Pytagoras' setning lar deg finne en manglende side i en rettvinklet trekant når du kjenner de to andre. Det er én kort formel, a² + b² = c², men elever står ofte fast på hvilken side som er hvilken, og når de skal legge sammen eller trekke fra. Denne guiden går gjennom begge tilfellene med eksempler, feilene du bør se opp for, og hvor setningen dukker opp i hverdagen.
Hva er Pytagoras' setning?
Pytagoras' setning sier at i en rettvinklet trekant er kvadratet av den lengste siden lik summen av kvadratene av de to korteste sidene. Skrevet som formel er a² + b² = c². Her er a og b de to korteste sidene, som kalles kateter, og c er den lengste siden, som kalles hypotenusen.
Eksempel
Ta en rettvinklet trekant med kateter på 3 cm og 4 cm. Kvadrer begge katetene. 3² = 9 og 4² = 16. Legg dem sammen, så får du 25. Spør deg nå hvilket tall som gir 25 når det kvadreres. Svaret er 5, så hypotenusen er 5 cm. Du kan sjekke det andre veien, fordi 5² = 25 = 9 + 16.
Hvorfor fungerer det?
Se for deg et kvadrat tegnet på hver side av trekanten. Setningen sier at arealet av det store kvadratet på hypotenusen er lik de to mindre kvadratene til sammen. For trekanten 3, 4, 5 er det 25 = 9 + 16.
Én måte å se hvorfor på er et klassisk bildebevis. Ta fire kopier av den samme rettvinklede trekanten og legg dem inne i et stort kvadrat, slik at det blir igjen et skrått kvadrat i midten.
Det midterste kvadratet har siden c, så arealet er c². Legg nå de samme fire trekantene på en annen måte inne i det samme store kvadratet. Det tomme rommet blir to kvadrater, ett med siden a og ett med siden b. Det store kvadratet og de fire trekantene endret seg ikke, så det gjorde heller ikke det tomme rommet. Det betyr at c² = a² + b².
Hvordan finner du hypotenusen?
For å finne hypotenusen kvadrerer du de to korteste sidene, legger sammen resultatene og tar kvadratroten av summen. Som formel er c = √(a² + b²). Svaret er alltid lengre enn hver av de to korteste sidene, og det er en rask måte å sjekke at du ikke har gjort en feil.
Eksempel
En rettvinklet trekant har kateter på 6 m og 8 m.
- Kvadrer hver katet. 6² = 36 og 8² = 64.
- Legg dem sammen. 36 + 64 = 100.
- Ta kvadratroten. √100 = 10.
Hypotenusen er 10 m. Ikke alle svar blir hele tall. Med kateter på 5 og 7 får du 25 + 49 = 74, og √74 er omtrent 8,60. Hvis kvadratrøtter går tregt, hjelper noen runder i kvadratrotspillet deg å kjenne igjen kvadrattallene raskt. Når du ser 36, 64 og 100 med en gang, går hvert steg ovenfor raskere.
Hvordan vet du hvilken side som er hypotenusen?
Hypotenusen er alltid siden rett overfor den rette vinkelen, og den er alltid den lengste siden. Mange elever blir forvirret når trekanten er snudd eller tegnet opp ned. Finn først den lille firkanten som markerer den rette vinkelen. Siden som ikke berører det hjørnet, er hypotenusen, uansett hvor den står på arket.
Hvordan finner du en manglende katet?
For å finne en manglende katet kvadrerer du hypotenusen, kvadrerer siden du kjenner, og trekker det minste kvadratet fra det største. Ta så kvadratroten. Som formel er a = √(c² − b²). Du trekker fra her fordi hypotenusen er den største siden, så kvadratet av den er summen du starter med.
Eksempel
En rettvinklet trekant har en hypotenus på 13 cm og en katet på 5 cm.
- Kvadrer hypotenusen. 13² = 169.
- Kvadrer den kjente kateten. 5² = 25.
- Trekk fra. 169 − 25 = 144.
- Ta kvadratroten. √144 = 12.
Den manglende siden er 12 cm. Sjekk at det gir mening. 12 er kortere enn 13, slik en katet skal være. Og 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², så trekanten passer med setningen.
De to tilfellene følger én enkel regel. Leter du etter den lengste siden, legger du sammen. Leter du etter en kortere side, trekker du fra. Når den regelen føles naturlig, er geometrispillet et morsomt sted å bruke trekantoppgaver i praksis. Det krever raske svar, og det hjelper stegene å bli automatiske.
Hvilke feil gjør folk med Pytagoras' setning?
De vanligste feilene er å bruke setningen på en trekant uten rett vinkel, å legge sammen når du skal trekke fra, å glemme kvadratroten til slutt og å velge feil side som hypotenus. Hver av dem er lett å unngå når du vet at du skal se etter den.
Eksempel
En elev har en hypotenus på 10 og en katet på 6, og skriver 10² + 6² = 136, og så √136 ≈ 11,66. Det svaret er lengre enn hypotenusen, og det er umulig for en katet. Riktig steg er 100 − 36 = 64, og √64 = 8.
Her er feilene du bør se opp for:
- Å bruke den på alle trekanter. Setningen fungerer bare når én vinkel er nøyaktig 90°.
- Å alltid kalle den ukjente siden c. Bare hypotenusen er c. Hvis den ukjente siden er en katet, trekker du fra.
- Å stoppe før kvadratroten. 6² + 8² = 100 gir c², ikke c. Siden er √100 = 10.
- Å tro at √(a² + b²) er det samme som a + b. Med 3 og 4 er √(9 + 16) = 5, mens 3 + 4 = 7.
- Å runde av for tidlig. I oppgaver med flere steg beholder du den eksakte verdien til slutt og runder bare av det endelige svaret.
Gjelder Pytagoras' setning for alle trekanter?
Nei. Pytagoras' setning gjelder bare for rettvinklede trekanter, som har én vinkel på nøyaktig 90°. Den fungerer også omvendt. Hvis de tre sidene i en trekant passer i a² + b² = c², må trekanten ha en rett vinkel. Den omvendte versjonen er en sikker måte å sjekke om et hjørne er rett på.
Eksempel
Er en trekant med sidene 5, 12 og 13 rettvinklet? Kvadrer de to korteste sidene og legg dem sammen. 25 + 144 = 169. Kvadrer den lengste siden. 13² = 169. De stemmer, så ja.
Hva med sidene 6, 7 og 9? 36 + 49 = 85, men 9² = 81. De stemmer ikke, så trekanten har ingen rett vinkel. Fordi 85 er større enn 81, er alle vinklene mindre enn 90°.
Håndverkere bruker den samme ideen. For å sjekke at et hjørne er rett, måler de 3 enheter langs den ene veggen og 4 enheter langs den andre. Hvis avstanden mellom de to merkene er nøyaktig 5 enheter, er hjørnet en rett vinkel. Alle enheter fungerer, for eksempel meter eller steg på 30 cm, så lenge alle tre målingene bruker den samme.
Hva er en pytagoreisk trippel?
En pytagoreisk trippel er tre hele tall som passer nøyaktig i a² + b² = c². Den mest kjente er 3, 4, 5. Andre er 5, 12, 13, og så 8, 15, 17 og 7, 24, 25. Hvis du ganger hvert tall i en trippel med det samme tallet, får du en ny trippel, for eksempel 6, 8, 10.
Eksempel
Sjekk 8, 15, 17. 8² = 64 og 15² = 225. Til sammen blir det 289. Og 17² = 289. Det stemmer. Dobler du 3, 4, 5, får du 6, 8, 10, og tredobler du, får du 9, 12, 15. Begge de stemmer også. Når du kan noen tripler utenat, ser du svarene med en gang i mange oppgaver.
Er svaret eksakt, eller bare omtrentlig?
Svaret fra Pytagoras' setning er eksakt, men det er ikke alltid et helt tall. En rettvinklet trekant med to kateter på 1 har en hypotenus på nøyaktig √2. Som desimaltall tar √2 aldri slutt, så 1,414 er bare en tilnærming. Derfor ber mange lærere deg la svaret stå som √2.
Eksempel
Sjekk desimalversjonen. 1,414² = 1,999396, som er nær 2, men ikke lik 2. Verdien √2 er den eksakte lengden. Skriv √2 når oppgaven ber om et eksakt svar, og rund bare av når den ber om et desimaltall, for eksempel med to desimaler (1,41).
Hvor brukes Pytagoras' setning i virkeligheten?
Pytagoras' setning brukes hver gang noen trenger en avstand de ikke kan måle direkte. Håndverkere bruker den til å sjekke rette hjørner, folk bruker den til å plassere en stige trygt, skjermstørrelser måles med den, og på et kart gir den avstanden i luftlinje mellom to punkter.
Eksempel
En stige er 4 m lang, og foten står 1 m fra en vegg. Hvor høyt opp på veggen når den? Stigen er hypotenusen, så du trekker fra. 4² − 1² = 16 − 1 = 15, og √15 er omtrent 3,87 m.
Noen flere bruksområder i hverdagen:
- Skjermstørrelser. En skjerm som er 40 cm bred og 30 cm høy, har en diagonal på √(1600 + 900) = √2500 = 50 cm.
- Avstander på et kart. Går du 3 km østover og så 4 km nordover, ender du 5 km fra der du startet, i luftlinje.
- Rette hjørner. Kontrollen med 3, 4, 5 ovenfor brukes til vegger, blomsterbed og flislagte gulv.
Hvem oppdaget Pytagoras' setning først?
Setningen er oppkalt etter den greske tenkeren Pytagoras, men ideen er mye eldre. En babylonsk leirtavle kjent som Plimpton 322, datert til rundt 1800 f.Kr., viser tall fra pytagoreiske tripler mer enn 1000 år før Pytagoras levde, slik en artikkel om forskning ved UNSW Sydney forklarer. Lignende ideer finnes i tidlig indisk og kinesisk matematikk.
Tren disse videre