소수란 무엇일까요?
1은 소수일까요? 아니에요. 소수는 서로 다른 약수를 정확히 두 개, 즉 1과 자기 자신만 가지는 자연수예요. 예를 들어 7은 소수예요. 나누어떨어지게 하는 수가 1과 7뿐이기 때문이에요. 1은 약수가 하나뿐이라서 이 규칙에 맞지 않아요. 합성수도 아니어서 1은 따로 하나의 그룹에 속해요.
1은 소수인가요?
아니요, 1은 소수가 아니에요. 소수는 서로 다른 약수가 정확히 두 개 있어야 하는데, 1은 약수가 하나뿐이에요. 합성수도 아니에요. 합성수는 약수가 세 개 이상인 수이기 때문이에요. 그래서 수학자들은 1을 소수도 합성수도 아닌 수로 분류해요. 가장 작은 소수는 2이고, 약수는 1과 2예요.
예시
1부터 6까지의 수의 약수를 살펴볼게요.
- 1은 약수가 하나(1)라서 소수도 합성수도 아니에요.
- 2는 약수가 두 개(1과 2)라서 소수예요.
- 3은 약수가 두 개(1과 3)라서 소수예요.
- 4는 약수가 세 개(1, 2, 4)라서 합성수예요.
- 5는 약수가 두 개(1과 5)라서 소수예요.
- 6은 약수가 네 개(1, 2, 3, 6)라서 합성수예요.
약수가 하나뿐인 수는 1뿐이에요. 모든 소수는 약수가 정확히 두 개이고, 모든 합성수는 약수가 세 개 이상이에요.
점으로 확인해 보기
종이에 점을 찍거나 단추 같은 작은 물건으로 해 보세요. 점 여섯 개는 3개씩 2줄인 직사각형으로 놓을 수 있으니 6은 합성수예요. 점 일곱 개는 어떻게 놓아도 7개가 한 줄로 늘어설 뿐이니 7은 소수예요. 점이 하나라면 늘어놓을 것 자체가 없어요. 이것도 1이 다른 수와 다르다는 것을 또 다른 방식으로 보여 줘요.
왜 많은 사람이 1을 소수라고 생각할까요?
많은 사람이 소수를 “1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 수”라고 배웠어요. 이 표현대로라면 1도 해당하는 것처럼 보여요. 함정은 여기서 1과 ‘자기 자신’이 같은 수라는 점이에요. 그래서 약수는 두 개가 아니라 하나예요. 이 때문에 정확한 정의에서는 서로 다른 약수가 정확히 두 개라고 하거나, “1보다 큰 자연수” 중에서 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 수라고 해요.
인터넷에서 1이 “예전에는 소수였다”는 글을 볼 수도 있어요. 실제 역사는 그보다 복잡해요. 고대 그리스 수학자들은 1을 아예 수로 보지 않았고, 이후의 수학자들 사이에서도 의견이 엇갈렸어요. Scientific American이 이 질문의 역사를 설명한 글에 따르면, 영국의 수학자 G. H. 하디는 자신의 교과서 초기 판에서 1을 소수로 넣었다가 1938년에 이를 바꿨어요. 오늘날 수학자들은 1이 소수가 아니라는 데 의견이 일치해요.
수학을 몇 년 동안 공부한 어른들도 여기서 망설이곤 해요. 자녀가 1을 소수라고 답했다가 틀렸다는 표시를 받았더라도, 그 생각이 엉뚱한 것은 아니었어요. 기억하고 있던 규칙에서 작은 조건 하나가 빠져 있었을 뿐이에요.
2는 소수인가요?
네. 2는 가장 작은 소수이자 유일한 짝수 소수예요. 다른 짝수는 모두 2로 나누어떨어지므로 약수가 적어도 세 개(1, 2, 자기 자신) 있어요. 그래서 2 다음의 소수는 모두 홀수예요. 하지만 홀수 중에도 합성수는 많아요.
0은 소수인가요?
아니요. 영은 소수도 합성수도 아니에요. 0은 0이 아닌 모든 정수로 나누어떨어져요. 그래서 0은 약수가 두 개보다 훨씬 많아요. 소수와 합성수는 1보다 큰 자연수에만 쓰는 말이라서, 0과 1은 둘 다 이 두 그룹 밖에 있어요.
어떤 수가 소수인지 빠르게 알아보려면?
작은 소수로만 나누어 보세요. 2, 3, 5, 7부터 시작하면 돼요. 확인하는 소수를 제곱한 값이 원래 수보다 커지면 거기서 멈춰도 돼요. 그 소수들 중 어느 것으로도 나누어떨어지지 않으면 그 수는 소수예요. 100보다 작은 수라면 2, 3, 5, 7만 확인하면 충분해요.
예시
91은 소수일까요?
- 홀수이므로 2로 나누어떨어지지 않아요.
- 각 자리 숫자의 합은 9 + 1 = 10이에요. 이는 3의 배수가 아니므로 3으로 나누어떨어지지 않아요.
- 일의 자리가 0이나 5가 아니므로 5로 나누어떨어지지 않아요.
- 7로 나누어 보세요. 7 × 13 = 91이므로 91은 소수가 아니에요.
97은 소수일까요? 홀수이고, 각 자리 숫자의 합은 16이며, 일의 자리가 0이나 5가 아니에요. 나누어 보면 97 ÷ 7 = 13, 나머지 6이에요. 다음 소수는 11인데, 11 × 11 = 121은 이미 97보다 커요. 여기서 멈춰도 되므로 97은 소수예요.
일찍 멈춰도 되는 이유
약수는 짝을 이뤄요. 36의 경우 짝은 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9, 6 × 6이에요. 6 × 6 = 36이므로 모든 짝에서 한쪽 약수는 6 이하예요. 그래서 그 지점까지 약수를 찾지 못했다면 그 너머에도 약수는 없어요.
빠른 필터
- 일의 자리가 0, 2, 4, 6, 8이면 2로 나누어떨어져요. 그중 소수는 2 하나뿐이에요.
- 각 자리 숫자의 합이 3의 배수이면 그 수는 3으로 나누어떨어져요. 그중 소수는 3 하나뿐이에요.
- 일의 자리가 0이나 5이면 5로 나누어떨어져요. 그중 소수는 5 하나뿐이에요.
- 7은 그냥 나누어 보세요.
속도는 많은 수를 접하면서 생겨요. 필터가 익숙해지면 Math Max에서 제한 시간 안에 소수 찾기를 몇 판 해 보세요. 정답을 맞힐 때마다 상대 파이터를 공격하게 되니 자연스럽게 습관이 돼요. 브라우저에서 무료로 실행되니 설치할 것도 없어요.
소수처럼 보이지만 소수가 아닌 수는?
대표적인 함정 수는 51, 57, 91이에요. 홀수이고 일의 자리가 5도 아니어서 소수처럼 느껴져요. 하지만 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19, 91 = 7 × 13이에요. 함정 수는 대부분 3의 배수 판정법(각 자리 숫자의 합)이나 7로 빠르게 나누어 보는 것으로 잡아낼 수 있어요.
예시
- 39 = 3 × 13. 각 자리 숫자의 합이 12로 3의 배수예요.
- 51 = 3 × 17. 각 자리 숫자의 합이 6으로 3의 배수예요.
- 57 = 3 × 19. 각 자리 숫자의 합이 12로 3의 배수예요.
- 87 = 3 × 29. 각 자리 숫자의 합이 15로 3의 배수예요.
- 91 = 7 × 13. 7로 나누어 보면 잡아낼 수 있어요.
- 119 = 7 × 17. 7로 나누어 보면 잡아낼 수 있어요.
- 133 = 7 × 19. 7로 나누어 보면 잡아낼 수 있어요.
전문가도 속아요
57은 농담 삼아 ‘그로텐디크 소수’라고 불려요. 유명한 수학자 알렉산더 그로텐디크가 이 수를 소수의 예로 든 적이 있다는 일화 때문이에요.
수학 블로그 The Aperiodical이 온라인 게임 “Is this prime?”의 결과를 분석했을 때, 51은 57보다도 더 자주 소수로 오인되었어요. 39를 소수라고 답한 플레이어도 많았어요. 합성수로 가장 자주 잘못 답한 소수는 59였어요. 실수는 양쪽 방향으로 일어나는 거예요.
이런 실수의 대부분은 두 가지 잘못된 지름길 때문이에요. 하나는 “홀수는 소수다”라는 생각인데, 9, 15, 21이 반례예요. 다른 하나는 “일의 자리가 1, 3, 7, 9인 수는 소수다”라는 생각이지만, 그런 일의 자리로는 2와 5가 약수가 아니라는 것만 알 수 있어요.
100까지의 소수
헷갈릴 때는 목록과 비교해 보세요. 100보다 작은 소수는 25개예요. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97이에요.
이 목록은 끝이 없어요. 고대 그리스 수학자 유클리드가 소수가 무한히 많다는 것을 증명했기 때문이에요.
서로 다른 약수 두 개, 그것이 규칙의 전부예요
소수는 서로 다른 약수가 정확히 두 개 있어야 하는데, 1은 약수가 하나뿐이에요. 그래서 1은 소수가 아니에요. 같은 규칙으로 2가 소수인 이유와 0이 소수가 아닌 이유도 설명할 수 있어요. 어떤 수를 빠르게 확인하려면 작은 소수로 나누어 보고, 제곱근에서 멈추고, 51이나 91 같은 함정을 조심하세요.
다음엔 이걸 훈련하세요