Hvordan bruker du regnerekkefølgen steg for steg?
Med regnerekkefølgen (på engelsk PEMDAS) regner du deg gjennom et regnestykke i fire runder. Først det som står inni parenteser, så potenser, så ganging og deling fra venstre mot høyre, og helt til slutt pluss og minus fra venstre mot høyre. Skriv hele linjen på nytt etter hver runde, så er det lett å finne en feil senere.
Eksempel
Regn ut 3 + 4 · (6 − 2)² : 8.
- Parenteser: 6 − 2 = 4, da står det igjen 3 + 4 · 4² : 8
- Potenser: 4² = 16, da står det igjen 3 + 4 · 16 : 8
- Ganging og deling fra venstre mot høyre: 4 · 16 = 64, deretter 64 : 8 = 8, da står det igjen 3 + 8
- Pluss og minus: 3 + 8 = 11
Det føles tregt å skrive av linjen igjen. Likevel er det den beste beskyttelsen mot feil. En vanlig glipp er å legge sammen 3 og 4 med en gang. Da får du 7, og svaret blir feil.
Kommer ganging før deling i PEMDAS?
Nei. Ganging og deling står på samme nivå, og det gjør pluss og minus også. Innenfor hvert par går du ganske enkelt fra venstre mot høyre. PEMDAS har M før D bare fordi et ord må ha bokstavene sine i en eller annen rekkefølge. Å lese bokstavene som en fast rangering er en av de vanligste feilene med regnerekkefølgen.
Eksempel
Regn ut 24 : 4 · 2.
- Delingen kommer først fra venstre: 24 : 4 = 6
- Så gangingen: 6 · 2 = 12
Ganger du først, får du 24 : 8 = 3, og det er feil. Pluss og minus oppfører seg på samme måte. I 10 − 4 + 3 gir venstre mot høyre 6 + 3 = 9. Legger du sammen først, får du 10 − 7 = 3, og det er også feil.
Den gratis læreboka OpenStax Prealgebra 2e sier det rett ut. Ganging og deling gjøres i rekkefølge fra venstre mot høyre, fordi de har lik prioritet. Mange voksne husker ikke den detaljen fra skolen, og den ligger bak mange av krangelene om mattenøtter på nettet.
Hva er forskjellen på PEMDAS, BODMAS og BIDMAS?
Det er ingen forskjell på reglene, bare på ordene. PEMDAS begynner med P for parentheses (parenteser), mens BODMAS og BIDMAS begynner med B for brackets. E (exponents), O (orders) og I (indices) betyr alle potenser og røtter. Alle versjonene setter ganging og deling på ett nivå, og pluss og minus på det neste.
Eksempel
Regn ut 2 + 3 · 4² med hver versjon i tankene.
- Potenser først: 4² = 16
- Så ganging: 3 · 16 = 48
- Så pluss: 2 + 48 = 50
BODMAS skriver tilfeldigvis D før M, og PEMDAS skriver M før D. Begge gir 50 her, og de to versjonene gir samme svar i alle regnestykker. Hvis rekkefølgen på bokstavene stadig skaper forvirring, kan det hjelpe å skrive regelen som fire nivåer i stedet for seks bokstaver: parenteser, potenser, gange eller dele, pluss eller minus.
Hvorfor trenger vi en regnerekkefølge?
Uten en felles rekkefølge kunne en linje som 2 + 3 · 4 betydd to forskjellige ting. Legger du sammen først, får du 20. Ganger du først, får du 14. Avtalen sier at ganging kommer først, så svaret er 14. Hele poenget med regelen er rett og slett at alle som leser det samme regnestykket, får det samme svaret.
Eksempel
En venn kjøper 3 skrivebøker til 4 mynter stykket og én penn til 2 mynter. Til sammen blir det 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 mynter. Legger du sammen først, får du 5 · 4 = 20, som om pennen var kjøpt fire ganger.
Avtalen er mye eldre enn forkortelsene. Ifølge MacTutor, arkivet for matematikkens historie ved University of St Andrews, var ganging før pluss og minus allerede regelen i de tidligste bøkene om symbolsk algebra på 1500-tallet. Den samme siden siterer en historiker som på slutten av 1920-tallet skrev at det fortsatt ikke var enighet om hvorvidt ÷ eller × skulle komme først.
Hva er svaret på 8 ÷ 2(2 + 2)?
Følger du regnerekkefølgen slik den læres på skolen, gir 8 ÷ 2(2 + 2), eller 8 : 2(2 + 2) med det norske deletegnet, svaret 16. Parentesen kommer først og gir 4. Totallet som står rett foran parentesen, betyr ganging, og deling og ganging går fra venstre mot høyre, så 8 : 2 · 4 = 4 · 4 = 16.
Eksempel
Her er de to tolkningene side om side.
- Fra venstre mot høyre: 8 : 2 · 4 = 4 · 4 = 16
- Med 2(2 + 2) som én blokk: 8 : (2 · 4) = 8 : 8 = 1
Det egentlige problemet er hvordan regnestykket er skrevet. Et notat på nettsidene til matematikkinstituttet ved Berkeley påpeker at det ikke finnes noen fast konvensjon for slike uttrykk, fordi et tall skrevet tett inntil en parentes gir inntrykk av at de to hører sammen. Matematikere unngår hele diskusjonen med ekstra parenteser: (8 : 2)(2 + 2) eller 8 : (2(2 + 2)).
En brøkstrek samler ting på samme måte. Står 6 + 4 over en brøkstrek og 2 under den, legger du sammen først, så svaret blir 10 : 2 = 5.
Hva er de vanligste feilene med regnerekkefølgen?
De fleste feilene kommer av at man leser forkortelsen som seks separate steg i fast rekkefølge. Da ender man opp med å gange før man deler, eller legge sammen før man trekker fra. Andre glipper er å glemme at en brøkstrek samler det som står over og under den, og å kvadrere et negativt tall uten parentesen. Skriver du av linjen etter hvert steg, fanger du opp de fleste av dem.
Glippene som stadig dukker opp
- Å gange før man deler. I 24 : 4 · 2 går du fra venstre mot høyre: 6 · 2 = 12.
- Å legge sammen før man trekker fra. I 10 − 4 + 3 går du fra venstre mot høyre: 6 + 3 = 9.
- Å kvadrere et negativt tall. −3² betyr −(3²) = −9, men (−3)² = 9. Parentesen avgjør om minustegnet blir kvadrert.
- Å begynne med den ytterste parentesen. I 2 · [5 + (3 − 1)²] begynner du innerst: 3 − 1 = 2, så 2² = 4, så 5 + 4 = 9, og til slutt 2 · 9 = 18.
- Å overse brøkstreken. Regn ut telleren og nevneren hver for seg først, og del deretter.
Hvordan kan du øve på regnerekkefølgen?
Korte regnestykker, ofte, er den beste måten å øve på denne regelen. I spillet om regnerekkefølge er hvert angrep et blandet regnestykke som (5 + 3) · 7. Du regner ut parentesen, ganger og taster 56 for å sette inn angrepet.
Potenser får mange til å stoppe opp, særlig med negative tall. Hvis det er der du står fast, kan du prøve potensspillet først. Etter det blir lengre regnestykker med potenser lettere å komme gjennom.
Navnet på regelen avhenger av hvor du lærer den. I USA heter den PEMDAS, og i Storbritannia heter den BODMAS eller BIDMAS. Andre språk har sine egne korte uttrykk, men regelen under er den samme overalt. På norsk snakker vi om regnerekkefølgen.
Én felles regel betyr at alle får samme svar
Regnerekkefølgen er en avtale, ikke en naturlov, og den fungerer bare fordi alle bruker den samme. Parenteser først, så potenser, så ganging og deling fra venstre mot høyre, så pluss og minus fra venstre mot høyre. Kan et regnestykke fortsatt leses på to måter, setter du inn parenteser, og diskusjonen er over.
Tren disse videre