L'ordine delle operazioni e la regola dietro PEMDAS e BODMAS

Come si applica l'ordine delle operazioni passo dopo passo?

Con l'ordine delle operazioni un calcolo si risolve in quattro passaggi. Prima si fa quello che sta tra parentesi, poi le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni da sinistra a destra, e per ultime addizioni e sottrazioni da sinistra a destra. Riscrivi tutta la riga dopo ogni passaggio, così un eventuale errore salta subito all'occhio.

Esempio

Calcola 3 + 4 × (6 − 2)² : 8.

1. Parentesi: 6 − 2 = 4, resta 3 + 4 × 4² : 8
2. Potenze: 4² = 16, resta 3 + 4 × 16 : 8
3. Moltiplicazioni e divisioni, da sinistra a destra: 4 × 16 = 64, poi 64 : 8 = 8, resta 3 + 8
4. Addizioni e sottrazioni: 3 + 8 = 11

Riscrivere la riga sembra una perdita di tempo. Eppure è la protezione migliore contro gli errori. Uno sbaglio tipico è sommare subito il 3 e il 4. Si ottiene 7 e il risultato finale è sbagliato.

Nella PEMDAS la moltiplicazione viene prima della divisione?

No. Moltiplicazione e divisione stanno sullo stesso livello, e lo stesso vale per addizione e sottrazione. Dentro ogni coppia si va semplicemente da sinistra a destra. PEMDAS mette la M prima della D solo perché una parola deve pur avere le lettere in un certo ordine. Prendere le lettere come una classifica rigida è uno degli errori più frequenti nell'ordine delle operazioni.

Esempio

Calcola 24 : 4 × 2.

1. Partendo da sinistra viene prima la divisione: 24 : 4 = 6
2. Poi la moltiplicazione: 6 × 2 = 12

Se moltiplichi prima ottieni 24 : 8 = 3, che è sbagliato. Addizione e sottrazione funzionano allo stesso modo. In 10 − 4 + 3, da sinistra a destra si ottiene 6 + 3 = 9. Sommando prima si ottiene 10 − 7 = 3, anche questo sbagliato.

Il libro di testo gratuito OpenStax Prealgebra 2e lo dice chiaramente. Moltiplicazioni e divisioni si eseguono in ordine da sinistra a destra, perché hanno la stessa priorità. Molti adulti non ricordano questo dettaglio dai tempi della scuola, ed è all'origine di tante discussioni online sugli indovinelli matematici.

Che differenza c'è tra PEMDAS, BODMAS e BIDMAS?

Nessuna nelle regole, solo nelle parole. PEMDAS inizia con P di parentheses, mentre BODMAS e BIDMAS iniziano con B di brackets, due parole inglesi per dire parentesi. E (exponents), O (orders) e I (indices) indicano tutte potenze e radici. Ogni versione mette moltiplicazione e divisione su un livello e addizione e sottrazione su quello successivo.

Esempio

Calcola 2 + 3 × 4² tenendo a mente ogni versione.

1. Prima le potenze: 4² = 16
2. Poi la moltiplicazione: 3 × 16 = 48
3. Poi l'addizione: 2 + 48 = 50

BODMAS scrive la D prima della M, PEMDAS la M prima della D. Qui entrambe danno 50, e le due versioni danno lo stesso risultato in qualsiasi calcolo. Se l'ordine delle lettere continua a confondere, può aiutare scrivere la regola come quattro livelli invece che sei lettere: parentesi, potenze, moltiplicare o dividere, sommare o sottrarre.

Perché serve un ordine delle operazioni?

Senza un ordine condiviso, una riga come 2 + 3 × 4 potrebbe voler dire due cose diverse. Se sommi prima ottieni 20. Se moltiplichi prima ottieni 14. La convenzione dice che la moltiplicazione viene prima, quindi il risultato è 14. Lo scopo della regola è semplicemente che chiunque legga lo stesso calcolo ottenga lo stesso risultato.

Esempio

Un'amica compra 3 quaderni da 4 monete l'uno e una penna da 2 monete. Il totale è 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 monete. Sommando prima si otterrebbe 5 × 4 = 20, come se la penna fosse stata comprata quattro volte.

La convenzione è molto più antica degli acronimi. Secondo MacTutor, l'archivio di storia della matematica dell'Università di St Andrews, fare la moltiplicazione prima di addizione e sottrazione era già la regola nei primi libri di algebra simbolica, nel 16° secolo. La stessa pagina cita uno storico che alla fine degli anni 1920 scriveva che non c'era ancora accordo su quale dovesse venire prima tra ÷ e ×.

Quanto fa 8 ÷ 2(2 + 2)?

Seguendo l'ordine delle operazioni come si insegna a scuola, 8 ÷ 2(2 + 2) fa 16. Sui quaderni italiani si scrive di solito 8 : 2(2 + 2), ma il calcolo è lo stesso. La parentesi viene prima e dà 4. Il 2 scritto accanto alla parentesi indica una moltiplicazione, e divisione e moltiplicazione vanno da sinistra a destra, quindi 8 : 2 × 4 = 4 × 4 = 16.

Esempio

Ecco le due letture una accanto all'altra.

1. Da sinistra a destra: 8 : 2 × 4 = 4 × 4 = 16
2. Con 2(2 + 2) come un unico blocco: 8 : (2 × 4) = 8 : 8 = 1

Il vero problema è come è scritto il calcolo. Una nota sul sito del dipartimento di matematica di Berkeley fa notare che non esiste una convenzione standard per espressioni come questa, perché un numero scritto attaccato a una parentesi fa pensare che i due vadano insieme. I matematici evitano tutta la discussione con parentesi in più: (8 : 2)(2 + 2) oppure 8 : (2(2 + 2)).

La linea di frazione raggruppa allo stesso modo. Se 6 + 4 è scritto sopra la linea di frazione e 2 sotto, si somma prima, quindi il risultato è 10 : 2 = 5.

Quali sono gli errori più comuni nell'ordine delle operazioni?

La maggior parte degli errori nasce dal leggere l'acronimo come sei passaggi separati in un ordine fisso. Così si finisce per moltiplicare prima di dividere o sommare prima di sottrarre. Altri sbagli sono dimenticare che la linea di frazione raggruppa ciò che sta sopra e sotto, ed elevare al quadrato un numero negativo senza le sue parentesi. Riscrivere la riga dopo ogni passaggio aiuta a scoprirne la maggior parte.

Gli sbagli che tornano sempre

• Moltiplicare prima di dividere. In 24 : 4 × 2 vai da sinistra a destra: 6 × 2 = 12.
• Sommare prima di sottrarre. In 10 − 4 + 3 vai da sinistra a destra: 6 + 3 = 9.
• Elevare al quadrato un numero negativo. −3² significa −(3²) = −9, ma (−3)² = 9. È la parentesi a decidere se anche il segno meno va elevato al quadrato.
• Partire dalla parentesi esterna. In 2 × [5 + (3 − 1)²] comincia dall'interno: 3 − 1 = 2, poi 2² = 4, poi 5 + 4 = 9 e infine 2 × 9 = 18.
• Ignorare la linea di frazione. Calcola prima il numeratore e il denominatore separatamente, poi dividi.

Come ci si allena con l'ordine delle operazioni?

Calcoli brevi e frequenti sono il modo migliore per esercitarsi con questa regola. Nel gioco sull'ordine delle operazioni ogni attacco è un calcolo misto come (5 + 3) × 7. Risolvi la parentesi, moltiplichi e scrivi 56 per mettere a segno l'attacco.

Le potenze rallentano molte persone, soprattutto con i numeri negativi. Se ti blocchi lì, prova prima il gioco sulle potenze. Dopo, i calcoli più lunghi con le potenze diventano più facili da risolvere.

Il nome della regola dipende da dove la si impara. Negli Stati Uniti si dice PEMDAS, nel Regno Unito BODMAS o BIDMAS. In Italia si parla semplicemente di ordine delle operazioni, ma la regola di fondo è la stessa ovunque.

Una regola condivisa perché tutti ottengano lo stesso risultato

L'ordine delle operazioni è un accordo, non una legge di natura, e funziona solo perché tutti usano lo stesso. Prima le parentesi, poi le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni da sinistra a destra, poi addizioni e sottrazioni da sinistra a destra. Quando un calcolo si può ancora leggere in due modi, aggiungi delle parentesi e la discussione è chiusa.