수직선 위의 정수
수직선에서 정수는 0부터 앞으로 또는 뒤로 하나씩 셀 때 멈추는, 같은 간격으로 놓인 점입니다. 1/2, 3.5, √2 같은 수는 그 사이의 빈틈에 있으므로 정수가 아닙니다. 이 글에서는 정수를 구별하는 방법, 0이 정수인 이유, 그리고 정수의 부호 규칙이 실제로 어떻게 작동하는지 알아봅니다.
어떤 수가 정수인지 어떻게 알 수 있을까?
분수나 소수 부분 없이 쓸 수 있는 수가 정수입니다. 양수일 수도, 음수일 수도, 0일 수도 있습니다. 영어 교과서 OpenStax Prealgebra 2e는 정수를 간단하게 설명합니다. 정수는 물건을 셀 때 쓰는 수, 그 수에 음의 부호를 붙인 수, 그리고 0이라는 것이지요. 따라서 7, −7, 0은 정수이고, 7.5는 정수가 아닙니다.
예시
다음 수를 빠르게 확인해 보세요.
- −12는 정수입니다. 자연수 12에 음의 부호를 붙인 수이기 때문입니다.
- 0은 정수입니다.
- 3.5는 정수가 아닙니다. 소수 부분이 있기 때문입니다.
- 1/2은 정수가 아닙니다.
- 8/2는 정수입니다. 8/2 = 4이기 때문입니다.
- √9는 정수입니다. √9 = 3이기 때문입니다.
- √2는 정수가 아닙니다. 약 1.41이기 때문입니다.
마지막 몇 가지 예에서 유용한 습관을 배울 수 있습니다. 먼저 값을 계산한 다음 판단하세요. 분수나 제곱근처럼 보여도 계산해 보면 정수인 수가 있습니다.
0은 정수일까?
네, 0은 정수입니다. 수직선의 한가운데, 음의 정수와 양의 정수 사이에 있습니다. 0은 양수도 음수도 아니며, OpenStax도 이를 분명히 밝히고 있습니다. 하지만 0은 짝수입니다. 0 = 2 × 0이므로 2로 나누어떨어지기 때문입니다.
음수는 정수일까?
음수는 분수나 소수 부분이 없을 때만 정수입니다. −5와 −100은 정수입니다. −2.5와 −3/4는 음수이지만 정수는 아닙니다. 부호와 상관없이 모든 수에 같은 방법을 쓸 수 있습니다.
정수와 자연수는 어떻게 다를까?
우리나라 수학 교과서에서 자연수는 1, 2, 3, …처럼 물건을 셀 때 쓰는 수이고, 0과 음수는 포함하지 않습니다. 정수는 자연수(양의 정수)에 0과 −1, −2, −3, … 같은 음의 정수를 더한 것입니다. 그래서 −4는 정수이지만 자연수는 아닙니다. 0도 정수이지만 자연수는 아닙니다. 외국 책에서는 0을 자연수에 넣기도 하므로, 아이가 다니는 학교에서 쓰는 정의를 확인해 보세요.
예시
주요 수의 집합이 서로 어떻게 포함되는지 살펴봅시다.
- 자연수(양의 정수): 1, 2, 3, 4, …
- 0과 자연수: 0, 1, 2, 3, 4, …
- 정수: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- 유리수: 정수끼리의 분수로 나타낼 수 있는 모든 수, 예를 들어 1/2, −3/4, 7(7/1과 같음)
수학자들은 정수 전체의 집합을 ℤ로 나타냅니다. 이 글자는 '수'를 뜻하는 독일어 Zahlen에서 왔습니다. 자연수 전체의 집합은 ℕ으로 나타내기도 합니다. 자연수에도 작은 의견 차이가 있는데, 1부터 시작하는 책도 있고 0부터 시작하는 책도 있습니다.
생활 속 어디에서 정수를 볼 수 있을까?
0을 기준으로 위아래로 셀 때마다 정수가 등장합니다. 영하의 기온, 지하층, 해수면 아래의 깊이, 축구팀의 골 득실차는 모두 음수가 될 수 있는 정수입니다. 어느 경우든 0은 '아무것도 없음'이 아니라 기준점입니다.
예시
아침 기온이 −4 °C이고 점심때까지 7도 올랐습니다. 수직선에서 −4부터 위로 7칸 세어 보면 −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3입니다. 점심때 기온은 3 °C이므로 −4 + 7 = 3입니다.
우리나라 건물은 지상 1층부터 층수를 세므로, 여기서는 땅의 높이를 0으로 두고 한 층의 높이를 1로 생각해 봅시다. 땅보다 두 층 아래에 있는 지하 2층 주차장은 −2, 땅보다 다섯 층 위에 있는 전망층은 5입니다. −2에서 5까지 올라가면 엘리베이터는 일곱 층 높이만큼 움직입니다. 5 − (−2) = 7이기 때문입니다.
정수의 덧셈과 뺄셈은 어떻게 할까?
정수를 더할 때는 수직선을 떠올려 보세요. 양수를 더하면 오른쪽으로, 음수를 더하면 왼쪽으로 움직입니다. 뺄셈은 덧셈의 반대이므로 음수를 빼면 오른쪽으로 움직입니다. 그래서 음수를 빼면 답이 더 커집니다.
예시
−3 + 5를 계산해 봅시다. −3에서 시작해 오른쪽으로 5칸 갑니다. −2, −1, 0, 1을 지나 2에서 멈춥니다. 따라서 −3 + 5 = 2입니다.
몇 가지 더 풀어 보세요.
- −6 + 2 = −4. −6에서 오른쪽으로 2칸 가면 −4이기 때문입니다.
- −2 − 5 = −7. −2에서 왼쪽으로 5칸 가면 −7이기 때문입니다.
- 4 − (−3) = 7. −3을 빼는 것은 3을 더하는 것과 같기 때문입니다.
음수를 빼면 왜 답이 커질까?
뺄셈은 '차이가 얼마인가?'를 묻는 계산입니다. 수직선에서 4와 −3의 차이는 7칸이므로 4 − (−3) = 7입니다. OpenStax는 일반적인 규칙을 a − (−b) = a + b로 씁니다. 많은 아이들이 −5 + 4에서 막히는데, 더하기 기호를 보고 더 큰 수를 기대하기 때문입니다. −5에서 시작해 오른쪽으로 4칸 가 보면 답이 −1이라는 것을 알 수 있습니다.
음수 곱하기 음수는 왜 양수일까?
두 정수를 곱할 때 부호가 같으면 답은 양수, 다르면 음수입니다. 음수 곱하기 음수가 양수인 이유는 규칙성 때문입니다. 앞의 수가 1씩 작아질 때마다 답은 같은 크기만큼 변하는데, 이 규칙이 계속되려면 답이 양수가 되어야 합니다.
예시
3 × (−2)에서 앞의 수를 1씩 줄이면 어떻게 되는지 보세요.
- 3 × (−2) = −6
- 2 × (−2) = −4
- 1 × (−2) = −2
- 0 × (−2) = 0
- (−1) × (−2) = 2
- (−2) × (−2) = 4
답이 앞의 답보다 2씩 커집니다. 0을 지나서도 이 규칙이 이어지려면 (−1) × (−2)는 2가 되어야 합니다. 다르게 생각해 볼 수도 있습니다. −1을 곱하는 것은 수직선 위에서 방향을 반대로 돌리는 것과 같습니다. 두 번 돌면 다시 원래 방향을 보게 되지요.
정수의 나눗셈도 같은 부호 규칙을 따를까?
네. (−12) ÷ 3 = −4이고 (−12) ÷ (−3) = 4로, 부호 규칙이 같습니다. 하지만 한 가지 다른 점이 있습니다. 두 정수를 더하거나 빼거나 곱하면 항상 정수가 나오지만, 나누면 항상 그렇지는 않습니다. 8 ÷ 2 = 4는 정수이지만 7 ÷ 2 = 3.5는 정수가 아닙니다.
정수 계산을 더 빠르게 하려면?
정수 계산 속도는 수직선이 머릿속에 자리 잡을 때까지 작은 계산을 많이 해 볼 때 붙습니다. 음수 게임에서는 공격할 때마다 음수가 들어간 계산을 빠르게 풀어야 해서, 아이들이 싸움에서 이기려고 애쓰는 동안 자연스럽게 부호 규칙을 연습합니다.
위 라운드에서 −17을 빼는 것은 17을 더하는 것과 같으므로 −1 − (−17) = −1 + 17 = 16입니다.
어떤 수가 0에서 떨어진 거리를 절댓값이라고 하며, −5의 절댓값은 5입니다. 대부분의 학생이 정수 다음에 배우는 개념으로, 절댓값 게임에서는 이를 빠른 라운드로 연습할 수 있습니다.
정수는 앞으로도 뒤로도 세어서 닿을 수 있는 수
모든 정수는 0부터 세어서 닿을 수 있는 한 걸음입니다. 양수는 오른쪽으로, 음수는 왼쪽으로 갑니다. 0은 가운데에 있으며 역시 정수에 속합니다. 아이가 이 수직선을 떠올릴 수 있다면 덧셈, 뺄셈, 곱셈 규칙은 외워야 할 규칙이 아니라 이해되는 원리가 됩니다.