Ettpunktsformelen forklart, og når du bruker den framfor y = ax + b

Hvordan skriver du en likning med ettpunktsformelen?

Sett stigningstallet inn i stedet for a, og koordinatene til et punkt du kjenner, inn i stedet for x₁ og y₁. La x og y stå som bokstaver. De står for alle de andre punktene på linjen. Bruk ettpunktsformelen når du kjenner ett punkt på linjen og stigningstallet.

Eksempel

Finn likningen for linjen gjennom (2, 3) med stigningstall 2.

1. Punktet gir x₁ = 2 og y₁ = 3.
2. Stigningstallet gir a = 2.
3. Sett inn: y − 3 = 2(x − 2).

Da er du ferdig, og det er ingenting å forenkle. Vil du være sikker, kan du teste et punkt til. Går du ett steg til høyre og to steg opp fra (2, 3), havner du i (3, 5). Sett inn de tallene: 5 − 3 = 2 på venstre side, 2(3 − 2) = 2 på høyre side. Det stemmer.

Legg merke til at (2, 3) står rett inne i likningen. Når du tegner grafen, kan du sette blyanten på det punktet først og jobbe deg utover derfra.

Hvordan bruker du ettpunktsformelen med to punkter?

Regn først ut stigningstallet med a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁). Ta så ett av de to punktene og sett det inn i y − y₁ = a(x − x₁) sammen med stigningstallet. Det spiller ingen rolle hvilket punkt du velger. Likningene ser forskjellige ut, men etter forenkling beskriver begge den samme linjen.

Eksempel

Finn linjen gjennom (1, −2) og (4, 7).

1. Stigningstall: a = (7 − (−2)) : (4 − 1) = 9 : 3 = 3
2. Med (1, −2): y − (−2) = 3(x − 1), altså y + 2 = 3(x − 1)
3. Med (4, 7): y − 7 = 3(x − 4)

Gang ut en av dem, og du får y = 3x − 5. Det er lurt å vite før du sjekker lekser mot en fasit. En elev som brukte (4, 7), og en fasit som brukte (1, −2), viser to forskjellige likninger, og ingen av dem er feil.

Hvorfor endrer et negativt punkt fortegnene?

Formelen trekker fra koordinatene til punktet. Hvis en koordinat er negativ, ender du opp med å trekke fra et negativt tall, og det blir til pluss. Punktet (−4, −1) gir derfor y + 1 og x + 4. Det enkleste du kan gjøre for å unngå at fortegnet snur feil vei, er å skrive parentesene helt ut før du rydder opp.

Eksempel

Finn linjen gjennom (−4, −1) med stigningstall 1/2.

1. Med parenteser: y − (−1) = 1/2(x − (−4))
2. Ryddet opp: y + 1 = 1/2(x + 4)

Det virker motsatt vei også. Står det y + 5 = −2(x − 6), er punktet på linjen (6, −5), ikke (6, 5). Uansett hvilket fortegn du ser inne i likningen, har koordinaten det motsatte.

Hvordan gjør du om ettpunktsformelen til y = ax + b?

Gang ut parentesen, og flytt tallet på venstre side over, slik at y står alene. Da har du likningen på formen y = ax + b. Stigningstallet endrer seg ikke underveis, og tallet som står alene til slutt, er konstantleddet b, der linjen skjærer y-aksen.

Eksempel

Gjør om y − 3 = 2(x − 2).

1. Gang ut parentesen: y − 3 = 2x − 4
2. Legg til 3 på begge sider: y = 2x − 1

Stigningstallet er fortsatt 2, og linjen skjærer y-aksen i (0, −1). Det punktet ser du på grafen over. Den andre veien går like fort. Ta y = −3x + 5, velg x = 1, og du får y = 2. Punktet (1, 2) og stigningstallet −3 gir y − 2 = −3(x − 1).

Hvilken form bør du bruke?

Bruk den formen som passer til det du allerede vet.

• Ettpunktsformelen, når du har et punkt og et stigningstall, eller to punkter.
• y = ax + b, når du vil lese av stigningstallet og konstantleddet eller tegne grafen.
• Den generelle formen, Ax + By = C, når du trenger punktene der linjen skjærer begge aksene.

Mange lærere vil ha det endelige svaret på formen y = ax + b. Ingenting hindrer deg i å starte med ettpunktsformelen og gjøre om til slutt.

Hvor kommer ettpunktsformelen fra?

Det er formelen for stigningstallet, bare snudd på. Velg et fast punkt (x₁, y₁) på en linje og et hvilket som helst annet punkt (x, y) på samme linje. Stigningstallet mellom dem er a = (y − y₁) : (x − x₁). Gang begge sider med (x − x₁), så har du y − y₁ = a(x − x₁).

Eksempel

Hold deg til linjen gjennom (2, 3) med stigningstall 2, og test punktet (5, 9). Stigningstallet fra (2, 3) til (5, 9) er (9 − 3) : (5 − 2) = 6 : 3 = 2. Samme stigningstall, så (5, 9) ligger på linjen. Det er akkurat det ettpunktsformelen sier: 9 − 3 = 2(5 − 2).

Den gratis læreboka OpenStax Elementary Algebra 2e utleder formelen på samme måte. Deretter bruker den formelen på linjer gjennom to punkter og på parallelle og vinkelrette linjer, og der tar neste avsnitt over.

Hvordan bruker du ettpunktsformelen for parallelle og vinkelrette linjer?

En parallell linje har samme stigningstall som den opprinnelige linjen. En vinkelrett linje har den negative inverse verdien, så du snur brøken og bytter fortegn. Stigningstallet 2 blir −1/2, og stigningstallet −3/4 blir 4/3. Når du har det nye stigningstallet, setter du det inn i ettpunktsformelen sammen med punktet du har fått oppgitt.

Eksempel

Finn linjen gjennom (2, 3) som står vinkelrett på y = 2x − 1.

1. Det opprinnelige stigningstallet er 2, eller 2/1.
2. Snu brøken og bytt fortegn: −1/2.
3. Ettpunktsformelen: y − 3 = −1/2(x − 2)
4. På formen y = ax + b: y = −1/2x + 4

Rask sjekk med x = 2: −1/2 · 2 + 4 = 3, som er y-verdien til punktet vårt. For en parallell linje gjennom (6, 0) beholder du stigningstallet 2: y − 0 = 2(x − 6), altså y = 2x − 12.

Kan alle linjer skrives med ettpunktsformelen?

Nesten alle kan det. Unntaket er en loddrett linje. Alle punktene på den har samme x-verdi, så endringen i x er 0, og et stigningstall ville bety å dele på null. En loddrett linje gjennom (3, 1) skriver du i stedet som x = 3. Vannrette linjer skaper ingen problemer, for stigningstallet deres er rett og slett 0.

Eksempel

Ta den vannrette linjen gjennom (1, 4). Med ettpunktsformelen blir det y − 4 = 0(x − 1). Null ganger hva som helst er null, så likningen krymper til y − 4 = 0, altså y = 4.

Hvordan kan du øve på ettpunktsformelen?

Du blir rask med linjer ved å se mange av dem. I spillet om lineære funksjoner kjemper du med spørsmål om linjer. En runde kan spørre etter stigningstallet fra (−2, 2) til (0, −6), og riktig svar sender av gårde angrepet ditt. Svaret er (−6 − 2) : (0 − (−2)) = −8 : 2 = −4.

Omgjøringen er en liten likning hver gang. Hvis det er der det går tregt, hjelper noen runder i likningsspillet. Du bruker de samme grepene hver gang du snur på en formel.

Bokstaven for stigningstallet varierer også fra land til land. I Norge bruker vi a, mens engelske bøker bruker m, og noen land bruker k. Uansett bokstav er tallet foran parentesen stigningstallet, og tallene inne i parentesen kommer fra et punkt på linjen.

Et punkt og et stigningstall bestemmer linjen

Ett punkt og et stigningstall bestemmer en rett linje helt, og ettpunktsformelen skriver det rett ned. Sett inn nøye, behold parentesene til fortegnene er på plass, og test svaret med et punkt til. Etter det er det bare to korte steg til y = ax + b.