Kommagetal naar breuk omzetten (ook repeterende decimalen)

Elk kommagetal dat ophoudt, en elk kommagetal dat zich eindeloos herhaalt, kun je als breuk schrijven. Een kommagetal omzetten naar een breuk kost voor de meeste getallen drie korte stappen, plus één extra trucje voor repeterende decimalen zoals 0,333…. Hieronder vind je beide methoden, een lijst met kommagetallen die het waard zijn om uit je hoofd te kennen, en de fouten waar mensen het vaakst over struikelen.

Hoe zet je een kommagetal om naar een breuk?

Om een kommagetal om te zetten naar een breuk, schrijf je de cijfers achter de komma boven 10, 100 of 1000, afhankelijk van het aantal decimalen. Eén decimaal komt boven 10, twee boven 100, drie boven 1000. Vereenvoudig daarna de breuk door de teller en de noemer door hetzelfde getal te delen.

Voorbeeld

Zet 0,75 om naar een breuk.

1. Tel de decimalen. 0,75 heeft er twee, dus de noemer is 100.
2. Schrijf de cijfers erboven. 0,75 = 75/100.
3. Vereenvoudig. 75 en 100 zijn allebei deelbaar door 25, en dat geeft 3/4.

Dus 0,75 = 3/4. Een snelle controle is 3 delen door 4 op papier of met een rekenmachine. Je krijgt weer 0,75.

Wat is 2,5 als breuk?

2,5 heeft één decimaal, dus het wordt 25/10. Beide getallen zijn deelbaar door 5, en dat geeft 5/2. Je kunt het hele getal ook apart houden. De 2 blijft zoals hij is en de 0,5 wordt 5/10, wat je vereenvoudigt tot 1/2. Dus 2,5 = 5/2 = 2 1/2.

Wat is 0,125 als breuk?

0,125 heeft drie decimalen, dus het wordt 125/1000. Beide getallen zijn deelbaar door 125, en dat geeft 1/8. Deze is het onthouden waard, want achtsten komen vaak voor in recepten, metingen en opgaven op school.

Moet het antwoord een gemengd getal of een onechte breuk zijn?

Allebei zijn ze goed. 1,25 kun je schrijven als 5/4 (een onechte breuk, met een teller die groter is dan de noemer) of als 1 1/4 (een gemengd getal, met een heel deel en een breuk). Op sommige plekken hebben docenten een voorkeur voor één vorm, dus kijk wat de opgave vraagt. Om te wisselen: 5/4 betekent vier kwarten (één geheel) plus nog één kwart.

Hoe vereenvoudig je de breuk?

Om een breuk te vereenvoudigen, deel je de teller en de noemer door het grootste getal waar ze allebei door deelbaar zijn, de grootste gemene deler. Zie je die niet meteen, deel dan steeds opnieuw door kleine getallen zoals 2, 5 of 10 tot niets anders meer in allebei past. Een breuk is helemaal vereenvoudigd als 1 het enige getal is waar ze allebei door deelbaar zijn.

Voorbeeld

Zet 0,36 om. Het heeft twee decimalen, dus het begint als 36/100. Beide getallen zijn deelbaar door 4, en dat geeft 9/25. Nu hebben 9 en 25 geen gemeenschappelijke deler behalve 1, dus 9/25 is de eenvoudigste vorm.

Je kunt ook kleinere stappen nemen. 36/100 gedeeld door 2 is 18/50, en nog eens gedeeld door 2 is 9/25. Je komt op hetzelfde uit. De grootste gemene deler snel vinden is een vaardigheid op zich, en het GGD-spel maakt er een snelle uitdaging van. Het is een goede opwarmer voor langere opgaven met breuken.

Welke kommagetallen kun je het best uit je hoofd kennen?

Een klein groepje kommagetallen komt steeds weer terug, en als je hun breuken kent, scheelt dat tijd. Daaronder vallen halven, kwarten, vijfden en achtsten, plus de repeterende decimalen voor derden. Als je deze kent, kun je een kommagetal vaak in je hoofd omzetten zonder iets op te schrijven.

• 0,1 = 1/10
• 0,2 = 1/5
• 0,25 = 1/4
• 0,4 = 2/5
• 0,5 = 1/2
• 0,6 = 3/5
• 0,75 = 3/4
• 0,8 = 4/5
• 0,125 = 1/8
• 0,375 = 3/8
• 0,625 = 5/8
• 0,875 = 7/8
• 0,333… = 1/3
• 0,666… = 2/3
• 0,1666… = 1/6
• 0,111… = 1/9

Voorbeeld

Wat is 0,625? Als je weet dat 0,125 = 1/8, dan is 0,625 vijf keer zoveel, dus 5/8. Met bekende feiten zoals dit bouw je nieuwe op. Heen en weer gaan tussen de twee vormen gaat veel sneller als je het regelmatig doet, en korte rondes van het decimalenspel of het breukenspel zijn een speelse manier om die snelheid op te bouwen. Zelfs een paar minuten per dag maken de lijst hierboven vertrouwd.

Hoe zet je een repeterende decimaal om naar een breuk?

Bij een kommagetal waarbij dezelfde cijfers zich direct na de komma herhalen, schrijf je het herhalende deel boven evenveel negens. Eén herhalend cijfer komt boven 9, twee boven 99, drie boven 999. Vereenvoudig daarna. Dus 0,777… = 7/9, en 0,272727… = 27/99, wat je vereenvoudigt tot 3/11.

Voorbeeld

Zet 0,454545… om naar een breuk. Het herhalende deel is 45, en dat heeft twee cijfers, dus het komt boven 99. Dat geeft 45/99. Beide getallen zijn deelbaar door 9, dus het antwoord is 5/11. Je kunt het controleren door 5 te delen door 11, en dan krijg je weer 0,454545….

Als de herhaling later begint, zoals bij 0,1666…, heeft de regel met de negens één extra stap nodig. Een methode die altijd werkt, gebruikt een beetje algebra:

1. Noem het getal x. Dus x = 0,1666…
2. Vermenigvuldig met 10 om het niet-herhalende cijfer voor de komma te zetten. 10x = 1,666…
3. Vermenigvuldig met 100 om ook één volledige herhaling te verschuiven. 100x = 16,666…
4. Trek de tweede regel af van de derde. De herhalende delen vallen tegen elkaar weg. 90x = 15.
5. Deel. x = 15/90, wat je vereenvoudigt tot 1/6.

Is 0,333 hetzelfde als 1/3?

Nee. 0,333 met precies drie cijfers is 333/1000, en dat is een heel klein beetje minder dan 1/3. Alleen 0,333…, waarbij de 3'en eindeloos doorgaan, is precies 1/3. Als je een repeterende decimaal schrijft, laat dan zien dat hij zich herhaalt met drie puntjes of een streep boven de herhalende cijfers. Anders is het een ander getal.

Waarom is 0,999… gelijk aan 1?

Dit verrast veel mensen. Begin bij 1/3 = 0,333…. Vermenigvuldig beide kanten met 3. Links krijg je 3/3, en dat is 1. Rechts krijg je 0,999…. Dus 0,999… = 1. De regel met de negens is het daarmee eens, want 0,999… = 9/9 = 1. Het is geen getal net onder 1, het is een andere manier om 1 te schrijven.

Welke fouten maken mensen bij het omzetten van kommagetallen naar breuken?

De meest gemaakte fouten zijn het verkeerde aantal nullen in de noemer, vergeten te vereenvoudigen, het hele getal kwijtraken en een afgebroken kommagetal behandelen alsof het repeteert. Elke fout vang je makkelijk op als je je antwoord controleert door de teller te delen door de noemer.

Voorbeeld

Een leerling zet 0,05 om en schrijft 5/10. Dat is 0,5, tien keer te groot. 0,05 heeft twee decimalen, dus het komt boven 100. Het juiste antwoord is 5/100, wat je vereenvoudigt tot 1/20.

Let op deze fouten:

1. De verkeerde macht van 10. Tel elk cijfer achter de komma, ook nullen. 0,05 heeft twee decimalen, niet één.
2. Niet vereenvoudigen. 75/100 is goed, maar niet af. Het verwachte antwoord is 3/4.
3. Het hele getal vergeten. 3,2 is 3 2/10, wat je vereenvoudigt tot 3 1/5, of 16/5. Het is niet 2/10.
4. Een repeterende decimaal afbreken. 0,66 is 66/100 = 33/50, terwijl 0,666… gelijk is aan 2/3.

Welke breuken worden repeterende decimalen?

Een breuk in zijn eenvoudigste vorm geeft een kommagetal dat ophoudt als de noemer geen andere priemfactoren heeft dan 2 en 5. Heeft de noemer een andere priemfactor, zoals 3, 7 of 11, dan herhaalt het kommagetal zich eindeloos. Zo weet je snel wat je kunt verwachten voordat je gaat delen.

Voorbeeld

Kijk naar 3/8. De noemer 8 is 2 × 2 × 2, dus het kommagetal houdt op. 3/8 = 0,375. Kijk nu naar 1/6. De noemer 6 is 2 × 3, en door die 3 herhaalt het kommagetal zich. 1/6 = 0,1666…. Zo is ook 1/7 = 0,142857142857…, waarbij de zes cijfers zich eindeloos herhalen, omdat 7 een priemgetal is dat niet 2 of 5 is.

Deze regel verklaart ook waarom de twee methoden hierboven elk geval dekken. Kommagetallen die ophouden, komen van breuken met alleen 2'en en 5'en in de noemer, en kommagetallen die repeteren, komen van alle andere. Hoe dan ook: een kommagetal dat ophoudt of repeteert, is een vermomde breuk.