1 è un numero primo? Cosa sono i numeri primi e come riconoscerli in fretta

Che cos'è un numero primo?

1 è un numero primo? No. Un numero primo è un numero intero che ha esattamente due divisori diversi: 1 e il numero stesso. Per esempio, 7 è primo perché solo 1 e 7 lo dividono senza resto. Il numero 1 ha un solo divisore, quindi non rispetta questa regola. Non è nemmeno composto, e questo mette 1 in una categoria tutta sua.

1 è un numero primo?

No, 1 non è un numero primo. Un numero primo deve avere esattamente due divisori diversi, e 1 ne ha uno solo. Non è nemmeno composto, perché i numeri composti hanno più di due divisori. Per questo i matematici considerano 1 né primo né composto. Il numero primo più piccolo è 2, con i divisori 1 e 2.

Esempio

Ecco i divisori dei numeri da 1 a 6.

• 1 ha un solo divisore (1), quindi non è né primo né composto.
• 2 ha due divisori (1 e 2), quindi è primo.
• 3 ha due divisori (1 e 3), quindi è primo.
• 4 ha tre divisori (1, 2 e 4), quindi è composto.
• 5 ha due divisori (1 e 5), quindi è primo.
• 6 ha quattro divisori (1, 2, 3 e 6), quindi è composto.

Solo 1 ha un unico divisore. Ogni numero primo ne ha esattamente due, e ogni numero composto ne ha tre o più.

Vederlo con i puntini

Prova con dei puntini su un foglio o con piccoli oggetti come i bottoni. Sei puntini si possono disporre in un rettangolo di 2 file da 3, quindi 6 è composto. Sette puntini formano solo una fila unica da 7, in qualunque modo tu ci provi, quindi 7 è primo. Con un solo puntino non c'è niente da disporre, e questo mostra in un altro modo che 1 si comporta in modo diverso.

Perché così tante persone pensano che 1 sia primo

Molti di noi hanno imparato che un numero primo è un numero "divisibile solo per 1 e per se stesso". Con queste parole, 1 sembra andare bene. Il punto è che qui 1 e "se stesso" sono lo stesso numero, quindi c'è un solo divisore, non due. Per questo le definizioni precise parlano di esattamente due divisori diversi, oppure di "un numero intero maggiore di 1" divisibile solo per 1 e per se stesso.

Online potresti anche leggere che 1 "un tempo era primo". La storia vera è più complicata. I matematici dell'antica Grecia non consideravano 1 nemmeno un numero, e i matematici delle epoche successive non erano d'accordo tra loro. Come spiega Scientific American nella sua storia della questione, il matematico britannico G. H. Hardy elencava ancora 1 tra i numeri primi nelle prime edizioni del suo manuale e lo cambiò nel 1938. Oggi i matematici sono d'accordo: 1 non è primo.

Anche adulti che hanno studiato matematica per anni a volte esitano su questo punto. Se tuo figlio ha detto che 1 è primo e la risposta è stata segnata come sbagliata, il suo ragionamento non era sciocco. Alla regola che ricordava mancava solo un piccolo dettaglio.

2 è un numero primo?

Sì. Il numero 2 è il numero primo più piccolo e l'unico pari. Tutti gli altri numeri pari si possono dividere per 2, quindi hanno almeno tre divisori (1, 2 e il numero stesso). Perciò dopo 2 ogni numero primo è dispari, anche se molti numeri dispari sono composti.

0 è un numero primo?

No. Lo zero non è né primo né composto. Ogni numero intero tranne 0 divide 0 senza resto, quindi 0 ha molti più di due divisori. Le parole primo e composto si usano solo per i numeri interi maggiori di 1, e così 0 e 1 restano fuori da entrambi i gruppi.

Come capire velocemente se un numero è primo?

Dividi il numero solo per i numeri primi piccoli, cominciando da 2, 3, 5 e 7. Puoi fermarti appena il numero primo che stai provando, moltiplicato per se stesso, supera il tuo numero. Se nessuno di quei numeri primi lo divide senza resto, il numero è primo. Per qualsiasi numero minore di 100 basta provare 2, 3, 5 e 7.

Esempio

91 è primo?

1. È dispari, quindi 2 non lo divide.
2. La somma delle sue cifre è 9 + 1 = 10. Non è un multiplo di 3, quindi 3 non lo divide.
3. Non finisce con 0 o 5, quindi 5 non lo divide.
4. Prova con 7. Dato che 7 × 13 = 91, il numero 91 non è primo.

97 è primo? È dispari, la somma delle sue cifre è 16 e non finisce con 0 o 5. La divisione dà 97 ÷ 7 = 13 con resto 6. Il numero primo successivo è 11, e 11 × 11 = 121 è già più grande di 97. Puoi fermarti lì, quindi 97 è primo.

Perché puoi fermarti presto

I divisori vanno a coppie. Per 36 le coppie sono 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 e 6 × 6. In ogni coppia un divisore è 6 o più piccolo, perché 6 × 6 = 36. Quindi se non trovi nessun divisore fino a quel punto, non ce ne sono nemmeno oltre.

I filtri rapidi

• Se un numero finisce con 0, 2, 4, 6 o 8, è divisibile per 2. Solo 2 stesso è primo.
• Se la somma delle cifre è un multiplo di 3, il numero è divisibile per 3. Solo 3 stesso è primo.
• Se un numero finisce con 0 o 5, è divisibile per 5. Solo 5 stesso è primo.
• Per 7, fai semplicemente la divisione.

La velocità arriva vedendo tanti numeri. Quando i filtri ti sono familiari, qualche round a riconoscere i numeri primi contro il tempo su Math Max li trasforma in un'abitudine, perché ogni risposta giusta è un attacco all'altro lottatore. Si gioca gratis nel browser, quindi non c'è niente da installare.

Quali numeri sembrano primi ma non lo sono?

I classici numeri trappola sono 51, 57 e 91. Sono dispari, non finiscono con 5 e sembrano primi. Ma 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19 e 91 = 7 × 13. Quasi tutti i numeri trappola si scoprono con il criterio di divisibilità per 3 o con una divisione veloce per 7.

Esempio

• 39 = 3 × 13. La somma delle sue cifre è 12, un multiplo di 3.
• 51 = 3 × 17. La somma delle sue cifre è 6, un multiplo di 3.
• 57 = 3 × 19. La somma delle sue cifre è 12, un multiplo di 3.
• 87 = 3 × 29. La somma delle sue cifre è 15, un multiplo di 3.
• 91 = 7 × 13. La divisione per 7 lo smaschera.
• 119 = 7 × 17. La divisione per 7 lo smaschera.
• 133 = 7 × 19. La divisione per 7 lo smaschera.

Anche gli esperti ci cascano

Il numero 57 viene chiamato per scherzo il primo di Grothendieck, per via di un aneddoto secondo cui il famoso matematico Alexander Grothendieck lo usò una volta come esempio di numero primo.

Quando il blog di matematica The Aperiodical ha analizzato i risultati di un gioco online chiamato "Is this prime?", 51 è stato scambiato per un numero primo ancora più spesso di 57. Molti giocatori hanno detto che anche 39 era primo. Il numero primo scambiato più spesso per composto era 59, quindi gli errori vanno in entrambe le direzioni.

Due scorciatoie sbagliate causano la maggior parte di questi errori. Una è "i numeri dispari sono primi", smentita da 9, 15 e 21. L'altra è "i numeri che finiscono con 1, 3, 7 o 9 sono primi", ma quelle cifre finali escludono solo 2 e 5 come divisori.

Numeri primi fino a 100

Nel dubbio, controlla la lista. Ci sono 25 numeri primi minori di 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

La lista non finisce mai, perché il matematico greco antico Euclide dimostrò che i numeri primi sono infiniti.

Due divisori diversi: tutta la regola è qui

Un numero primo deve avere esattamente due divisori diversi, e 1 ne ha uno solo, quindi 1 non è primo. La stessa regola spiega perché 2 è primo e perché 0 non lo è. Per controllare un numero in fretta, prova i numeri primi piccoli, fermati alla radice quadrata e fai attenzione alle trappole come 51 e 91.