Vergelijking van een lijn door een punt, en wanneer kies je y = ax + b?

Hoe stel je de vergelijking van een lijn door een punt op?

Vul de richtingscoëfficiënt in op de plek van a, en de coördinaten van een punt dat je kent op de plek van x₁ en y₁. Laat x en y als letters staan. Die staan voor alle andere punten op de lijn. De vergelijking van een lijn door een punt gebruik je als je één punt op de lijn en de richtingscoëfficiënt kent.

Voorbeeld

Stel de vergelijking op van de lijn door (2, 3) met richtingscoëfficiënt 2.

1. Het punt geeft x₁ = 2 en y₁ = 3.
2. De richtingscoëfficiënt geeft a = 2.
3. Invullen: y − 3 = 2(x − 2).

Klaar, er valt niets meer te vereenvoudigen. Wil je het zeker weten, test dan een tweede punt. Vanaf (2, 3) één stap naar rechts en twee omhoog kom je uit op (3, 5). Vul die getallen in: links 5 − 3 = 2, rechts 2(3 − 2) = 2. Klopt.

Zie je dat (2, 3) gewoon in de vergelijking staat? Bij het tekenen zet je je potlood eerst op dat punt en werk je van daaruit verder.

Hoe vind je de vergelijking van een lijn door twee punten?

Bereken eerst de richtingscoëfficiënt met a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Neem daarna een van de twee punten en vul dat samen met die richtingscoëfficiënt in y − y₁ = a(x − x₁) in. Welk punt je kiest, maakt niet uit. De vergelijkingen zien er anders uit, maar na het vereenvoudigen beschrijven ze dezelfde lijn.

Voorbeeld

Zoek de lijn door (1, −2) en (4, 7).

1. Richtingscoëfficiënt: a = (7 − (−2)) : (4 − 1) = 9 : 3 = 3
2. Met (1, −2): y − (−2) = 3(x − 1), dus y + 2 = 3(x − 1)
3. Met (4, 7): y − 7 = 3(x − 4)

Werk je bij een van beide de haakjes weg, dan krijg je y = 3x − 5. Dat is handig om te weten voordat je huiswerk met de antwoorden vergelijkt. Heeft een leerling (4, 7) gebruikt en het antwoordenboek (1, −2), dan zie je twee verschillende vergelijkingen, en geen van beide is fout.

Waarom verandert een negatief punt de tekens?

De formule trekt de coördinaten van het punt af. Is een coördinaat negatief, dan trek je een negatief getal af, en dat wordt een plus. Het punt (−4, −1) geeft dus y + 1 en x + 4. Schrijf de haakjes eerst helemaal uit voordat je vereenvoudigt, dan voorkom je het makkelijkst dat een teken verkeerd omslaat.

Voorbeeld

Stel de vergelijking op van de lijn door (−4, −1) met richtingscoëfficiënt 1/2.

1. Met haakjes: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Vereenvoudigd: y + 1 = 1/2(x + 4)

Het werkt ook andersom. Bij y + 5 = −2(x − 6) ligt het punt (6, −5) op de lijn, niet (6, 5). Welk teken je ook in de vergelijking ziet, de coördinaat heeft het tegenovergestelde.

Hoe schrijf je de vergelijking om naar y = ax + b?

Werk de haakjes weg en breng dan het getal aan de linkerkant naar de andere kant, zodat y alleen staat. Je krijgt dan de vorm y = ax + b. De richtingscoëfficiënt verandert niet bij het omschrijven, en het getal dat aan het eind los overblijft is het startgetal, de plek waar de lijn de y-as snijdt.

Voorbeeld

Schrijf y − 3 = 2(x − 2) om.

1. Haakjes wegwerken: y − 3 = 2x − 4
2. Aan beide kanten 3 optellen: y = 2x − 1

De richtingscoëfficiënt is nog steeds 2, en de lijn snijdt de y-as in (0, −1). Dat punt zie je in de grafiek hierboven. De andere kant op gaat net zo snel. Neem y = −3x + 5, kies x = 1, en je krijgt y = 2. Het punt (1, 2) en de richtingscoëfficiënt −3 geven y − 2 = −3(x − 1).

Welke vorm gebruik je?

Kies de vorm die past bij wat je al weet.

• De vergelijking door een punt, als je een punt en de richtingscoëfficiënt hebt, of twee punten.
• De vorm y = ax + b, als je de richtingscoëfficiënt en het startgetal wilt aflezen of de grafiek wilt tekenen.
• De algemene vorm Ax + By = C, als je de snijpunten van de lijn met beide assen nodig hebt.

Veel docenten willen het eindantwoord in de vorm y = ax + b. Niets houdt je tegen om met de vergelijking door een punt te beginnen en aan het eind om te schrijven.

Waar komt de formule voor een lijn door een punt vandaan?

Het is de formule voor de richtingscoëfficiënt, anders opgeschreven. Kies een vast punt (x₁, y₁) op een lijn en een willekeurig ander punt (x, y) op dezelfde lijn. De richtingscoëfficiënt tussen die twee is a = (y − y₁) : (x − x₁). Vermenigvuldig beide kanten met (x − x₁) en je hebt y − y₁ = a(x − x₁).

Voorbeeld

Blijf bij de lijn door (2, 3) met richtingscoëfficiënt 2, en test het punt (5, 9). De richtingscoëfficiënt van (2, 3) naar (5, 9) is (9 − 3) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2. Dezelfde richtingscoëfficiënt, dus (5, 9) ligt op de lijn. Precies dat zegt de vergelijking: 9 − 3 = 2(5 − 2).

Het gratis lesboek OpenStax Elementary Algebra 2e (Engelstalig) leidt de formule op dezelfde manier af. Daarna gebruikt het de formule voor lijnen door twee punten en voor evenwijdige en loodrechte lijnen, en daar gaat het volgende deel verder.

Hoe gebruik je de vergelijking voor evenwijdige en loodrechte lijnen?

Een evenwijdige lijn heeft dezelfde richtingscoëfficiënt als de oorspronkelijke lijn. Een loodrechte lijn heeft het negatief omgekeerde, dus je draait de breuk om en verandert het teken. Een richtingscoëfficiënt van 2 wordt −1/2, en −3/4 wordt 4/3. Heb je de nieuwe richtingscoëfficiënt, vul die dan samen met het gegeven punt in de vergelijking door een punt in.

Voorbeeld

Zoek de lijn door (2, 3) die loodrecht staat op y = 2x − 1.

1. De oorspronkelijke richtingscoëfficiënt is 2, oftewel 2/1.
2. Omdraaien en het teken veranderen: −1/2.
3. Vergelijking door een punt: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. Vorm y = ax + b: y = −1/2x + 4

Snelle controle met x = 2: −1/2 · 2 + 4 = 3, en dat is de y-waarde van ons punt. Voor een evenwijdige lijn door (6, 0) houd je richtingscoëfficiënt 2: y − 0 = 2(x − 6), dus y = 2x − 12.

Kan elke lijn zo geschreven worden?

Bijna elke lijn. De uitzondering is een verticale lijn. Alle punten daarop hebben dezelfde x-waarde, dus de stap naar rechts is 0, en een richtingscoëfficiënt zou delen door nul betekenen. Een verticale lijn door (3, 1) schrijf je daarom als x = 3. Horizontale lijnen geven helemaal geen problemen, want hun richtingscoëfficiënt is gewoon 0.

Voorbeeld

Neem de horizontale lijn door (1, 4). Als vergelijking door een punt is dat y − 4 = 0(x − 1). Nul keer iets is nul, dus de vergelijking krimpt tot y − 4 = 0, oftewel y = 4.

Hoe oefen je de vergelijking van een lijn door een punt?

Snel word je met lijnen door er veel te zien. In het spel over lineaire functies vecht je met vragen over lijnen. Een ronde vraagt misschien de richtingscoëfficiënt van (−2, 2) naar (0, −6), en met een goed antwoord raakt je aanval doel. Die is (−6 − 2) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4.

Het omschrijven is elke keer een kleine vergelijking. Gaat het daar langzaam, dan helpen een paar rondes van het vergelijkingenspel. Dezelfde stappen gebruik je telkens als je een formule omschrijft.

De letter voor de richtingscoëfficiënt verschilt ook per land. In Nederland schrijven we meestal a, Engelse boeken gebruiken m en in sommige landen is het k. Welke letter het ook is, het getal voor de haakjes is de richtingscoëfficiënt, en de getallen tussen de haakjes komen van een punt op de lijn.

Een punt en een richtingscoëfficiënt leggen de lijn vast

Eén punt en een richtingscoëfficiënt leggen een rechte lijn helemaal vast, en de vergelijking door een punt schrijft dat direct op. Vul zorgvuldig in, laat de haakjes staan tot de tekens kloppen, en test het resultaat met een tweede punt. Daarna ben je in twee korte stappen bij y = ax + b.