 ger c², inte c. Sidan är √100 = 10.
- Att tro att √(a² + b²) är samma sak som a + b. Med 3 och 4 är √(9 + 16) = 5, medan 3 + 4 = 7.
- Att avrunda för tidigt. I uppgifter med flera steg behåller du det exakta värdet till slutet och avrundar bara det slutliga svaret.
Gäller Pythagoras sats för alla trianglar?
Nej. Pythagoras sats gäller bara för rätvinkliga trianglar, som har en vinkel på exakt 90°. Den fungerar också omvänt. Om de tre sidorna i en triangel uppfyller a² + b² = c² måste triangeln ha en rät vinkel. Den omvända versionen är ett pålitligt sätt att kontrollera om ett hörn är rätvinkligt.
Exempel
Är en triangel med sidorna 5, 12 och 13 rätvinklig? Kvadrera de två kortare sidorna och addera dem. 25 + 144 = 169. Kvadrera den längsta sidan. 13² = 169. De stämmer överens, så ja.
Hur är det med sidorna 6, 7 och 9? 36 + 49 = 85, men 9² = 81. De stämmer inte, så triangeln har ingen rät vinkel. Eftersom 85 är större än 81 är alla dess vinklar mindre än 90°.
Byggare använder samma idé. För att kontrollera att ett hörn är rätvinkligt mäter de 3 enheter längs en vägg och 4 enheter längs den andra. Om avståndet mellan de två markeringarna är exakt 5 enheter är hörnet en rät vinkel. Vilken enhet som helst fungerar, till exempel meter eller steg på 30 cm, så länge alla tre mätningarna använder samma.
Vad är en pythagoreisk trippel?
En pythagoreisk trippel är tre heltal som uppfyller a² + b² = c² exakt. Den mest kända är 3, 4, 5. Andra är 5, 12, 13, sedan 8, 15, 17 och 7, 24, 25. Om du multiplicerar varje tal i en trippel med samma tal får du en ny trippel, till exempel 6, 8, 10.
Exempel
Kontrollera 8, 15, 17. 8² = 64 och 15² = 225. Tillsammans blir det 289. Och 17² = 289. Det stämmer. Att dubbla 3, 4, 5 ger 6, 8, 10, och att tredubbla den ger 9, 12, 15. Båda de stämmer också. Kan du några tripplar utantill ser du svaren direkt i många uppgifter.
Är svaret exakt, eller bara ungefärligt?
Svaret från Pythagoras sats är exakt, men det är inte alltid ett heltal. En rätvinklig triangel med två kateter på 1 har en hypotenusa på exakt √2. Som decimaltal tar √2 aldrig slut, så 1,414 är bara ett närmevärde. Därför ber många lärare dig att låta svaret stå som √2.
Exempel
Kontrollera decimalversionen. 1,414² = 1,999396, vilket är nära 2 men inte lika med 2. Värdet √2 är den exakta längden. Skriv √2 när uppgiften ber om ett exakt svar, och avrunda bara när den ber om ett decimaltal, till exempel med två decimaler (1,41).
Var används Pythagoras sats i verkligheten?
Pythagoras sats används när någon behöver ett avstånd som inte går att mäta direkt. Byggare använder den för att kontrollera räta hörn, man använder den för att ställa en stege säkert, skärmstorlekar mäts med den, och på en karta ger den fågelvägsavståndet mellan två punkter.
Exempel
En stege är 4 m lång och dess fot står 1 m från en vägg. Hur högt upp på väggen når den? Stegen är hypotenusan, så du subtraherar. 4² − 1² = 16 − 1 = 15, och √15 är ungefär 3,87 m.
Några fler vardagliga användningar:
- Skärmstorlekar. En skärm som är 40 cm bred och 30 cm hög har en diagonal på √(1600 + 900) = √2500 = 50 cm.
- Avstånd på en karta. Gå 3 km österut och sedan 4 km norrut, så hamnar du 5 km från där du började, räknat fågelvägen.
- Räta hörn. Kontrollen med 3, 4, 5 ovan används för väggar, odlingsbäddar och klinkergolv.
Vem upptäckte Pythagoras sats först?
Satsen är uppkallad efter den grekiske tänkaren Pythagoras, men idén är mycket äldre. En babylonisk lertavla som kallas Plimpton 322, daterad till omkring 1800 f.Kr., listar tal från pythagoreiska tripplar mer än 1000 år innan Pythagoras levde, som en artikel om forskning vid UNSW Sydney förklarar. Liknande idéer finns i tidig indisk och kinesisk matematik.
Träna dessa härnäst