Phi, het getal met een grote reputatie
Wiskundigen schrijven het met de Griekse letter φ (phi), en het zou zich verstoppen in zonnebloemen, beroemde gebouwen en mooie gezichten. Een deel van die reputatie is terecht, maar veel ervan niet. Eerst de wiskunde, daarna het eerlijke verhaal over waar het echt opduikt.
Hoe bereken je de gulden snede?
Je berekent de gulden snede met de formule φ = (1 + √5) : 2. De wortel van 5 is ongeveer 2,236. Tel er 1 bij op, deel door 2 en je krijgt ongeveer 1,618. De decimalen houden nooit op en herhalen zich nooit, omdat φ een irrationaal getal is. Voor de meeste dagelijkse toepassingen is 1,618 nauwkeurig genoeg.
Voorbeeld
Reken het in drie stappen uit met een rekenmachine.
- √5 ≈ 2,236
- 1 + 2,236 = 3,236
- 3,236 : 2 = 1,618
Dus φ ≈ 1,618. Heb je meer precisie nodig, dan is φ = 1,6180339887 op tien decimalen.
Waar komt de formule voor φ vandaan?
Neem een lijnstuk en verdeel het in een lang deel a en een kort deel b. De verdeling is gulden als het hele lijnstuk zich tot het lange deel verhoudt zoals het lange deel tot het korte deel. In symbolen is dat (a + b) : a = a : b. Die gemeenschappelijke waarde is φ.
Maak nu het korte deel 1, zodat het lange deel φ is. De regel wordt (φ + 1) : φ = φ. Vermenigvuldig beide kanten met φ en je krijgt φ² = φ + 1, oftewel φ² − φ − 1 = 0. Dat is een kwadratische vergelijking, en de positieve oplossing ervan is (1 + √5) : 2. Britannica beschrijft dezelfde omvorming tot x² − x − 1 = 0.
Waarom lijken 1,618, 0,618 en 2,618 zo op elkaar?
Omdat φ² = φ + 1, komt φ kwadrateren neer op er 1 bij optellen. Dus φ² ≈ 2,618. Deel dezelfde vergelijking door φ en je krijgt φ = 1 + 1 : φ, wat betekent dat 1 : φ = φ − 1 ≈ 0,618. Daarom hebben drie verschillende getallen dezelfde decimalen.
Waarom is de gulden snede zo bijzonder?
De gulden snede is bijzonder omdat φ het enige positieve getal is waarvan het kwadraat gelijk is aan het getal plus één, en waarvan het omgekeerde gelijk is aan het getal min één. Ook verbindt het meetkunde met tellen. Dezelfde waarde verschijnt als je een lijnstuk evenwichtig verdeelt, als je een regelmatige vijfhoek tekent en als je opeenvolgende Fibonacci-getallen op elkaar deelt.
Voorbeeld
In een regelmatige vijfhoek met zijden van 1 is elke diagonaal (de lijn van een hoekpunt naar een niet-naburig hoekpunt) precies φ lang, ongeveer 1,618. Daarom zit de vijfpuntige ster in een vijfhoek vol gulden verhoudingen. Elke punt van de ster wordt door de andere lijnen volgens de gulden snede verdeeld.
Het idee is heel oud. Volgens Britannica gaat het terug op Euclides, die het in zijn Elementen de verdeling in "uiterste en middelste reden" noemde.
Is de gulden snede hetzelfde als pi?
Nee. Pi (π ≈ 3,14) is de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter, terwijl de gulden snede (φ ≈ 1,618) voortkomt uit het verdelen van een lijnstuk. Beide zijn irrationale getallen met oneindig veel decimalen, en daarom halen mensen ze waarschijnlijk door elkaar. Ze hebben verschillende waarden en komen uit verschillende figuren.
Zijn de gulden snede en de rij van Fibonacci hetzelfde?
De gulden snede en de rij van Fibonacci zijn niet hetzelfde, maar ze hangen nauw samen. De rij van Fibonacci is een lijst gehele getallen waarin elk getal de som is van de twee getallen ervoor. Deel je elk Fibonacci-getal door het getal ervoor, dan komen de uitkomsten steeds dichter bij de gulden snede.
Voorbeeld
Neem opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci en deel ze.
- 5 : 3 ≈ 1,667
- 8 : 5 = 1,6
- 13 : 8 = 1,625
- 21 : 13 ≈ 1,615
- 34 : 21 ≈ 1,619
- 89 : 55 ≈ 1,618
De uitkomsten springen afwisselend boven en onder 1,618 en komen snel tot rust. Bij 144 : 89 komt de uitkomst al op drie decimalen overeen met φ. Dit is een leuke rekenmachine-opdracht voor kinderen, omdat ze uit gewone delingen een patroon zien ontstaan.
De regel achter een rij getallen vinden is een vaardigheid die veel verder gaat dan Fibonacci. In het getallenreeksenspel is elke aanval een reeks met een ontbrekend getal, en jij moet de regel eerder ontdekken dan je tegenstander.
In de ronde hierboven is elk getal 5 groter dan het vorige, dus het ontbrekende getal is 24.
Hoe teken je een gulden rechthoek?
Bij een gulden rechthoek is de lange zijde ongeveer 1,618 keer zo lang als de korte zijde. Om er een te tekenen, vermenigvuldig je de korte zijde met 1,618, of deel je de lange zijde door 1,618 om de korte zijde te vinden. Je kunt er ook precies een construeren met een passer, vanuit een vierkant, zonder ook maar één decimaal te meten.
Voorbeeld
Is de korte zijde 10 cm, dan is de lange zijde 10 × 1,618 ≈ 16,2 cm. Is een pagina 1000 pixels breed en wil je een gulden verdeling, deel dan door φ. Je krijgt een hoofdkolom van ongeveer 618 pixels en een zijkolom van ongeveer 382 pixels.
Volg deze stappen om hem met een passer te tekenen.
- Teken een vierkant met zijden van 1 (bijvoorbeeld 1 decimeter).
- Markeer het midden van de onderste zijde.
- Zet de passerpunt op dat midden en open de passer tot het bovenste hoekpunt aan de overkant. Die afstand is √5 : 2, ongeveer 1,118.
- Draai de passer naar beneden tot op de verlengde onderste lijn. De nieuwe lengte is 0,5 + 1,118 = 1,618.
- Maak de rechthoek af. De zijden zijn 1 en φ.
Knip je het vierkant van een gulden rechthoek af, dan is het overgebleven stuk weer een gulden rechthoek. Herhaal dat, teken in elk vierkant een kwartcirkel en je krijgt de spiraal die vaak op afbeeldingen van de gulden snede staat. Zulke meetkunde komt ook terug in het meetkundespel, waarin vormen, hoeken en oppervlakten snelle uitdagingen worden.
Waar komt de gulden snede voor in de natuur?
Het duidelijkste voorbeeld in de natuur is de manier waarop veel planten hun bladeren en zaden rangschikken. In het hart van een zonnebloem groeit elk nieuw zaadje met ongeveer dezelfde draai ten opzichte van het vorige, ongeveer 137,5°. Deze gulden hoek pakt de zaden dicht op elkaar zonder gaten, en levert spiralen op waarvan het aantal vaak een Fibonacci-getal is.
Voorbeeld
De gulden hoek komt rechtstreeks uit φ. Deel een volledige draai door φ² en je krijgt 360° : 2,618 ≈ 137,5°. Je kunt het ook zo zien. De draai verdeelt de cirkel in twee bogen van ongeveer 222,5° en 137,5°, volgens de gulden snede.
Een overzichtsartikel uit 2022 van onderzoekers van de Universiteit van Nottingham, The Golden Ratio in Nature, verzamelt voorbeelden op veel verschillende schalen en beschrijft de "neiging om in veel verschillende wetenschappelijke en artistieke vakgebieden op te duiken". Neiging is het juiste woord. Genoeg planten volgen andere patronen, dus het is geen natuurwet.
Is de schelp van de nautilus een gulden spiraal?
Meestal niet. De nautilus groeit in een logaritmische spiraal, die haar vorm behoudt terwijl ze groter wordt, en dat is op zich al prachtig. Metingen aan echte schelpen geven meestal een groeiverhouding die afwijkt van φ. Een gulden spiraal over een foto van een nautilus is een mooi plaatje, geen meting.
Zit de gulden snede echt in kunst, gebouwen en gezichten?
Meestal niet. Beweringen dat het Parthenon, beroemde schilderijen of aantrekkelijke gezichten de gulden snede volgen, houden geen stand als mensen zorgvuldig meten. In een artikel uit 2022 in The Conversation legt wiskundige Thomas Britz van UNSW uit dat φ maar heel zelden voorkomt in oude Griekse kunst en architectuur.
Voorbeeld
De bekende bewering over het Parthenon is dat de voorgevel in een gulden rechthoek past. Britz schrijft dat zorgvuldige berekeningen laten zien dat die bewering niet klopt. Hetzelfde geldt voor "gulden-snede-gezichtstests" die beroemdheden een score geven. Het gezichtsmasker waarop ze gebaseerd zijn, is ontkracht, en er bestaat geen enkel getal dat bepaalt of een gezicht mooi is.
Een veelvoorkomende reden dat de mythe blijft bestaan, is dat mensen alleen de voorbeelden uitkiezen die goed uitkomen. Bijna elk gebouw of gezicht heeft wel een paar lengtes waarvan de verhouding dicht bij 1,6 ligt, vooral als je zelf mag kiezen waar je meet. Verhoudingen als 3 : 2 = 1,5 of 16 : 9 ≈ 1,78 zijn ook prettig en komen veel vaker voor bij schermen en foto's. Een eerlijke test bekijkt veel voorwerpen en telt de missers net zo goed mee als de treffers.
Gebruiken kunstenaars en ontwerpers de gulden snede bewust?
Sommigen wel. Ontwerpers gebruiken 1,618 soms als uitgangspunt voor lay-outs, fotolijsten of lettergroottes, omdat het een verdeling geeft die niet te gelijk en niet te scheef is. Dat is een ontwerpkeuze, geen bewijs dat de verhouding verstopt zit in alles wat mooi is. Het werkt net als elke andere nette verhouding.
De gulden snede is echte wiskunde, geen schoonheidsregel
De gulden snede is een precies getal, (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, met eigenschappen waar wiskundigen blij van worden. Kwadrateren telt er 1 bij op, 1 erdoor delen haalt er 1 af, en Fibonacci-getallen komen er steeds dichter bij. Het bepaalt de zaadspiralen van veel planten, terwijl de meeste verhalen over gezichten en beroemde gebouwen neerkomen op meten met de wens als vader van de gedachte.
Een goede manier om het met een kind te ontdekken, is het praktisch te houden. Deel Fibonacci-getallen op een rekenmachine, teken een gulden rechthoek met een passer of tel de spiralen op een dennenappel. Elke activiteit laat een echt patroon zien, en geen ervan heeft een mythe nodig om interessant te zijn.