O círculo trigonométrico, também chamado de círculo unitário, é um círculo de raio 1 desenhado em volta do ponto (0, 0). Parece mais uma tabela para decorar, mas na verdade é uma única ideia. Quando você enxerga essa ideia, consegue montar de novo qualquer valor do círculo em poucos segundos, sem decorar uma longa lista de números.
O que é o círculo trigonométrico?
O círculo trigonométrico é um círculo com raio exatamente 1 e centro na origem (0, 0). Todo ângulo, medido no sentido anti-horário a partir do semieixo positivo de x, cai em um ponto do círculo. Esse ponto sempre tem as coordenadas (cos θ, sen θ). Então a coordenada x é o cosseno do ângulo e a coordenada y é o seno.
Exemplo
Pegue um ângulo de 30°. Trace uma linha a partir do centro, 30° acima do eixo x, até ela encontrar o círculo. O ponto onde ela chega é (√3/2, 1/2), que é cerca de (0,866; 0,5). Isso mostra duas coisas de uma vez. O cosseno de 30° é √3/2 e o seno de 30° é 1/2.
Todo ponto do círculo também satisfaz a equação x² + y² = 1. Confira com o ponto de 30°. (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1. Essa equação é o teorema de Pitágoras disfarçado, porque o raio é o lado maior de um triângulo retângulo com lados x e y.
Por que o cosseno é a coordenada x e o seno é a coordenada y?
Muitos estudantes conhecem as razões seno, cosseno e tangente, mas não veem onde o círculo entra. Desenhe um triângulo retângulo dentro do círculo, com o raio como lado maior (a hipotenusa). O lado de baixo fica sobre o eixo x e o lado vertical sobe até o ponto no círculo.
O cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa. No círculo trigonométrico a hipotenusa é 1, então o cosseno é simplesmente o comprimento do lado de baixo, que é a coordenada x. Do mesmo jeito, o seno é o cateto oposto dividido por 1, que é a altura, ou seja, a coordenada y. O círculo só elimina a divisão.
Por que o círculo trigonométrico usa radianos?
O círculo trigonométrico usa radianos porque, com raio 1, o ângulo em radianos é exatamente o comprimento do arco que você percorre no círculo. Uma volta completa tem 360°, e o comprimento total da circunferência é 2π. Então 360° equivalem a 2π radianos, e 180° equivalem a π radianos.
Exemplo
Para passar de graus para radianos, multiplique por π e divida por 180. Para 60°, isso dá 60 × π / 180 = π/3. Para voltar, multiplique por 180 e divida por π. Então π/4 radianos é 180 / 4 = 45°.
Ângulos como π/8 costumam confundir os estudantes porque não aparecem na tabela padrão. O truque é pensar em frações de meia volta. π é meia volta, π/4 é um quarto dessa meia volta (45°) e π/8 é metade de π/4, ou seja, 22,5°. Você o coloca no meio do caminho entre 0 e o ponto de 45°.
Os radianos também importam mais adiante. No cálculo, as regras do seno e do cosseno só funcionam de forma tão simples quando os ângulos estão em radianos. É por isso que os professores passam para radianos assim que o círculo trigonométrico aparece.
Como lembrar o círculo trigonométrico sem decorar?
Você só precisa dos valores de 0°, 30°, 45°, 60° e 90°. Todo o resto do círculo é um reflexo desses cinco. Abaixo estão três jeitos de montá-los de novo, e nenhum deles depende de uma frase num idioma específico. Escolha o que parecer mais natural para você.
Monte a partir de dois triângulos
Corte um quadrado pela diagonal e você terá um triângulo retângulo com dois ângulos de 45°, então os dois catetos são iguais. Faça o lado maior medir 1, como o raio. Os dois catetos então precisam satisfazer x² + y² = 1, e com x = y isso significa que cada um mede √2/2. Então o ponto de 45° é (√2/2, √2/2).
Agora desenhe um triângulo equilátero de lado 2 e corte-o ao meio. Você obtém um triângulo com ângulos de 30°, 60° e 90°, com lados 1, √3 e 2. Divida cada lado por 2 para que o lado maior passe a medir 1. Os lados agora são 1/2, √3/2 e 1, o que dá os pontos de 30° e de 60°.
Use o padrão das raízes quadradas
Escreva os números 0, 1, 2, 3, 4 embaixo dos ângulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Tire a raiz quadrada de cada número e divida por 2. Essa linha dá o seno de cada ângulo. Leia a mesma linha de trás para frente para obter o cosseno.
- Seno de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- Cosseno dos mesmos ângulos: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
Conte na mão
Levante a mão esquerda, com a palma virada para você. O polegar representa 90°, depois o indicador representa 60°, o dedo médio 45°, o anelar 30° e o mindinho 0°. Para achar os valores de um ângulo, abaixe o dedo dele.
Conte os dedos que ficam do lado do mindinho em relação ao dedo abaixado, tire a raiz quadrada desse número e divida por 2. Isso dá o seno. Os dedos do lado do polegar dão o cosseno do mesmo jeito.
Para 30°, abaixe o anelar. Há um dedo (o mindinho) do lado do mindinho, então o seno é √1/2 = 1/2. Há três dedos do lado do polegar, então o cosseno é √3/2.
Cada método dá os mesmos cinco pontos. Algumas rodadas do jogo de trigonometria mostram rapidinho se você consegue lembrar os valores de seno e cosseno com um pouco de pressão de tempo. Uma prática curta e frequente como essa fixa os valores muito melhor do que uma única sessão longa.
Precisa decorar o círculo trigonométrico inteiro?
Não. Você precisa do primeiro quadrante (de 0° a 90°) e de um jeito confiável de refleti-lo. Estudantes que decoram a tabela inteira para uma prova costumam esquecê-la algumas semanas depois. Estudantes que entendem os triângulos e os reflexos conseguem montá-la de novo a qualquer momento, e é isso que os conteúdos mais avançados, como o cálculo, realmente pedem.
Como os sinais mudam em cada quadrante?
O círculo tem quatro quadrantes. Em cada um, os tamanhos das coordenadas correspondem a um ângulo do primeiro quadrante, e só os sinais mudam. No primeiro quadrante, x e y são positivos. No segundo, x é negativo. No terceiro, os dois são negativos. No quarto, y é negativo.
Exemplo
Ache o ponto de 150°. Ele fica no segundo quadrante, 30° antes de 180°. Então ele é o reflexo do ponto de 30° em relação ao eixo y. O ponto de 30° é (√3/2, 1/2). Ao refletir, a coordenada x fica negativa, então o ponto de 150° é (−√3/2, 1/2).
- Primeiro quadrante (de 0° a 90°): x é positivo, y é positivo
- Segundo quadrante (de 90° a 180°): x é negativo, y é positivo
- Terceiro quadrante (de 180° a 270°): x é negativo, y é negativo
- Quarto quadrante (de 270° a 360°): x é positivo, y é negativo
Uma conferência rápida é imaginar o ponto num gráfico comum. À esquerda do eixo y, x é negativo, e abaixo do eixo x, y é negativo. Você não precisa decorar esta lista se consegue imaginar onde o ponto está.
O que é a tangente no círculo trigonométrico?
A tangente de um ângulo é a coordenada y dividida pela coordenada x, então tg θ = sen θ / cos θ. Para 60°, isso dá (√3/2) ÷ (1/2) = √3, cerca de 1,732. Em 90° e 270° a coordenada x é 0, e não dá para dividir por 0, então a tangente não está definida nesses ângulos.
Para que serve o círculo trigonométrico?
O círculo trigonométrico é o motivo de o seno e o cosseno funcionarem para qualquer ângulo, e não só para os ângulos de dentro de um triângulo retângulo. Isso faz dele a base de tudo o que se repete ou gira. Ondas sonoras, ondas de luz, a corrente alternada, o movimento de um pêndulo e os ponteiros de um relógio são todos descritos com seno e cosseno.
Exemplo
Imagine um ponto girando no círculo a uma velocidade constante. A altura dele sobe até 1, desce até −1 e volta, numa onda suave. Coloque essa altura num gráfico em função do tempo e você terá o gráfico da função seno. Engenheiros usam exatamente essa ideia para descrever vibrações, e quem desenvolve jogos e animações a usa para girar objetos na tela.
Um quadrante e dois triângulos dão o círculo inteiro
Aqui estão os ângulos principais com suas coordenadas. Use a lista como referência, mas tente montar cada linha com os triângulos ou com o truque da mão antes de olhar.
- 0° (0): (1, 0), tg θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tg θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tg θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tg θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tg θ = não definida
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tg θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tg θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tg θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tg θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tg θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tg θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tg θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tg θ = não definida
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tg θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tg θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tg θ = −√3/3
Se uma linha parecer difícil, volte ao primeiro quadrante, ache o ângulo correspondente e decida os sinais pelo quadrante. Esse único hábito substitui a lista inteira.
Treine estes a seguir