Phi, talet med ett stort rykte
Matematiker skriver det med den grekiska bokstaven φ (phi), och det har rykte om sig att gömma sig i solrosor, berömda byggnader och vackra ansikten. En del av ryktet är förtjänat, men mycket av det är det inte. Här kommer matematiken först och sedan den ärliga versionen av var gyllene snittet faktiskt dyker upp.
Hur räknar man ut gyllene snittet?
Gyllene snittet räknas ut med formeln φ = (1 + √5) : 2. Kvadratroten ur 5 är ungefär 2,236, så du lägger till 1, delar med 2 och får ungefär 1,618. Decimalerna tar aldrig slut och upprepar sig aldrig, eftersom φ är ett irrationellt tal. För det mesta i vardagen räcker 1,618 gott.
Exempel
Räkna ut det på miniräknaren i tre steg.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Alltså är φ ≈ 1,618. Behöver du mer precision är φ = 1,6180339887 med tio decimaler.
Var kommer formeln för φ ifrån?
Ta en sträcka och dela den i en lång del a och en kort del b. Delningen är gyllene när hela sträckan förhåller sig till den långa delen på samma sätt som den långa delen förhåller sig till den korta. Med symboler blir det (a + b) : a = a : b. Det gemensamma värdet är φ.
Låt nu den korta delen vara 1, så att den långa delen är φ. Regeln blir (φ + 1) : φ = φ. Multiplicera båda leden med φ så får du φ² = φ + 1, eller φ² − φ − 1 = 0. Det är en andragradsekvation, och dess positiva lösning är (1 + √5) : 2. Britannica beskriver samma omskrivning till x² − x − 1 = 0.
Varför liknar 1,618, 0,618 och 2,618 varandra så mycket?
Eftersom φ² = φ + 1 innebär kvadrering av φ bara att man lägger till 1. Alltså är φ² ≈ 2,618. Delar du samma ekvation med φ får du φ = 1 + 1 : φ, vilket betyder att 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Därför har tre olika tal samma decimaler.
Varför är gyllene snittet så speciellt?
Gyllene snittet är speciellt eftersom φ är det enda positiva tal vars kvadrat är talet plus ett och vars inverterade värde är talet minus ett. Det kopplar också ihop geometri och räkning. Samma värde dyker upp när du delar en sträcka på ett balanserat sätt, när du ritar en regelbunden femhörning och när du delar grannar i Fibonaccis talföljd med varandra.
Exempel
I en regelbunden femhörning med sidan 1 är varje diagonal (linjen från ett hörn till ett hörn som inte är granne) exakt φ lång, ungefär 1,618. Därför är den femuddiga stjärnan som ritas inuti en femhörning full av gyllene snitt. Varje udd i stjärnan delas av de andra linjerna enligt gyllene snittet.
Idén är mycket gammal. Britannica för den tillbaka till Euklides, som i sina Elementa kallade det att dela en sträcka i ”yttersta och mellersta förhållande”.
Är gyllene snittet samma sak som pi?
Nej. Pi (π ≈ 3,14) är förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter, medan gyllene snittet (φ ≈ 1,618) kommer från att dela en sträcka. Båda är irrationella tal med oändligt många decimaler, vilket förmodligen är varför folk blandar ihop dem. De har olika värden och kommer från olika figurer.
Är gyllene snittet och Fibonaccis talföljd samma sak?
Gyllene snittet och Fibonaccis talföljd är inte samma sak, men de hänger nära ihop. Fibonaccis talföljd är en lista med heltal där varje tal är summan av de två föregående. Om du delar varje Fibonaccital med det föregående kommer svaren närmare och närmare gyllene snittet.
Exempel
Ta grannar ur Fibonaccis talföljd och dela.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
Svaren hoppar över och under 1,618 och stabiliseras snabbt. Vid 144 : 89 stämmer resultatet redan med φ på tre decimaler. Det är en fin miniräknaraktivitet för barn, eftersom de kan se ett mönster växa fram ur vanlig division.
Att hitta regeln bakom en lista med tal är en färdighet som sträcker sig långt bortom Fibonacci. I talföljdsspelet är varje attack en talföljd med ett tal som saknas, och du måste upptäcka regeln före din motståndare.
I rundan ovan är varje tal 5 större än det föregående, så talet som saknas är 24.
Hur ritar man en gyllene rektangel?
I en gyllene rektangel är den långa sidan ungefär 1,618 gånger så lång som den korta. För att rita en multiplicerar du den korta sidan med 1,618, eller delar den långa sidan med 1,618 för att få fram den korta. Du kan också konstruera en helt exakt med passare, med en kvadrat som utgångspunkt, utan att mäta en enda decimal.
Exempel
Om den korta sidan är 10 cm är den långa sidan 10 · 1,618 ≈ 16,2 cm. Om en webbsida är 1000 pixlar bred och du vill dela den enligt gyllene snittet delar du med φ. Då får du en huvudspalt på ungefär 618 pixlar och en sidospalt på ungefär 382 pixlar.
Följ de här stegen för att rita den med passare.
- Rita en kvadrat med sidan 1 (till exempel 1 decimeter).
- Markera mittpunkten på den nedre sidan.
- Sätt passarspetsen i mittpunkten och öppna passaren så att den når det övre hörnet på motsatta sidan. Det avståndet är √5 : 2, ungefär 1,118.
- Slå en båge ner till den förlängda nedre linjen. Den nya längden är 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Gör färdigt rektangeln. Sidorna är 1 och φ.
Om du skär bort kvadraten från en gyllene rektangel blir biten som är kvar en ny gyllene rektangel. Upprepa det och rita en kvartscirkel i varje kvadrat, så får du spiralen som ofta syns på bilder av gyllene snittet. Sådan geometri är också en del av geometrispelet, där former, vinklar och areor blir snabba utmaningar.
Var finns gyllene snittet i naturen?
Det tydligaste exemplet i naturen är hur många växter placerar sina blad och frön. I en solros växer varje nytt frö med ungefär samma vridning från det förra, ungefär 137,5°. Den här gyllene vinkeln packar fröna tätt utan glipor och ger spiraler vars antal ofta är Fibonaccital.
Exempel
Den gyllene vinkeln kommer direkt från φ. Dela ett helt varv med φ² så får du 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Ett annat sätt att se det är att vridningen delar cirkeln i två bågar på ungefär 222,5° och 137,5°, enligt gyllene snittet.
En översiktsartikel från 2022 av forskare vid University of Nottingham, The Golden Ratio in Nature, samlar exempel på många olika skalor och beskriver förhållandets ”tendens att dyka upp inom många olika vetenskapliga och konstnärliga områden”. Tendens är rätt ord. Många växter följer andra mönster, så det är ingen naturlag.
Är nautilusens skal en gyllene spiral?
Oftast inte. Nautilusen växer i en logaritmisk spiral, som behåller formen när den blir större, och det är vackert i sig. Mätningar av riktiga skal ger oftast ett tillväxtförhållande som skiljer sig från φ. En gyllene spiral ritad ovanpå ett foto av en nautilus är en fin bild, inte en mätning.
Finns gyllene snittet verkligen i konst, byggnader och ansikten?
Oftast inte. Påståenden om att Parthenon, berömda målningar eller attraktiva ansikten följer gyllene snittet håller inte när man mäter noggrant. I en artikel från 2022 i The Conversation förklarar matematikern Thomas Britz vid UNSW att φ mycket sällan förekommer i antikens grekiska konst och arkitektur.
Exempel
Det populära påståendet om Parthenon är att fasaden passar in i en gyllene rektangel. Britz skriver att noggranna beräkningar visar att påståendet är fel. Samma sak gäller för ”gyllene snittet-ansiktstester” som sätter betyg på kändisar. Ansiktsmasken som de bygger på har motbevisats, och det finns inget enskilt tal som avgör om ett ansikte är vackert.
En vanlig anledning till att myten lever kvar är att man bara plockar ut de exempel som passar. Nästan varje byggnad eller ansikte har något par längder vars förhållande ligger nära 1,6, särskilt om man själv får välja var man mäter. Förhållanden som 3 : 2 = 1,5 eller 16 : 9 ≈ 1,78 är också behagliga och mycket vanligare på skärmar och foton. Ett rättvist test kontrollerar många föremål och räknar missarna lika noga som träffarna.
Använder konstnärer och formgivare gyllene snittet med flit?
Vissa gör det. Formgivare använder ibland 1,618 som utgångspunkt för layouter, tavelramar eller teckenstorlekar, eftersom det ger en delning som varken är för jämn eller för sned. Det är ett designval, inte ett bevis för att förhållandet döljer sig i allt vackert. Det fungerar precis som vilken annan prydlig proportion som helst.
Gyllene snittet är riktig matematik, inte en skönhetsregel
Gyllene snittet är ett exakt tal, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, med egenskaper som får matematiker att le. Att kvadrera det lägger till 1, att dela 1 med det drar bort 1, och Fibonaccitalen närmar sig det. Det formar fröspiralerna hos många växter, medan de flesta historier om ansikten och berömda byggnader är önsketänkande med måttband.
Ett bra sätt att utforska det tillsammans med ett barn är att hålla det praktiskt. Dela Fibonaccital på miniräknaren, rita en gyllene rektangel med passare eller räkna spiralerna på en kotte. Varje aktivitet visar ett riktigt mönster, och ingen av dem behöver någon myt för att vara spännande.