1 é um número primo? O que são números primos e como identificá-los rápido

O que é um número primo?

1 é um número primo? Não. Um número primo é um número natural com exatamente dois divisores diferentes: o 1 e o próprio número. Por exemplo, 7 é primo porque só 1 e 7 o dividem sem deixar resto. O número 1 tem só um divisor, então não cumpre essa regra. Ele também não é composto, o que coloca o 1 num grupo só dele.

1 é um número primo?

Não, 1 não é um número primo. Um número primo precisa ter exatamente dois divisores diferentes, e o 1 tem só um. Ele também não é composto, porque os números compostos têm mais de dois divisores. Por isso, os matemáticos classificam o 1 como nem primo nem composto. O menor número primo é o 2, com os divisores 1 e 2.

Exemplo

Veja os divisores dos números de 1 a 6.

• 1 tem um divisor (1), então não é nem primo nem composto.
• 2 tem dois divisores (1 e 2), então é primo.
• 3 tem dois divisores (1 e 3), então é primo.
• 4 tem três divisores (1, 2 e 4), então é composto.
• 5 tem dois divisores (1 e 5), então é primo.
• 6 tem quatro divisores (1, 2, 3 e 6), então é composto.

Só o 1 tem um único divisor. Todo número primo tem exatamente dois, e todo número composto tem três ou mais.

Vendo com bolinhas

Faça o teste com bolinhas no papel ou com objetos pequenos, como botões. Seis bolinhas podem formar um retângulo de 2 fileiras de 3, então 6 é composto. Sete bolinhas só formam uma única fileira de 7, por mais que você tente, então 7 é primo. Com uma bolinha só, não há nada para organizar, o que mostra de outro jeito que o 1 se comporta de forma diferente.

Por que tanta gente acha que 1 é primo

Muitos de nós aprendemos que um número primo é um número "divisível apenas por 1 e por ele mesmo". Por essa definição, o 1 parece se encaixar. O problema é que aqui o 1 e "ele mesmo" são o mesmo número, o que dá um divisor, e não dois. Por isso as definições cuidadosas falam em exatamente dois divisores diferentes, ou em "um número natural maior que 1" que é divisível apenas por 1 e por ele mesmo.

Você também pode ler na internet que o 1 "já foi primo". A história real é mais confusa. Os matemáticos da Grécia Antiga nem consideravam o 1 um número, e matemáticos posteriores discordavam sobre isso. Como a Scientific American explica em seu histórico da questão, o matemático britânico G. H. Hardy ainda listava o 1 como primo nas primeiras edições do seu livro didático e mudou isso em 1938. Hoje os matemáticos concordam que 1 não é primo.

Adultos que estudaram matemática por anos às vezes também hesitam aqui. Se o seu filho disse que 1 é primo e a resposta foi marcada como errada, o raciocínio dele não era bobo. Só faltava um pequeno detalhe na regra de que ele se lembrava.

2 é um número primo?

Sim. O número 2 é o menor primo e o único par. Todos os outros números pares podem ser divididos por 2, o que lhes dá pelo menos três divisores (1, 2 e o próprio número). Então, depois do 2, todo primo é ímpar, embora muitos números ímpares sejam compostos.

0 é um número primo?

Não. O zero não é nem primo nem composto. Todo número natural, exceto o 0, divide o 0 sem deixar resto, então o 0 tem muito mais de dois divisores. Primo e composto só se usam para números naturais maiores que 1, o que deixa o 0 e o 1 fora desses dois grupos.

Como saber rápido se um número é primo?

Divida o número só pelos primos pequenos, começando por 2, 3, 5 e 7. Você pode parar quando o primo que está testando, multiplicado por ele mesmo, for maior que o seu número. Se nenhum desses primos dividir sem deixar resto, o número é primo. Para qualquer número menor que 100, testar 2, 3, 5 e 7 é suficiente.

Exemplo

91 é primo?

1. Ele é ímpar, então 2 não o divide.
2. A soma dos seus algarismos é 9 + 1 = 10. Isso não é múltiplo de 3, então 3 não o divide.
3. Ele não termina em 0 nem em 5, então 5 não o divide.
4. Tente o 7. Como 7 × 13 = 91, o número 91 não é primo.

97 é primo? Ele é ímpar, a soma dos seus algarismos é 16 e ele não termina em 0 nem em 5. A divisão dá 97 ÷ 7 = 13 com resto 6. O próximo primo é 11, e 11 × 11 = 121 já é maior que 97. Você pode parar aí, então 97 é primo.

Por que dá para parar cedo

Os divisores vêm em pares. Para 36, os pares são 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 e 6 × 6. Em cada par, um dos divisores é 6 ou menor, porque 6 × 6 = 36. Então, se você não achar nenhum divisor até esse ponto, também não existe nenhum depois dele.

Os filtros rápidos

• Se um número termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ele é divisível por 2. Só o próprio 2 é primo.
• Se a soma dos algarismos é múltiplo de 3, o número é divisível por 3. Só o próprio 3 é primo.
• Se um número termina em 0 ou 5, ele é divisível por 5. Só o próprio 5 é primo.
• Para o 7, é só dividir.

A rapidez vem de ver muitos números. Quando os filtros ficarem familiares, algumas rodadas identificando primos contra o relógio no Math Max transformam tudo em hábito, porque cada resposta certa é um ataque ao outro lutador. O jogo roda de graça no navegador, então não precisa instalar nada.

Quais números parecem primos, mas não são?

Os números armadilha clássicos são 51, 57 e 91. Eles são ímpares, não terminam em 5 e têm cara de primo. Mas 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 e 91 = 7 × 13. A maioria dos números armadilha é pega pelo critério de divisibilidade por 3 ou por uma divisão rápida por 7.

Exemplo

• 39 = 3 × 13. A soma dos algarismos é 12, um múltiplo de 3.
• 51 = 3 × 17. A soma dos algarismos é 6, um múltiplo de 3.
• 57 = 3 × 19. A soma dos algarismos é 12, um múltiplo de 3.
• 87 = 3 × 29. A soma dos algarismos é 15, um múltiplo de 3.
• 91 = 7 × 13. A divisão por 7 o desmascara.
• 119 = 7 × 17. A divisão por 7 o desmascara.
• 133 = 7 × 19. A divisão por 7 o desmascara.

Até especialistas caem nessa

O número 57 é chamado, de brincadeira, de primo de Grothendieck, por causa de uma história de que o famoso matemático Alexander Grothendieck o usou certa vez como exemplo de número primo.

Quando o blog de matemática The Aperiodical analisou os resultados de um jogo online chamado "Is this prime?", o 51 foi confundido com um primo ainda mais vezes que o 57. Muitos jogadores também disseram que 39 era primo. O primo chamado de composto por engano com mais frequência foi o 59, então os erros acontecem nos dois sentidos.

Dois atalhos falsos causam a maior parte desses deslizes. Um é "números ímpares são primos", algo que 9, 15 e 21 desmentem. O outro é "números terminados em 1, 3, 7 ou 9 são primos", mas esses finais só descartam 2 e 5 como divisores.

Números primos até 100

Na dúvida, confira a lista. Existem 25 números primos menores que 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

A lista nunca acaba, porque o matemático grego da Antiguidade Euclides provou que existem infinitos números primos.

Dois divisores diferentes: essa é a regra toda

Um número primo precisa ter exatamente dois divisores diferentes, e o 1 tem só um, então 1 não é primo. A mesma regra explica por que o 2 é primo e por que o 0 não é. Para verificar um número rápido, teste os primos pequenos, pare na raiz quadrada e fique de olho em armadilhas como 51 e 91.