단위원은 점 (0, 0)을 중심으로 그린 반지름이 1인 원이에요. 외워야 할 표가 하나 더 늘어난 것처럼 보이지만, 사실은 하나의 아이디어예요. 그 아이디어를 이해하면, 긴 숫자 목록을 외우지 않고도 원 위의 모든 값을 몇 초 만에 다시 만들어 낼 수 있어요.
단위원이란 무엇인가요?
단위원은 반지름이 정확히 1이고 중심이 원점 (0, 0)에 있는 원이에요. x축의 양의 방향에서 시계 반대 방향으로 잰 모든 각은 원 위의 한 점에 닿아요. 그 점의 좌표는 언제나 (cos θ, sin θ)예요. 즉, x좌표는 그 각의 코사인이고 y좌표는 사인이에요.
예시
30°인 각을 생각해 보세요. 중심에서 x축 위쪽으로 30°만큼 기울어진 선을 원에 닿을 때까지 그려요. 선이 닿는 점은 (√3/2, 1/2)이고, 대략 (0.866, 0.5)예요. 이 점은 두 가지를 한꺼번에 알려 줘요. 30°의 코사인은 √3/2이고 30°의 사인은 1/2이에요.
원 위의 모든 점은 x² + y² = 1이라는 식도 만족해요. 30°의 점으로 확인해 볼까요? (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1이에요. 이 식은 사실 모습을 바꾼 피타고라스 정리예요. 반지름이 두 변이 x와 y인 직각삼각형의 가장 긴 변이기 때문이에요.
코사인은 왜 x좌표이고 사인은 왜 y좌표인가요?
사인, 코사인, 탄젠트의 비는 알지만 원이 어디서 등장하는지는 잘 모르는 학생이 많아요. 원 안에 반지름을 가장 긴 변(빗변)으로 하는 직각삼각형을 그려 보세요. 아랫변은 x축을 따라 놓이고, 세로 변은 원 위의 점까지 올라가요.
코사인은 빗변에 이웃한 변을 빗변으로 나눈 값이에요. 단위원에서는 빗변이 1이므로, 코사인은 그냥 아랫변의 길이, 즉 x좌표예요. 같은 방식으로 사인은 마주 보는 변을 1로 나눈 값이므로, 높이, 즉 y좌표예요. 원은 나눗셈을 없애 줄 뿐이에요.
단위원에서는 왜 라디안을 쓰나요?
단위원에서 라디안을 쓰는 이유는, 반지름이 1이면 라디안으로 잰 각이 원을 따라 이동한 호의 길이와 정확히 같기 때문이에요. 한 바퀴는 360°이고, 원의 둘레 전체는 2π예요. 그래서 360°는 2π 라디안이고, 180°는 π 라디안이에요.
예시
도를 라디안으로 바꾸려면 π를 곱하고 180으로 나눠요. 60°라면 60 × π / 180 = π/3 라디안이에요. 거꾸로 바꾸려면 180을 곱하고 π로 나눠요. 그래서 π/4 라디안은 180 / 4 = 45°예요.
π/8 같은 각은 표준 표에 나오지 않아서 학생들이 헷갈려하는 경우가 많아요. 요령은 반 바퀴를 몇 등분했는지로 생각하는 거예요. π는 반 바퀴이고, π/4 라디안은 그 반 바퀴의 4분의 1(45°)이며, π/8 라디안은 π/4 라디안의 절반이니까 22.5°예요. 0과 45° 지점의 한가운데에 놓으면 돼요.
라디안은 나중에도 중요해요. 미적분에서는 각을 라디안으로 나타낼 때만 사인과 코사인의 규칙이 이렇게 깔끔하게 성립해요. 그래서 단위원이 등장하자마자 선생님들이 라디안으로 바꾸는 거예요.
단위원을 외우지 않고 기억하려면 어떻게 하나요?
0°, 30°, 45°, 60°, 90°의 값만 알면 돼요. 원 위의 나머지 값은 모두 이 다섯 개를 거울에 비춘 모습이에요. 아래에 이 값들을 다시 만들어 내는 세 가지 방법이 있고, 어느 것도 특정 언어의 문장에 기대지 않아요. 가장 자연스럽게 느껴지는 방법을 고르세요.
삼각형 두 개로 다시 만들기
정사각형을 대각선으로 자르면 45°인 각이 두 개 있는 직각삼각형이 생기고, 그래서 짧은 두 변의 길이가 같아요. 긴 변을 반지름처럼 1로 정해요. 그러면 짧은 두 변은 x² + y² = 1을 만족해야 하고, x = y이므로 각 변은 √2/2예요. 그래서 45°의 점은 (√2/2, √2/2)예요.
이번에는 한 변이 2인 정삼각형을 그리고 반으로 잘라요. 각이 30°, 60°, 90°이고 변이 1, √3, 2인 삼각형이 생겨요. 긴 변이 1이 되도록 모든 변을 2로 나눠요. 이제 변은 1/2, √3/2, 1이고, 이것으로 30°와 60°의 점을 얻을 수 있어요.
제곱근 패턴 이용하기
각도 0°, 30°, 45°, 60°, 90° 아래에 숫자 0, 1, 2, 3, 4를 적어요. 각 숫자의 제곱근을 구해서 2로 나눠요. 그 줄이 각 각도의 사인 값이에요. 같은 줄을 거꾸로 읽으면 코사인 값이에요.
- 0°, 30°, 45°, 60°, 90°의 사인: √0/2 = 0, √1/2 = 1/2, √2/2, √3/2, √4/2 = 1
- 같은 각도의 코사인: √4/2 = 1, √3/2, √2/2, √1/2 = 1/2, √0/2 = 0
손으로 세어 보기
왼손을 손바닥이 나를 향하도록 들어요. 엄지는 90°, 검지는 60°, 중지는 45°, 약지는 30°, 새끼손가락은 0°를 나타내요. 어떤 각의 값을 구하려면 그 각에 해당하는 손가락을 접어요.
접은 손가락의 새끼손가락 쪽에 있는 손가락 개수를 세고, 그 수의 제곱근을 구해서 2로 나눠요. 그게 사인이에요. 엄지 쪽에 있는 손가락으로 같은 방식으로 구하면 코사인이에요.
30°라면 약지를 접어요. 새끼손가락 쪽에는 손가락이 하나(새끼손가락) 있으니까 사인은 √1/2 = 1/2이에요. 엄지 쪽에는 손가락이 세 개 있으니까 코사인은 √3/2이에요.
어느 방법을 써도 같은 다섯 점이 나와요. 삼각함수 게임을 몇 판 해 보면, 약간의 시간 압박 속에서도 사인과 코사인 값을 떠올릴 수 있는지 금방 알 수 있어요. 이렇게 짧게 자주 연습하면 한 번에 길게 하는 것보다 값이 훨씬 잘 기억에 남아요.
단위원 전체를 외워야 하나요?
아니요. 제1사분면(0°에서 90°까지)과 그것을 확실하게 대칭으로 옮기는 방법만 있으면 돼요. 시험을 위해 표 전체를 외운 학생은 몇 주 뒤에 잊어버리는 경우가 많아요. 삼각형과 대칭을 이해한 학생은 언제든 다시 만들어 낼 수 있고, 미적분 같은 이후 단원에서 실제로 필요한 것도 바로 그 능력이에요.
각 사분면에서 부호는 어떻게 바뀌나요?
원에는 사분면이 네 개 있어요. 각 사분면에서 좌표의 크기는 제1사분면의 어떤 각과 같고, 부호만 바뀌어요. 제1사분면에서는 x와 y가 모두 양수예요. 제2사분면에서는 x가 음수예요. 제3사분면에서는 둘 다 음수예요. 제4사분면에서는 y가 음수예요.
예시
150°의 점을 구해 볼까요? 이 점은 제2사분면에 있고, 180°보다 30° 작아요. 그러니까 y축에 대해 30°의 점과 대칭인 점이에요. 30°의 점은 (√3/2, 1/2)이에요. 대칭으로 옮기면 x좌표가 음수가 되므로, 150°의 점은 (−√3/2, 1/2)이에요.
- 제1사분면(0°에서 90°): x는 양수, y는 양수
- 제2사분면(90°에서 180°): x는 음수, y는 양수
- 제3사분면(180°에서 270°): x는 음수, y는 음수
- 제4사분면(270°에서 360°): x는 양수, y는 음수
빠르게 확인하려면 보통의 그래프 위에 점을 떠올려 보세요. y축의 왼쪽이면 x가 음수이고, x축의 아래쪽이면 y가 음수예요. 점이 어디에 있는지 떠올릴 수 있다면 이 목록을 외울 필요가 없어요.
단위원에서 탄젠트는 무엇인가요?
어떤 각의 탄젠트는 y좌표를 x좌표로 나눈 값이므로, tan θ = sin θ / cos θ예요. 60°라면 (√3/2) ÷ (1/2) = √3이고, 약 1.732예요. 90°와 270°에서는 x좌표가 0이고 0으로는 나눌 수 없으니까, 이 각들에서 탄젠트는 정의되지 않아요.
단위원은 어디에 쓰이나요?
단위원 덕분에 사인과 코사인은 직각삼각형 안의 각뿐 아니라 어떤 각에도 쓸 수 있어요. 그래서 단위원은 반복되거나 회전하는 모든 것의 바탕이 돼요. 음파, 광파, 교류 전기, 진자의 움직임, 시계 바늘은 모두 사인과 코사인으로 나타내요.
예시
한 점이 일정한 속도로 원 위를 돈다고 상상해 보세요. 그 점의 높이는 1까지 올라갔다가 −1까지 내려갔다가 다시 돌아오면서 매끄러운 물결을 그려요. 그 높이를 시간에 따라 그래프로 그리면 사인 함수의 그래프가 나와요. 엔지니어는 바로 이 아이디어로 진동을 나타내고, 게임과 애니메이션 개발자는 화면 속 물체를 회전시킬 때 이 아이디어를 써요.
사분면 하나와 삼각형 두 개면 원 전체를 알 수 있어요
주요 각과 그 좌표를 정리했어요. 참고용으로 쓰되, 보기 전에 먼저 삼각형이나 손 요령으로 각 줄을 다시 만들어 보세요.
- 0° (0): (1, 0), tan θ = 0
- 30° (π/6): (√3/2, 1/2), tan θ = √3/3
- 45° (π/4): (√2/2, √2/2), tan θ = 1
- 60° (π/3): (1/2, √3/2), tan θ = √3
- 90° (π/2): (0, 1), tan θ = 정의되지 않음
- 120° (2π/3): (−1/2, √3/2), tan θ = −√3
- 135° (3π/4): (−√2/2, √2/2), tan θ = −1
- 150° (5π/6): (−√3/2, 1/2), tan θ = −√3/3
- 180° (π): (−1, 0), tan θ = 0
- 210° (7π/6): (−√3/2, −1/2), tan θ = √3/3
- 225° (5π/4): (−√2/2, −√2/2), tan θ = 1
- 240° (4π/3): (−1/2, −√3/2), tan θ = √3
- 270° (3π/2): (0, −1), tan θ = 정의되지 않음
- 300° (5π/3): (1/2, −√3/2), tan θ = −√3
- 315° (7π/4): (√2/2, −√2/2), tan θ = −1
- 330° (11π/6): (√3/2, −1/2), tan θ = −√3/3
어떤 줄이 어렵게 느껴지면 제1사분면으로 돌아가서 대응하는 각을 찾고, 사분면을 보고 부호를 정하세요. 이 습관 하나가 목록 전체를 대신해 줘요.
다음엔 이걸 훈련하세요